2024-2025學(xué)年上海四中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

-2025學(xué)年上海四中九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（每題4分，滿分24分）1．（4分）在中，各邊的長度都擴(kuò)大4倍．那么銳角的正切值A(chǔ)．?dāng)U大4倍 B．?dāng)U大2倍 C．保持不變 D．縮小4倍2．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，如果，，那么等于A． B． C． D．3．（4分）如圖，已知在中，，，，垂足為點(diǎn)，那么下列線段的比值不一定等于的是A． B． C． D．4．（4分）下列命題中，說法正確的是A．所有菱形都相似 B．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 C．三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊距離的兩倍 D．斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似5．（4分）如圖，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度為A． B． C． D．6．（4分）如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，下列結(jié)論中，說法錯(cuò)誤的是A．與相似 B．與相似 C． D．二、填空題（本大題共12題，滿分48分）7．（4分）如果，那么的值為．8．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且較長的線段的長等于10厘米，那么較短的線段的長為厘米．9．（4分）在比例尺為的地圖上，相距5厘米的兩地實(shí)際距離為千米．10．（4分）在中，，，，則．11．（4分）兩個(gè)相似三角形的面積之比是，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為厘米．12．（4分）點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作邊的平行線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，則．13．（4分）如圖，小明沿著坡度的坡面由到直行走了13米時(shí)，他上升的高度米．14．（4分）如圖，已知在中，，，，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么．15．（4分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步有木．問邑方幾何？”示意圖如圖，正方形中，、分別是和的中點(diǎn)，若，，，，且過點(diǎn)，那么正方形的邊長為．16．（4分）如圖，一艘船從處向北偏西的方向行駛5海里到處，再從處向正東方向行駛8海里到處，此時(shí)這艘船與出發(fā)點(diǎn)處相距海里．17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，，射線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，那么的值是．18．（4分）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿著過點(diǎn)的一條直線翻折，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，如果，那么的長為．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求線段的長．21．（10分）在中，，，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，求的長．22．（10分）某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測量．他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個(gè)不同測點(diǎn)，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個(gè)測點(diǎn)之間的距離．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測點(diǎn)之間的距離時(shí)，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）．課題測量旗桿的高度成員組長：組員：，，測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量示意圖說明：線段表示學(xué)校旗桿，測量角度的儀器的高度，測點(diǎn)，與在同一條水平直線上，，之間的距離可以直接測得，且點(diǎn)，，，，，都在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條直線上，點(diǎn)在上．測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)的度數(shù)，之間的距離任務(wù)一：兩次測量，之間的距離的平均值是．任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，任務(wù)三：該“綜合與實(shí)踐”小組在制定方案時(shí)，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未被采納．你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可）23．（12分）如圖，線段是的角平分線，點(diǎn)、點(diǎn)分別在線段、的延長線上，聯(lián)結(jié)、，且．（1）求證：；（2）如果，求證：．24．（12分）如圖，在四邊形中，，，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值．25．（14分）已知，在中，，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，射線交射線于點(diǎn)．（1）如圖，如果，求的值；（2）聯(lián)結(jié)，如果是以為腰的等腰三角形，求線段的長；（3）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)、，，求線段的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，滿分24分）1．（4分）在中，各邊的長度都擴(kuò)大4倍．那么銳角的正切值A(chǔ)．?dāng)U大4倍 B．?dāng)U大2倍 C．保持不變 D．縮小4倍解：如圖，在中，，則，，在中，各邊的長度都擴(kuò)大4倍．那么銳角的正切值保持不變，故選：．2．（4分）如圖，已知，它們依次交直線、于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，如果，，那么等于A． B． C． D．解：，，即，．故選：．3．（4分）如圖，已知在中，，，，垂足為點(diǎn)，那么下列線段的比值不一定等于的是A． B． C． D．解：、不一定等于，故符合題意；、是直角三角形，，正確，故不符合題意；、，，，，正確，故不符合題意；、是直角三角形，，正確，故不符合題意．故選：．4．（4分）下列命題中，說法正確的是A．所有菱形都相似 B．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 C．三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊距離的兩倍 D．斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似解：、所有的菱形不相似，故錯(cuò)誤，不符合題意；、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，故錯(cuò)誤，不符合題意；、三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的兩倍，故錯(cuò)誤，不符合題意；、斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形是相似的，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：．5．