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專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一:求的前項(xiàng)和 2題型二:求的前項(xiàng)和 3題型三:通項(xiàng)含有的類型;例如: 4題型四:已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題 6三、專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問(wèn)題是高考中經(jīng)常涉及的問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等.本專題主要研究與數(shù)列奇偶項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題,并在解決問(wèn)題中讓學(xué)生感悟分類討論等思想在解題中的有效運(yùn)用.因此,在數(shù)列綜合問(wèn)題中有許多可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決.類型一:通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式;例如:角度1:求的前項(xiàng)和角度2:求的前項(xiàng)和類型二:通項(xiàng)含有的類型;例如:類型三:已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題二、典型題型題型一:求的前項(xiàng)和例題1.(2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題2.(2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)??茧A段練習(xí))數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3.(2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中??茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題4.(2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列滿足,.(1)記,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若,求.題型二:求的前項(xiàng)和例題1.(2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.例題2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))在數(shù)列中,,,且對(duì)任意的,都有.(1)證明:是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)積為,且.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)若,求的前項(xiàng)和.例題4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列中,,,(),,,,成等差數(shù)列.(1)求k的值和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型三:通項(xiàng)含有的類型;例如:例題1.(2023秋·天津和平·高三天津二十中??茧A段練習(xí))數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,且,,,.(1)求數(shù)列的公差以及數(shù)列的公比;(2)求數(shù)列前項(xiàng)的和.(3)求數(shù)列前項(xiàng)的和.例題2.(2023秋·廣東珠?!じ呷楹J械诙袑W(xué)??茧A段練習(xí))已知數(shù)列滿足(是常數(shù)).(1)若,證明是等比數(shù)列;(2)若,且是等比數(shù)列,求的值以及數(shù)列的前項(xiàng)和.例題3.(2023·河南開(kāi)封·校考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題4.(2023·山東·山東師范大學(xué)附中??寄M預(yù)測(cè))已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,為的前n項(xiàng)和,且,,成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.題型四:已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題例題1.(2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中??家荒#┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足:,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.例題2.(2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)??奸_(kāi)學(xué)考試)設(shè)為正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前99項(xiàng)和.例題3.(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,的前項(xiàng)和為,求.例題4.(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5.(2023春·廣東佛山·高二佛山市第四中學(xué)??茧A段練習(xí))已知在數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.三、專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則(
)A.1012 B. C.2023 D.2.(2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)若數(shù)列的通項(xiàng)公式(),則的前項(xiàng)和(
)A. B. C. D.3.(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則(
)A.0 B.50 C.100 D.25254.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,,,數(shù)列的前n項(xiàng)和(2)令,記,求.14.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))設(shè)是首項(xiàng)為1,公差不為0的等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.
專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一:求的前項(xiàng)和 2題型二:求的前項(xiàng)和 5題型三:通項(xiàng)含有的類型;例如: 10題型四:已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題 13三、專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)專項(xiàng)訓(xùn)練 17一、必備秘籍有關(guān)數(shù)列奇偶項(xiàng)的問(wèn)題是高考中經(jīng)常涉及的問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差(比)等.本專題主要研究與數(shù)列奇偶項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題,并在解決問(wèn)題中讓學(xué)生感悟分類討論等思想在解題中的有效運(yùn)用.因此,在數(shù)列綜合問(wèn)題中有許多可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決.類型一:通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式;例如:角度1:求的前項(xiàng)和角度2:求的前項(xiàng)和類型二:通項(xiàng)含有的類型;例如:類型三:已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題二、典型題型題型一:求的前項(xiàng)和例題1.(2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1)設(shè)的公差為d.∵,∴,解得.∴.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),.∴設(shè),①則,②,得∴.故.例題2.(2023秋·山東德州·高三德州市第一中學(xué)??茧A段練習(xí))數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1)∵,,則,∴,兩式相除得:,當(dāng)時(shí),,∴,即,當(dāng)時(shí),,∴,即,綜上所述,的通項(xiàng)公式為:;(2)由題設(shè)及(1)可知:,例題3.(2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中??茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1)依題意,設(shè)數(shù)列的公差為,因?yàn)?,所以,則,因?yàn)椋?,所以,所以,,所以,即.?)因?yàn)椋?,所以.例題4.(2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列滿足,.(1)記,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)若,求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)因?yàn)椋?,故,故,?dāng)時(shí),,故,所以數(shù)列是首項(xiàng)為5,公比為2的等比數(shù)列;(2)由(1)知:,故,其中,故,設(shè),故.題型二:求的前項(xiàng)和例題1.(2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.【答案】(1),;(2).【詳解】(1)根據(jù)題意可知,所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,即,所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,即,所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.綜上,,.(2)由(1)可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí),若,即,解得,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),若,即,解得,所以,當(dāng)時(shí),,所以.當(dāng)時(shí),且為奇數(shù)時(shí),當(dāng)時(shí),且為偶數(shù)時(shí),.綜上,例題2.