【題型梳理練】有理數(shù)中的規(guī)律探究（解析版）

2/2【題型梳理練】有理數(shù)中的規(guī)律探究TOC\o"1-3"\h\u【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】 1【題型2四則運算中的規(guī)律探究】 3【題型3乘方中的規(guī)律探究】 7【題型4周期中的規(guī)律探究】 10【題型5遞進中的規(guī)律探究】 12【題型6表格中的規(guī)律探究】 15【題型7圖形中的規(guī)律探究】 18【題型8新定義中的規(guī)律探究】 22【題型1數(shù)字類規(guī)律探究】【例1】（23-24七年級·黑龍江綏化·階段練習(xí)）觀察一組按規(guī)律排列的數(shù)：1，2，4，8，16，…，則第2024個數(shù)是（

）．A．22024 B．22024-1 C．【答案】C【分析】根據(jù)1，2，4，8，16，…，得出第n個數(shù)為2n-1，把n=2024代入即可作答【詳解】解：觀察所給的數(shù)據(jù)，得第n個數(shù)為2n-1當n=2024時，2n-1故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵找出第n個數(shù)為2n-1，難度較小【變式1-1】（23-24七年級·陜西商洛·期末）觀察下面一列數(shù)：第1組第2組第3組第4組第5組……1,-12,43,-94,165,-25按照此規(guī)律第9組的兩數(shù)之和為．【答案】-72【分析】本題考查的是數(shù)字類的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并靈活運用規(guī)律解題是關(guān)鍵．由條件歸納可得：每一組的第一個數(shù)構(gòu)成連續(xù)的正整數(shù)，第二個數(shù)奇次項為負數(shù)，偶次項為正數(shù)，其絕對值是第一個的數(shù)的平方，從而可得答案．【詳解】解：由條件歸納可得：每一組的第一個數(shù)構(gòu)成連續(xù)的正整數(shù)，第二個數(shù)奇次項為負數(shù)，偶次項為正數(shù)，其絕對值是第一個的數(shù)的平方，∴第9組數(shù)為9,-81，∴9+-81故答案為：-72．【變式1-2】（23-24七年級·山東濱州·階段練習(xí)）一組按規(guī)律排列的數(shù)-14，39，-516，725，-【答案】-【分析】直接根據(jù)題意找出規(guī)律作答即可．【詳解】解：-139-5……，第n個數(shù)是-1n第9個數(shù)是-19故答案為：-17【點睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是得到第n個數(shù)是-1n【變式1-3】（23-24七年級·廣西崇左·期末）如圖，在各正方形中的四位數(shù)之間有一定的規(guī)律，按此規(guī)律得出a，b的值分別為（

）.A．16,257 B．16,91 C．10,101 D．10,161【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)字規(guī)律分別得出c=16，a=10，再由運算方法求解即可．【詳解】解：分析正方形中的四個數(shù)：四個大正方形中第一行從左往右第一個數(shù)分別為1，3，5，7；第二個數(shù)分別為：2，4=22，8=2∴c=16；第二行第一個數(shù)分別為：4，6，8，10，∴a=10，第二行第二個數(shù)分別為：9=2×4+1，25=4×6+1，65=8×8+1，b=ac+1=160+1=161，故選D．【點睛】題目主要考查數(shù)字規(guī)律探索及有理數(shù)的乘方運算，找出相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型2四則運算中的規(guī)律探究】【例2】（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知：11×2=1-12，12×3=(1)用含有n（n為正整數(shù)）的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；(2)按照上面算式的規(guī)律計算：21×2【答案】(1)1(2)2017【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律類問題，探尋數(shù)列規(guī)律認真計算觀察聯(lián)想是解決這類問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知的算式拆項計算，觀察規(guī)律即可得到答案；（2）先根據(jù)得出的規(guī)律拆項展開，再合并，最后求出即可【詳解】（1）∵11×212×313×414×5……，∴第n個等式為：1n故答案為：1n（2）2＝2×（11×2＝2×（1-1＝2×（1﹣12018＝2×2017＝20171009【變式2-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）觀察以下等式：第1個等式：21-32=12；第2個等式32-56=2(1)寫出第6個等式；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示）.