（4分）如圖，某零件的外徑為，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度為A． B． C． D．解：，，，，．．某零件的外徑為，零件的厚度為：，故選：．6．（4分）如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，下列結(jié)論中，說法錯(cuò)誤的是A．與相似 B．與相似 C． D．解：，，，，，，，，，，，，故選項(xiàng)，，正確，故選：．二、填空題（本大題共12題，滿分48分）7．（4分）如果，那么的值為．解：，，．故答案為：．8．（4分）已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且較長的線段的長等于10厘米，那么較短的線段的長為厘米．解：設(shè)線段的長為，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，較長的線段的長等于10厘米，，解得，，較短的線段的長（厘米），故答案為：．9．（4分）在比例尺為的地圖上，相距5厘米的兩地實(shí)際距離為0.5千米．解：根據(jù)：比例尺圖上距離：實(shí)際距離，設(shè)兩地實(shí)際距離為厘米，得：，相距5厘米的兩地的實(shí)際距離是（厘米）（千米），故答案為：0.5．10．（4分）在中，，，，則6．解：在中，，，，，，故答案為：6．11．（4分）兩個(gè)相似三角形的面積之比是，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為3厘米．解：設(shè)另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為厘米，兩個(gè)相似三角形的面積之比是，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，，解得：，另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為3厘米，故答案為：3．12．（4分）點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作邊的平行線與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，則．解：連接交于點(diǎn)，，，是的重心，，是中點(diǎn)，，，故答案為：．13．（4分）如圖，小明沿著坡度的坡面由到直行走了13米時(shí)，他上升的高度5米．解：坡度，與的比為，設(shè)米，則米，由勾股定理，得．解得．故答案為：5．14．（4分）如圖，已知在中，，，，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，那么．解：，，，沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，，在中，，，，，，．故答案為：．15．（4分）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有邑方不知大小，各中開門．出北門三十步有木，出西門七百五十步有木．問邑方幾何？”示意圖如圖，正方形中，、分別是和的中點(diǎn)，若，，，，且過點(diǎn)，那么正方形的邊長為300．解：、分別是和的中點(diǎn)，，，，，由題意可得，，，即，解得：，．故答案為：300．16．（4分）如圖，一艘船從處向北偏西的方向行駛5海里到處，再從處向正東方向行駛8海里到處，此時(shí)這艘船與出發(fā)點(diǎn)處相距7海里．解：如圖：，，，海里，海里，海里，（海里），（海里），故答案為：7．17．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，，射線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，那么的值是1．解：設(shè)的解析式為，，，，聯(lián)立，解得，，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，，，，；方法二：過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，點(diǎn)、在反比例函數(shù)圖象上，，，，，，，，，，，；故答案為：1．18．（4分）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿著過點(diǎn)的一條直線翻折，使得點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)，如果，那么的長為．解：根據(jù)題意如圖所示：在中，，，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，，，，，平分，設(shè)，則，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．解：．20．（10分）如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求線段的長．【解答】（1）證明：，△△，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，；（2）解：，△△，，由（1）知，，，設(shè)，，，，解得，（不合題意，舍去），．21．（10分）在中，，，．（1）求證：；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，求的長．解：（1），，，，，，，，；（2）；，是直角三角形，，，，，，，，，，．22．（10分）某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)．他們制訂了測量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測量．他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個(gè)不同測點(diǎn)，分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個(gè)測點(diǎn)之間的距離．為了減小測量誤差，小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)測點(diǎn)之間的距離時(shí)，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結(jié)果，測量數(shù)據(jù)如下表（不完整）．課題測量旗桿的高度成員組長：組員：，，測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量示意圖說明：線段表示學(xué)校旗桿，測量角度的儀器的高度，測點(diǎn)，與在同一條水平直線上，，之間的距離可以直接測得，且點(diǎn)，，，，，都在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)，，在同一條直線上，點(diǎn)在上．測量數(shù)據(jù)測量項(xiàng)目第一次第二次平均值的度數(shù)的度數(shù)，之間的距離任務(wù)一：兩次測量，之間的距離的平均值是5.5．任務(wù)二：根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助該“綜合與實(shí)踐”小組求出學(xué)校旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，任務(wù)三：該“綜合與實(shí)踐”小組在制定方案時(shí)，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”的方案，但未被采納．你認(rèn)為其原因可能是什么？（寫出一條即可）解：任務(wù)一：，故答案為：5.5；任務(wù)二：設(shè)，在中，，，，，在中，，，，，，，，（米，答：旗桿的高度為14.7米；任務(wù)三：沒有太陽光或旗桿底部不可能到達(dá)．23．（12分）如圖，線段是的角平分線，點(diǎn)、點(diǎn)分別在線段、的延長線上，聯(lián)結(jié)、，且．（1）求證：；（2）如果，求證：．【解答】證明：（1）是的角平分線，，，，，，，，；（2），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．24．（12分）如圖，在四邊形中，，，，是對(duì)角線的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求的值．【解答】（1）證明：，，，，是的中點(diǎn)，，，，，；（2）解：，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，，，．2