高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題08數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求的前項(xiàng)和 2題型二：求的前項(xiàng)和 3題型三：通項(xiàng)含有的類型；例如： 4題型四：已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題 6三、專題08數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問(wèn)題是高考中經(jīng)常涉及的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等．本專題主要研究與數(shù)列奇偶項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題，并在解決問(wèn)題中讓學(xué)生感悟分類討論等思想在解題中的有效運(yùn)用.因此，在數(shù)列綜合問(wèn)題中有許多可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決．類型一：通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式；例如：角度1：求的前項(xiàng)和角度2：求的前項(xiàng)和類型二：通項(xiàng)含有的類型；例如：類型三：已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題二、典型題型題型一：求的前項(xiàng)和例題1．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題2．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題3．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題4．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，.(1)記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求.題型二：求的前項(xiàng)和例題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．(1)求k的值和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．題型三：通項(xiàng)含有的類型；例如：例題1．（2023秋·天津和平·高三天津二十中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列的公差以及數(shù)列的公比；(2)求數(shù)列前項(xiàng)的和．(3)求數(shù)列前項(xiàng)的和．例題2．（2023秋·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足（是常數(shù)）.(1)若，證明是等比數(shù)列；(2)若，且是等比數(shù)列，求的值以及數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3．（2023·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題4．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．題型四：已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題例題1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．例題2．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)為正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前99項(xiàng)和.例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，的前項(xiàng)和為，求.例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5．（2023春·廣東佛山·高二佛山市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.三、專題08數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．1012 B． C．2023 D．2．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．0 B．50 C．100 D．25254．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)令，記，求.14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1，公差不為0的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

專題08數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求的前項(xiàng)和 2題型二：求的前項(xiàng)和 5題型三：通項(xiàng)含有的類型；例如： 10題型四：已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題 13三、專題08數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 17一、必備秘籍有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問(wèn)題是高考中經(jīng)常涉及的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等．本專題主要研究與數(shù)列奇偶項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題，并在解決問(wèn)題中讓學(xué)生感悟分類討論等思想在解題中的有效運(yùn)用.因此，在數(shù)列綜合問(wèn)題中有許多可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決．類型一：通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式；例如：角度1：求的前項(xiàng)和角度2：求的前項(xiàng)和類型二：通項(xiàng)含有的類型；例如：類型三：已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題二、典型題型題型一：求的前項(xiàng)和例題1．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為d．∵，∴，解得．∴．（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．∴設(shè)，①則，②，得∴．故．例題2．（2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，則，∴，兩式相除得：，當(dāng)時(shí)，，∴，即，當(dāng)時(shí)，，∴，即，綜上所述，的通項(xiàng)公式為：；（2）由題設(shè)及（1）可知：，例題3．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，所以，所以，，所以，即．?）因?yàn)椋?，所以．例題4．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，.(1)記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，故，故，?dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）知：，故，其中，故，設(shè)，故.題型二：求的前項(xiàng)和例題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.【答案】(1),；(2).【詳解】（1）根據(jù)題意可知，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上，,.（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，即，解得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，且為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且為偶數(shù)時(shí)，.綜上，例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，且對(duì)任意的，都有.(1)證明：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，又，則有，所以，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以，所以，又，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以.（2）由（1）知，則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以，為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)為偶數(shù)，且時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，為偶數(shù)，.時(shí)，，滿足.所以，當(dāng)為奇數(shù)，且時(shí)，有.綜上，.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，且．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)也符合，所以．（2）由（1）知，，所以，當(dāng)即為偶數(shù)時(shí)，，即；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以．例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．(1)求k的值和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：，，成等差數(shù)列，所以，得，得，因?yàn)?，所以，所以，得．?）由（1）知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k，可得，即；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k－1，可得，即．綜上所述，.題型三：通項(xiàng)含有的類型；例如：例題1．（2023秋·天津和平·高三天津二十中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，．(1)求數(shù)列的公差以及數(shù)列的公比；(2)求數(shù)列前項(xiàng)的和．(3)求數(shù)列前項(xiàng)的和．【答案】(1)數(shù)列的公差為1，數(shù)列的公比為2(2)(3)【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為，由題意可得，即，解得，所以數(shù)列的公差為1，數(shù)列的公比為2.（2）由（1）可得：，則，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為，則，所以.（3）由（2）可知，當(dāng)為奇數(shù)，則，設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為，則，可得，，兩式相減得，所以.例題2．（2023秋·廣東珠海·高三珠海市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足（是常數(shù)）.(1)若，證明是等比數(shù)列；(2)若，且是等比數(shù)列，求的值以及數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2),【詳解】（1）依題意，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.（2）依題意，，，且是等比數(shù)列，則，，所以，而，故解得，則，所以等比數(shù)列的公比，則，所以，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.例題3．（2023·河南開(kāi)封·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，即，所以，所以，即是常數(shù)數(shù)列，又，所以，則.（2）因?yàn)?，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上可得.例題4．（2023·山東·山東師范大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，為的前n項(xiàng)和，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，，成等差數(shù)列，得，①當(dāng)時(shí)，，∴，得（舍去），當(dāng)時(shí)，，②①－②得，，∴，又，∴，∴是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，∴，故；（2）由（1）知，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，綜上.題型四：已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題例題1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？家荒＃┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，，所以上式兩邊同時(shí)除以，得，令，則，即，解得（負(fù)值舍去），所以，又，所以是以，的等比數(shù)列，故.（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)三角函數(shù)周期性知的周期為4，則例題2．（2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)為正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前99項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）,,兩式相減，化簡(jiǎn)得，又,所以,所以數(shù)列為等差數(shù)列，在中令得，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由的周期為3，，，因此.例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則解得，，所以（2）由，可得，數(shù)列的最小正周期，所以，所以例題4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，兩式子作差可得，又，所以，可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5．（2023春·廣東佛山·高二佛山市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，即數(shù)列為常數(shù)列，因?yàn)?，所?（2）由（1）可得，三、專題08數(shù)列求和（奇偶項(xiàng)討論求和）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．1012 B． C．2023 D．【答案】D【詳解】∵，故故.故選：D.2．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的通項(xiàng)公式（），則的前項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，故選：D3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．0 B．50 C．100 D．2525【答案】B【詳解】法一：由于①，則當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，即，易知，所以．又滿足，故，則，易知，所以.法二：由于①，則當(dāng)時(shí)，②，①-②，得，即，又易知，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，所以，則，易知，所以.故選：B．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【詳解】依題意，，顯然，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有，即有，，…，，令，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，故；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有，即，，…，，于是，，故選：B．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和，（

）A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】D【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，所以，所以，所以；故選：D6．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A． B． C．3027 D．3028【答案】A【詳解】解：由，得.故選：A.二、填空題7．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列滿足則數(shù)列的前60項(xiàng)和為．【答案】【詳解】由，

得，，所以，即，又，所以，所以數(shù)列為各項(xiàng)均為1的常數(shù)數(shù)列，所以，又由

得，，即，所以，所以數(shù)列的前60項(xiàng)和為.故答案為：.8．（2023春·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已