【答案】(1)7(2)n+1【分析】（1）根據(jù)上述等式可知，減數(shù)的分母是被減數(shù)分母分子的乘積，分子是被減數(shù)分子分母的和，即可得到第六個等式；（2）根據(jù)上述等式的規(guī)律，求解等式的左邊等于等式的右邊，即可．【詳解】（1）∵第1個等式：21第2個等式32第3個等式43第4個等式54……∴第6個等式為：76故答案為：76（2）由（1）得，第n個等式：n+1n【點睛】本題考查有理數(shù)和整式的知識，解題的關(guān)鍵是觀察等式，得到規(guī)律，進行解答．【變式2-2】（23-24七年級·寧夏銀川·期中）觀察下列各式：1-122=34=12(1)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填寫下列式子的結(jié)果：1-1(2)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：1-1【答案】(1)見解析(2)101200【分析】本題考查了有理數(shù)乘法的規(guī)律探究，關(guān)鍵找到規(guī)律寫出分數(shù)相乘的形式．（1）根據(jù)等式規(guī)律寫出分數(shù)相乘的形式計算結(jié)果．（2）按規(guī)律寫出分數(shù)相乘形式，再根據(jù)分數(shù)乘法進行約分求解．【詳解】（1）解：1-1（2）解：1-===101【變式2-3】（2024七年級·安徽·專題練習(xí)）研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？1×3+1=4=2×4+1=9=3×5+1=16=4×6+1=25=…(1)請你找出規(guī)律并計算7×9+1==()(2)用含有n的式子表示上面的規(guī)律：．(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題：計算：(1+11×3【答案】(1)64,8(2)n(n+2)+1=(3)20【分析】本題主要考查了有理數(shù)的運算，數(shù)字規(guī)律問題，對于（1）和（2），通過觀察發(fā)現(xiàn)一個正整數(shù)乘以比這個正整數(shù)大2的數(shù)再加1就等于這個正整數(shù)加1的平方，依此得到7×9+1=64=82；含有對于（3），由(1+1利用此規(guī)律計算．【詳解】（1）7×9+1=64=8故答案為：64，82（2）上述算式有規(guī)律，可以用n表示為：n(n+2)+1=n故答案為：n(n+2)+1=n（3）原式21故答案為：2011【題型3乘方中的規(guī)律探究】【例3】（23-24七年級·山東青島·階段練習(xí)）如圖，觀察由棱長為1的小立方體擺成的圖形，尋找規(guī)律：如圖①中：共有1個小立方體，0個看不見；如圖②中：共有8個小立方體，1個看不見；如圖③中：共有27個小立方體，8個看不見；…，則第⑥個圖中看得見的有個．【答案】91【分析】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，由題意可知，共有小立方體個數(shù)為序號數(shù)×序號數(shù)×序號數(shù)，看不見的小正方體的個數(shù)=序號數(shù)【詳解】解：第①時，共有小立方體的個數(shù)為1個，看不見的小立方體的個數(shù)為0個；第②時，共有小立方體的個數(shù)為2×2×2=8（個），看不見的小立方體的個數(shù)為2-1×2-1×第③時，共有小立方體的個數(shù)為3×3×3=27（個），看不見的小立方體的個數(shù)為3-1×3-1×……第⑥個圖時，共有小立方體的個數(shù)為：6×6×6=216（個），看不見的小立方體的個數(shù)為6-1×6-1×∴看得見的立方體數(shù)為：216-125=91（個）．故答案為：91．【變式3-1】（23-24七年級·江蘇常州·期中）我們根據(jù)乘方運算，得出了一種新的運算，如下表是兩種運算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：乘方運算222…333…新運算logloglog…logloglog…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個式子：①log216=4，②log525=5，③【答案】①③/③①【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、新定義，根據(jù)題中的新定義法則判斷即可，解題的關(guān)鍵是理解題中的新定義，熟練掌握有理數(shù)的混合運算法則．【詳解】解：∵2∴l(xiāng)og216=4∵5∴l(xiāng)og525=2∵4∴1og464=3綜上所述，正確的有①③，故答案為：①③．【變式3-2】（23-24七年級·河北秦皇島·階段練習(xí)）觀察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75A．0 B．1 C．6 D．8【答案】C【分析】觀察可知7n的個位數(shù)字分別是7，9，3，1【詳解】解：∵71=7，72=49，73=343，74∴7n的個位數(shù)字分別是7，9，3，1∵2020÷4=505，2022÷4=505…2，∴71+72+73∴71+72+故選C．【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24七年級·四川瀘州·期末）根據(jù)圖中數(shù)字的排列規(guī)律，在第⑩個圖中，a-b-c的值是（