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))在數(shù)列中,,,且對(duì)任意的,都有.(1)證明:是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析,;(2).【詳解】(1)證明:因?yàn)椋?,所?因?yàn)?,所以,又,則有,所以,所以是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.所以,所以,又,所以是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,所以,所以.(2)由(1)知,則的奇數(shù)項(xiàng)為以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)是以,為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)為偶數(shù),且時(shí),;當(dāng)為奇數(shù),且時(shí),為偶數(shù),.時(shí),,滿足.所以,當(dāng)為奇數(shù),且時(shí),有.綜上,.例題3.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)積為,且.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)若,求的前項(xiàng)和.【答案】(1);(2)【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,因?yàn)椋?,所以是?為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,時(shí)也符合,所以.(2)由(1)知,,所以,當(dāng)即為偶數(shù)時(shí),,即;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,所以.例題4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列中,,,(),,,,成等差數(shù)列.(1)求k的值和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1),(2)【詳解】(1)解:,,成等差數(shù)列,所以,得,得,因?yàn)?,所以,所以,得.?)由(1)知,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k,可得,即;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k-1,可得,即.綜上所述,.題型三:通項(xiàng)含有的類型;例如:例題1.(2023秋·天津和平·高三天津二十中??茧A段練習(xí))數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列,且,,,.(1)求數(shù)列的公差以及數(shù)列的公比;(2)求數(shù)列前項(xiàng)的和.(3)求數(shù)列前項(xiàng)的和.【答案】(1)數(shù)列的公差為1,數(shù)列的公比為2(2)(3)【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為,由題意可得,即,解得,所以數(shù)列的公差為1,數(shù)列的公比為2.(2)由(1)可得:,則,設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為,則,所以.(3)由(2)可知,當(dāng)為奇數(shù),則,設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為,則,可得,,兩式相減得,所以.例題2.(2023秋·廣東珠海·高三珠海市第二中學(xué)??茧A段練習(xí))已知數(shù)列滿足(是常數(shù)).(1)若,證明是等比數(shù)列;(2)若,且是等比數(shù)列,求的值以及數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2),【詳解】(1)依題意,,當(dāng)時(shí),,所以數(shù)列是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.(2)依題意,,,且是等比數(shù)列,則,,所以,而,故解得,則,所以等比數(shù)列的公比,則,所以,所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,綜上所述,.例題3.(2023·河南開(kāi)封·??寄M預(yù)測(cè))已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,且.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)椋?dāng)時(shí),所以,即,所以,所以,即是常數(shù)數(shù)列,又,所以,則.(2)因?yàn)?,?dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;綜上可得.例題4.(2023·山東·山東師范大學(xué)附中??寄M預(yù)測(cè))已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,為的前n項(xiàng)和,且,,成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由,,成等差數(shù)列,得,①當(dāng)時(shí),,∴,得(舍去),當(dāng)時(shí),,②①-②得,,∴,又,∴,∴是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,∴,故;(2)由(1)知,當(dāng)是奇數(shù)時(shí),,當(dāng)是偶數(shù)時(shí),,綜上.題型四:已知條件明確的奇偶項(xiàng)或含有三角函數(shù)問(wèn)題例題1.(2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中??家荒#┮阎黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足:,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù),,所以上式兩邊同時(shí)除以,得,令,則,即,解得(負(fù)值舍去),所以,又,所以是以,的等比數(shù)列,故.(2),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,根據(jù)三角函數(shù)周期性知的周期為4,則例題2.(2023春·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)設(shè)為正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前99項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1),,兩式相減,化簡(jiǎn)得,又,所以,所以數(shù)列為等差數(shù)列,在中令得,因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2)由的周期為3,,,因此.例題3.(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若,的前項(xiàng)和為,求.【答案】(1)(2)【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為,則解得,,所以(2)由,可得,數(shù)列的最小正周期,所以,所以例題4.(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,兩式子作差可得,又,所以,可得數(shù)列為公差為2的等差數(shù)列,當(dāng)時(shí),,所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2),,所以,數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5.(2023春·廣東佛山·高二佛山市第四中學(xué)??茧A段練習(xí))已知在數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由題意得,即數(shù)列為常數(shù)列,因?yàn)?,所?(2)由(1)可得,三、專題08數(shù)列求和(奇偶項(xiàng)討論求和)專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,則(
)A.1012 B. C.2023 D.【答案】D【詳解】∵,故故.故選:D.2.(2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)若數(shù)列的通項(xiàng)公式(),則的前項(xiàng)和(
)A. B. C. D.【答案】C【詳解】因?yàn)?,則,故選:D3.(2023·全國(guó)·高二專題練習(xí))已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則(
)A.0 B.50 C.100 D.2525【答案】B【詳解】法一:由于①,則當(dāng)時(shí),②,①-②,得,即,易知,所以.又滿足,故,則,易知,所以.法二:由于①,則當(dāng)時(shí),②,①-②,得,即,又易知,所以數(shù)列為常數(shù)列,所以,所以,則,易知,所以.故選:B.4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則(
)A.351 B.353 C.531 D.533【答案】B【詳解】依題意,,顯然,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有,即有,,…,,令,故,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列,故;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有,即,,…,,于是,,故選:B.5.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為為數(shù)列的前n項(xiàng)和,(
)A.1008 B.1009 C.1010 D.1011【答案】D【詳解】解:因?yàn)楫?dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù)時(shí),所以,所以,所以;故選:D6.(2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)??计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式是,則()A. B. C.3027 D.3028【答案】A【詳解】解:由,得.故選:A.二、填空題7.(2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí))數(shù)列滿足則數(shù)列的前60項(xiàng)和為.【答案】【詳解】由,
得,,所以,即,又,所以,所以數(shù)列為各項(xiàng)均為1的常數(shù)數(shù)列,所以,又由
得,,即,所以,所以數(shù)列的前60項(xiàng)和為.故答案為:.8.(2023春·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí))已
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