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2022-2023學(xué)年山西省呂梁市聯(lián)盛中學(xué)高三數(shù)學(xué)試題質(zhì)量檢測(cè)試題(一)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.2.命題“”的否定是()A. B.C. D.3.設(shè)平面與平面相交于直線,直線在平面內(nèi),直線在平面內(nèi),且則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分不必要條件4.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.5.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)6.已知函數(shù)且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9608.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合,則()A.B.C.D.9.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A. B. C.1 D.11.已知,則的值等于()A. B. C. D.12.連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為,連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為,則當(dāng)取得最大值時(shí),雙曲線的離心率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),.給出下列四個(gè)結(jié)論:①為的重心;②;③當(dāng)時(shí),平面;④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.14.已知全集,,則________.15.已知,且,則__________.16.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識(shí)競(jìng)賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩(shī)分成7大類別,并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為,,.已知,,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計(jì)附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63518.(12分)某早餐店對(duì)一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤(rùn)為隨機(jī)變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤(rùn)作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤(rùn)=銷售額-批發(fā)成本.19.(12分)已知函數(shù)(為實(shí)常數(shù)).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;(2)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)在,角、、所對(duì)的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.21.(12分)某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購(gòu)令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購(gòu)令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.22.(10分)已知不等式對(duì)于任意的恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實(shí)數(shù)a,b,c滿足.求證.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點(diǎn)數(shù),根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè),具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個(gè)空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點(diǎn)數(shù)為:個(gè).故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè),.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理,古典概型的概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題2.D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對(duì)命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.3.A【解析】
試題分析:α⊥β,b⊥m又直線a在平面α內(nèi),所以a⊥b,但直線不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件,故選A.考點(diǎn):充分條件、必要條件.4.D【解析】
根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.5.B【解析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.6.B【解析】
構(gòu)造函數(shù),判斷出的單調(diào)性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),由解得,所以的定義域?yàn)?,且,所以為奇函?shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.7.B【解析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為種.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時(shí),要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.8.D【解析】
如圖所示:在邊長(zhǎng)為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長(zhǎng)為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.9.C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.10.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足,利用復(fù)數(shù)的除法求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足,所以,所以z的虛部為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導(dǎo)公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用,要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題12.D【解析】
先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo),四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形,求出菱形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形,求出其面積,利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有,從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線,四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積,四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積,所以,當(dāng)取得最大值時(shí)有,,離心率,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn),焦點(diǎn),菱形面積公式,重要不等式求最值,等軸雙曲線的離心率,屬于簡(jiǎn)單題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.①②③【解析】
①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點(diǎn),連接,則點(diǎn)在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設(shè),則由可得,然后對(duì)應(yīng)邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí),三棱錐的體積最大,而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)到平面的距離最大,此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設(shè)由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當(dāng)與重合時(shí),最大,為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.14.【解析】
利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集,,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算,需理解補(bǔ)集的概念,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】試題分析:因,故,所以,,應(yīng)填.考點(diǎn):三角變換及運(yùn)用.16.【解析】
從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:【點(diǎn)睛】組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)該唐詩(shī)屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最?。粚儆凇吧剿飯@”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā?,“簾”【解析?/p>
(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表,算出觀測(cè)值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩(shī)屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計(jì)100400500計(jì)算得:;因?yàn)?,,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系,故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字,而“山”不是;又因?yàn)椋蔬x擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序?yàn)椤盎ā?,“簾?【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn).考查了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀與計(jì)算能力,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).18.;①詳見解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【解析】
酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對(duì)立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應(yīng)概率,由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤(rùn)為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【點(diǎn)睛】本題考查概率,離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.19.(1)見解析(2)【解析】
(1)分類討論的值,利用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)分別得出,,時(shí),的最小值,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1),.當(dāng)即時(shí),,,此時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時(shí),時(shí),,在上單調(diào)遞減;時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)即時(shí),,,此時(shí),在上單調(diào)遞減;(2)當(dāng)時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以的最小值為,所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以的最小值為.因?yàn)?,所以?所以,所以.當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減所以的最小值為因?yàn)?,所以,所以,綜上,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題,屬于中檔題.20.(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】
(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三
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