）A．-512 B．-514 C．510 D．512【答案】B【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律．觀察所給圖形，發(fā)現(xiàn)各部分數(shù)字變化的規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：觀察所給圖形可知，左上角的數(shù)字依次為：-2，4，-8，16，…，所以第n個圖形中左上角的數(shù)字可表示為：-2n右上角的數(shù)字比同一個圖形中左上角的數(shù)字大2，所以第n個圖形中右上角的數(shù)字可表示為：-2n下方的數(shù)字為同一個圖形中左上角數(shù)字的12所以第n個圖形中下方的數(shù)字可表示為：-2n當n=10時，-2n-2n-2n所以a-b-c=1024-1026-512=-514．故選：B．【題型4周期中的規(guī)律探究】【例4】（2024·北京西城·七年級期末）將1，2，3，4，5，…，37這37個連續(xù)整數(shù)不重不漏地填入37個空格中．要求：從左至右，第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)，第1個數(shù)與第2個數(shù)之和是第3個數(shù)的倍數(shù)，第1，2，3個數(shù)之和是第4個數(shù)的倍數(shù)，…，前36個數(shù)的和是第37個數(shù)的倍數(shù)．若第1個空格填入37，則第2個空格所填入的數(shù)為，第37個空格所填入的數(shù)為．37【答案】119【分析】本題考查了有理數(shù)四則混合運算的應(yīng)用，熟練掌握四則運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)可得第2個空格所填入的數(shù)；先得出這37個數(shù)的和也是第37個數(shù)的倍數(shù)，再求出這37個數(shù)的和，由此即可得．【詳解】解：∵第1個空格填入37，第1個數(shù)是第2個數(shù)的倍數(shù)，∴第2個空格所填入的數(shù)為1，∵前36個數(shù)的和是第37個數(shù)的倍數(shù)，∴這37個數(shù)的和也是第37個數(shù)的倍數(shù)，又∵1+2+3+?+37==38×18+19=703=37×19，∴第37個空格所填入的數(shù)為19，故答案為：1，19．【變式4-1】（23-24七年級·浙江·期中）從大拇指開始，按照大拇指→食指→中指→無名指→小指→無名指→中指→食指→大拇指→食指……的順序，依次數(shù)整數(shù)1，2，3，4，5，6，7，……當數(shù)到2022時，對應(yīng)的手指為；當?shù)趎次數(shù)到食指時，數(shù)到的數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】無名指8(n-1)+2或8(n-1)+8【分析】先探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后利用規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：如題意可知，八次為一個循環(huán)體重復(fù)出現(xiàn)，2022÷8=252……6，當數(shù)到2022時，對應(yīng)的手指與第6次對應(yīng)的一樣為：無名指；第一個循環(huán)體出現(xiàn)食指時，數(shù)到的數(shù)是：8(1-1)+2，8(1-1)+8；第二個循環(huán)體出現(xiàn)食指時，數(shù)到的數(shù)是：8(2-1)+2，8(2-1)+8；第三個循環(huán)體出現(xiàn)食指時，數(shù)到的數(shù)是：8(3-1)+2，8(3-1)+8；…當?shù)趎次數(shù)到食指時，數(shù)到的數(shù)是8(n-1)+2，8(n-1)+8，故答案為：無名指，8(n-1)+2或8(n-1)+8．【點睛】本題考查規(guī)律型數(shù)字的變化類問題，解題的關(guān)鍵是從一般到特殊探究規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．【變式4-2】（23-24七年級·安徽黃山·期中）觀察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36【答案】7【分析】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)是解決問題的關(guān)鍵．從運算的結(jié)果可以看出尾數(shù)以3、9、7、1四個數(shù)字一循環(huán)，用2023除以4，余數(shù)是幾就和第幾個數(shù)字相同，由此解決問題即可．【詳解】解：已知31=3，末位數(shù)字為32=9，末位數(shù)字為33=27，末位數(shù)字為34=81，末位數(shù)字為35=243，末位數(shù)字為36=729，末位數(shù)字為37=2187，末位數(shù)字為38=6561，末位數(shù)字為…由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1四個數(shù)字為一循環(huán)，又2023÷4=505?3，所以32023的末位數(shù)字與33的末位數(shù)字相同是故答案為：7．【變式4-3】（23-24七年級·河南開封·期中）如圖所示，在一個電子青蛙游戲程序中，電子青蛙只能在標有五個數(shù)字點的圓周上跳動，游戲規(guī)則：若電子青蛙，停在奇數(shù)點上，則它下次沿順時針方向跳兩個點；若電子青蛙停在偶數(shù)點上，則它下次沿逆時針方向跳一個點．現(xiàn)在電子青蛙若從4這點開始跳，則經(jīng)過2022次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．5【答案】D【分析】本題考查的是數(shù)字類規(guī)律探究，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵，本題先計算前5次跳動后停時對應(yīng)的點對應(yīng)的數(shù)，再總結(jié)規(guī)律可得答案．【詳解】解：由題知，因為青蛙從4這點開始跳，所以經(jīng)過1次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為3；經(jīng)過2次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為5；經(jīng)過3次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為2；經(jīng)過4次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為1；經(jīng)過5次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為3；…，由此可見，青蛙停的點對應(yīng)的數(shù)字按3，5，2，1循環(huán)出現(xiàn)，又因為2022÷4=505???2，所以經(jīng)過2022次后它停的點對應(yīng)的數(shù)為5；故選：D．【題型5遞進中的規(guī)律探究】【例5】（23-24七年級·江西贛州·期末）如圖，數(shù)軸上O，A兩點的距離為3，一動點P從點A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動：第1次跳動到AO的中點A1處，第2次從A1跳動到A1O的中點A2處，第3次從A2點跳動到A2O的中點A．32n-2 B．32n-1 C．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，數(shù)軸上的動點問題，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．通過前三次的跳動情況發(fā)現(xiàn)，第n次動點P從An-1點跳動到An-1O的中點A【詳解】解：由題意可知，OA=3，第1次動點P跳動到AO的中點A1處時，O第2次動點P從A1跳動到A1O的中點A第3次動點P從A2點跳動到A2O的中點A……觀察可知，第n次動點P從An-1點跳動到An-1O的中點A故選：C【變式5-1】（2024·山西太原·二模）觀察圖中給出的四個點陣，按照圖中點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜想第n個點陣中點的個數(shù)為個．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】2n-1【分析】根據(jù)圖形得到規(guī)律從第二個開始逐漸增加2點即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，圖形從第二個開始在前一個是增加2點，∴第n個圖形點數(shù)為：1+(n-1)×2=2n-1，故答案為：2n-1；【點睛】本題考查圖形規(guī)律，解題的關(guān)鍵是看懂圖形中前后兩個圖形的變量與固定量．【變式5-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）如圖所示的點陣圖中，圖①中有3個點，圖②中有7個點，圖③中有13個點，圖④中有21個點，按此規(guī)律，圖⑩中有個點．【答案】111【分析】本題考查了數(shù)與形的規(guī)律，能總結(jié)出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．列出給出的幾幅圖的點數(shù)依次為3，7，13，21，?，分析這些數(shù)我們可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，?據(jù)此總結(jié)規(guī)律求解即可．【詳解】觀察題圖可知：圖①中點的個數(shù)為3=1+2=1×2+1；圖②中點的個數(shù)為7=1+2+4=2×3+1；圖③中點的個數(shù)為13=1+2+4+6=3×4+1；圖④中點的個數(shù)為21=1+2+4+6+8=4×5+1；圖n中點的個數(shù)為1+2+4+6+8+?+2n=nn+1當n=10時，圖中點的個數(shù)有1+2+4+6+?+20=10×11+1=111（個）點，故答案為：111．【變式5-3】（23-24七年級·寧夏銀川·期末）生物課題研究小組對附著在物體表面的三個微生物（課題組成員把他們分別標號為1，2，3）的生長情況進行觀察記錄，這三個微生物第一天各自一分為二，產(chǎn)生新的微生物（依次被標號為4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化，即每個微生物一分為二，形成新的微生物（課題組成員用如圖所示的圖形進行形象的記錄），那么標號為1000的微生物會出現(xiàn)在第（

）A．第7天 B．第8天 C．第9天 D．第10天【答案】B【分析】由圖和題意可知，第一天產(chǎn)生新的微生物有6個標號，第二天產(chǎn)生新的微生物有12個標號，以此類推，第三天、第四天、第五天產(chǎn)生新的微生物分別有24個，48個，96個，192個，384個，768個，…進而求出答案．【詳解】解：第一天產(chǎn)生新的微生物有6個標號，第二天產(chǎn)生新的微生物有12個標號，以此類推，第三天、第四天、第五天…產(chǎn)生新的微生物分別有24個，48個，96個，192個，384個，768個，…前七天所有微生物的標號共有3+6+12+24+48+96+192+384=765個，所以標號為1000的微生物會出現(xiàn)在第8天．故選：B．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字的變化規(guī)律和運算方法，利用規(guī)律和方法解決問題．【題型6表格中的規(guī)律探究】【例6】（23-24七年級·安徽蕪湖·期中）下列表格中的四個數(shù)都是按照規(guī)律填寫的，則表中x的值是（）A．139 B．209 C．109 D．259【答案】B【分析】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給表格，發(fā)現(xiàn)表格中四個數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．觀察表格中四個數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：觀察所給表格可知，4÷2-1=1，6÷2-1=2，8÷2-1=3，10÷2-1=4，所以a=20÷2-1=9．又因為左下方的數(shù)比左上方的數(shù)大1，則b=a+1=10又因為2×4+1=9，3×6+2=20，4×8+3=35，5×10+4=54，所以x=10×20+9=209．故選：B．【變式6-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）把1～9這9個數(shù)填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，這樣便構(gòu)成了一個“九宮格”，它源于我國古代的“洛書”(圖1)，“洛書”是世界上最早的“幻方”，圖2是僅可以看到部分數(shù)值的“九宮格”，則其中m的值為(A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算；根據(jù)任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，可得①，②，③表示的數(shù)，即可求出m的值．【詳解】解：如圖，∵任意一行，任意一列及兩條對角線上的數(shù)之和都等于15，∴對角線上①處數(shù)字與5，2的和為15，∴①處的數(shù)字為：15-5-2=8，又中間一列②處數(shù)字與7，5的和為15，∴②處上的數(shù)字為：15-7-5=3最正面一行數(shù)字之和為15∴③處數(shù)字為15-8-3=4最后一列之和為15，∴m=15-2-4=9，故選：D．【變式6-2】（23-24七年級·河南南陽·期末）干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，干支是天干和地支的總稱．干支紀年法的組合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循環(huán)配合，每個組合代表一年，60年為一個循環(huán)．我們把天干、地支按順序排列，且給它們編上序號．天干的計算方法是：年份減3，除以10所得的余數(shù)；地支的計算方法是：年份減3，除以12所得的余數(shù)．以2022年為例：天干為：2022-3÷10=201??9；地支為：2022-3÷12=168??3；對照天干地支表得出，123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥請你依據(jù)上述規(guī)律推斷2024年為農(nóng)歷年．【答案】甲辰【分析】本題考查有理數(shù)運算的實際應(yīng)用．根據(jù)題意，列出算式進行計算后，判斷即可．掌握天干，地支的確定方法，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得：天干為：2024-3÷10=202??1，地支為：2024-3∴2024年為農(nóng)歷甲辰年；故答案為：甲辰．【變式6-3】（23-24七年級·湖北黃岡·期中）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．

圖形標號①②③④⑤…火柴棒根數(shù)5913____________…(1)按圖示規(guī)律完成表格(2)按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要多少根火柴棒？(3)搭第2024個圖形需要多少根火柴棒？【答案】(1)17,21(2)4n+1(3)8097根火柴棒【分析】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形分析出其規(guī)律；（1）根據(jù)所給的圖形進行分析即可得出結(jié)果；（2）由（1）進行總結(jié)即可；（3）根據(jù)（2）所得的式子進行解答即可．【詳解】（1）第1個圖形的火柴棒根數(shù)為：5，第2個圖形的火柴棒根數(shù)為：9=5+4=5+4×1，第3個圖形的火柴棒根數(shù)為：13=5+4+4=5+4×2，第4個圖形的火柴棒根數(shù)為：17=5+4+4+4=5+4×3，第5個圖形的火柴棒根數(shù)為：21=5+4+4+4+4=5+4×4，故答案為：17,21；（2）由（1）得：搭第n個圖形需要火柴棒根數(shù)為：5+4(n-1)=4n+1．答：第n個圖形需要火柴棒根數(shù)為：4n+1；（3）當n=2024時，4n+1=4×2024+1=8097，所以搭第2022個圖形需要8097根火柴棒．【題型7圖形中的規(guī)律探究】【例7】（23-24七年級·山東濰坊·期中）如圖，把面積為1的正方形進行分割，觀察其規(guī)律，可得算式12+122A．125 B．126 C．【答案】D【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算、規(guī)律性，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的特點，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)圖形可知1【詳解】解：由圖可知，12+12故選：D【變式7-1】（23-24七年級·山西臨汾·期中）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是．【答案】10【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，第2個圖中H的個數(shù)為4+2=6，第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2=8，則：第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3=10，故答案為：10．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24七年級·浙江金華·期末）用大小相等的小正方形按一定規(guī)律拼成下列圖形，則第10個圖形中正方形的個數(shù)是……（

）A．110 B．330 C．440 D．572【答案】C【分析】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化歸納出正方形個數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形的變化歸納正方形個數(shù)與圖形序數(shù)之間的關(guān)系即可．【詳解】解：由圖知，第1個圖形有2個正方形：2=1×2，第2個圖形有8個正方形：8=1×2+2×3，第3個圖形有20個正方形：20=1×2+2×3+3×4，第4個圖形有40個正方形：40=1×2+2×3+3×4+4×5，…，第10個圖形正方形個數(shù)為：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+10×故選：C．【變式7-3】（23-24七年級·山西晉中·期中）閱讀與探索：問題情境：通過學(xué)習(xí)“探索與表達規(guī)律”讓我們感受到：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律是一件十分有趣的事情．用簡潔的語言表達變化規(guī)律應(yīng)該從簡單入手，經(jīng)過熟悉、認知、思考、總結(jié)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請你用自己學(xué)到的方法探索并表達下列規(guī)律：（1）如圖，搭1個小正方形需要4根火柴棒，搭2個小正方形需要7根火柴棒，搭3個小正方形需要10根火柴棒……，如果用n表示所搭正方形的個數(shù)，那么搭n個這樣的小正方形需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．類比探索：（2）如圖，是由一些火柴棒擺成的圖案：按照這種方式擺下去，擺第n個圖案需要__________根火柴棒（用n的代數(shù)式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下圖案，其中第①個圖案由4個小等邊三角形圍成1個小菱形，第②個圖案由6個小等邊三角形圍成2個小菱形，．．．．．．．若按此規(guī)律拼下去，則第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為__________（用含n的式子表示）．

拓展應(yīng)用：（4）觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是__________個．

【答案】（1）3n+1；（2）4n+1；（3）6n+6；（4）3035【分析】（1）第一個圖形需要4根火柴棒，以后的每個圖形都比前一個圖形多3根，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；（2）第一個圖形需要5根火柴棒，以后的每個圖形都比前一個圖形多4根，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；（3）第①個圖形需要4個等邊三角形，共12根火柴棒，以后的每個圖形都比前一個圖形多2個等邊三角形，多6根火柴棒，據(jù)此找到規(guī)律列出代數(shù)式；（4）根據(jù)前幾個圖形的規(guī)律，找到當n為奇數(shù)時和當n為偶數(shù)時需要的黑色正方形個數(shù)，繼而代入計算即可．【詳解】解：（1）搭1個小正方形需要4根火柴棒，搭2個小正方形需要4+3×1=7根火柴棒，搭3個小正方形需要4+3×2=10根火柴棒，…搭n個小正方形需要4+3×n-1（2）擺1個五邊形需要5根火柴棒，擺2個五邊形需要5+4×1=9根火柴棒，擺3個五邊形需要5+4×2=13根火柴棒，…擺n個五邊形需要5+4×n-1（3）第①個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：12=3×4，第②個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：18=3×6，第③個圖案所需要的火柴棍的根數(shù)為：24=3×8，…，∴第n個圖案需要火柴棍的根數(shù)為：32n+2（4）第1個圖形中黑色正方形的數(shù)量是2個，第2個圖形中黑色正方形的數(shù)量是3個，第3個圖形中黑色正方形的數(shù)量是5個，第4個圖形中黑色正方形的數(shù)量是6個，第5個圖形中黑色正方形的數(shù)量是8個，…當n為奇數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為n+12當n為偶數(shù)時，黑色正方形的個數(shù)為n2∴第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是2023+12+2023=3035【點睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給圖形分析出圖形變化的規(guī)律．【題型8新定義中的規(guī)律探究】【例8】（23-24七年級·江蘇蘇州·期末）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“H”運算：（1）當n是奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5，（2）當n為偶數(shù)時，結(jié)果為n2k（其中k是正整數(shù)，且使得n2k為奇數(shù)）；并且運算重復(fù)進行．例如：n=12時，第一次經(jīng)“H”運算的結(jié)果是3，第二次經(jīng)“H”運算的結(jié)果是14，第三次經(jīng)“H”運算的結(jié)果是7，第四次經(jīng)“H”運算的結(jié)果是26……．若n=58，則第2024次經(jīng)“HA．29 B．92 C．23 D．74【答案】B【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運算得到數(shù)字的基本規(guī)律．根據(jù)題中所給新定義運算進行求解，即當n=58時，則第一次“H”運算的結(jié)果為29，第二次“H”運算的結(jié)果為92，第三次“H”運算的結(jié)果為23，第四次“H”運算的結(jié)果為74，第五次“H”運算的結(jié)果為37，第六次“H”運算的結(jié)果為116，第七次“H”運算的結(jié)果為29，….；由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為“H”運算的結(jié)果按照29、92、23、74、37、116循環(huán)，據(jù)此問題可求解．【詳解】解：由題意得：當n=58時，則第一次“H”運算的結(jié)果為29，第二次“H”運算的結(jié)果為92，第三次“H”運算的結(jié)果為23，第四次“H”運算的結(jié)果為74，第五次“H”運算的結(jié)果為37，第六次“H”運算的結(jié)果為116，第七次“H”運算的結(jié)果為29，….；由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律為“H”運算的結(jié)果按照29、92、23、74、37、116循環(huán)下去，∵2024÷6=337…..2∴第2024次“H”運算的結(jié)果為92；故選：B．【變式8-1】（23-24七年級·廣西欽州·期末）已知C32=3×21×2=3，C53【答案】41【分析】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，觀察分母是從1到b的b個數(shù)相乘，分子是從a開始乘，依