2024-2025學年廣東省三校高二數(shù)學上學期第一次月考試卷及答案解析

-2025學年廣東省三校高二數(shù)學上學期第一次月考試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.）1.如圖所示，在三棱臺中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結構特征，即可得出結論．【詳解】三棱臺中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點，四邊形為底面的四棱錐．故選：B2.棱長為的正四面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形的面積公式可得出正四面體的表面積.【詳解】棱長為的正四面體的表面積為.故選：A.3.如圖，在正四棱臺中，分別為棱的中點，則（）A.直線與直線是異面直線 B.直線與直線是異面直線C.直線與直線共面 D.直線與直線共面【答案】C【解析】【分析】由正四棱臺的結構特征，側棱的延長線交于同一點，的延長線必過此點，可判斷選項中的線線位置關系.【詳解】延長，由正四棱臺的性質可得側棱的延長線交于同一點，設該交點為.分別為棱的中點，延長，則的延長線必過點，則直線與直線相交于點；與直線相交于點；與直線相交于點；與直線是異面直線.故選：C.4.底面積是，側面積是的圓錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用圓錐的側面積公式求出母線長，進而求出高，再利用圓錐的體積公式求解．【詳解】設圓錐的母線長為，高為，半徑為，則且，故，圓錐的體積為．故選：D．5.已知正方體中，E為中點，則異面直線與CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，根據(jù)異面直線所成角的定義，轉化為求（或其補角），然后在中用余弦定理即可解得.【詳解】連接，，如圖：因為為正方體可得，所以（或其補角）是異面直線與CE所成角，設正方體的棱長為，，，在中，，所以異面直線與CE所成角的余弦值是.故選：D.6.如圖，在正四棱臺中，，則該正四棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出截面，過點作，結合等腰梯形的性質得到高，再計算體積即可.【詳解】過作出截面如圖所示，過點作，垂足為，易知為正四棱臺的高，

因為，所以由勾股定理得，又，則在等腰梯形中，，所以，所以所求體積為.故選：.7.我國古代數(shù)學專著《九章算術》中有這樣一個問題:“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下，纏木七周，上與木齊.問葛長幾何?”其意思為:“圓木長2丈，圓周長為3尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木7周，頂部剛好與圓木平齊，問葛藤長為多少?"若1丈尺，則葛藤最少長（）A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意知，圓柱的側面展開圖是矩形，且矩形的長為（尺），高為尺，則葛藤的最少長度為矩形的對角線長，利用勾股定理可求得結果.【詳解】根據(jù)題意知，圓柱的側面展開圖是矩形，如下圖所示，矩形的高（即圓木長）為尺，矩形的底邊長為（尺），因此葛藤最少長（尺）.故選：C.8.如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點，且，P點是正方形內的動點，若平面，則P點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，的中點為，連接，可得四邊形是平行四邊形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，進而得出P點的軌跡.【詳解】如圖所示，取的中點，的中點為，連接，則∥，，且∥，，可得∥，且，可知四邊形是平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，可知平面∥平面，又因為P點是正方形內的動點，平面，所以點在線段上，由題意可知：，可得，所以P點的軌跡長度為.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的部分分，有選錯的得0分.）9.已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題，其中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間中垂直關系的轉化可判斷ABC的正誤，根據(jù)線面平行定義可判斷D的正誤.【詳解】對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，若，，則，而，故，故B正確；對于C，若，，則，而，故，故C正確；對于D，若，，則或異面，故D錯誤，故選：BC10.在實踐課上，小華將透明塑料制成了一個長方體容器，如圖（1），，，在容器內灌進一些水，現(xiàn)固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，如圖（2），則（）A.有水的部分始終呈三棱柱或四棱柱B.棱與水面所在平面平行C.水面EFGH所在四邊形的面積為定值D.當容器傾斜成如圖（3）所示時，EF的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由棱柱的概述判斷A；由線面平行判定定理判斷B；計算可判斷C；利用基本不等式可判斷D.【詳解】由棱柱定義知，選項A正確；對于選項B，由于，，所以，且不在水面所在平面內，所以棱與水面所在平面平行，選項B正確；對于選項C，在圖（1）中，，在圖（2）中，，選項C錯誤；對于選項D，，所以．，當且僅當時，等號成立，所以EF的最小值為，選項D正確．故選：ABD．11.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形構成（如圖所示），若它的所有棱長都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.PN與平面EBFN所成角的正弦值為【答案】BD【解析】【分析】A用反證法判斷；B先補齊八個角成正方體，再計算體積判斷；C先找到球心與半徑，再計算表面積判斷；D先找到直線與平面所成角，再求正弦值判斷．【詳解】對于A，假設A對，即平面，于是，，但六邊形為正六邊形，，矛盾，所以A錯誤；對于B，補齊八個角構成棱長為2的正方體，則該二十四等邊體的體積為，所以B對；對于C，取正方形對角線交點，即為該二十四等邊體外接球的球心，其半徑為，其表面積為，所以C錯誤；對于D，因為在平面內射影為，所以與平面所成角即為，其正弦值為，所以D對．故選：BD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計15分）12.如下圖，三角形A'B'C'是三角形ABC的直觀圖，則三角形ABC的面積是_______.【答案】2【解析】【分析】畫出原圖形可得答案.【詳解】由直觀圖畫出原圖，如圖，可得是等腰三角形，且，所以三角形的面積.故答案為:2.13.圓柱的底面半徑為1，側面積為，則該圓柱外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】先利用側面積求出圓柱的高，再求出球的半徑可得表面積.【詳解】設圓柱的高為，其外接球的半徑為，由圓柱的底面半徑為1，側面積為，得，解得，由圓柱和球的對稱性可知，球心位于圓柱上下底面中心連線的中點處，因此，所以球的表面積為.故答案為：14.球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，扇形的面積為，則扇形繞直線旋轉一周形成的幾何體的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)扇形面積公式求出圓的半徑，過點作交于點，過點作交于點，即可求出，將扇形繞直線旋轉一周形成的幾何體為一個半徑的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，再根據(jù)所給公式分別求出表面積.【詳解】因為，所以，設圓的半徑為，又，解得（負值舍去），過點作交于點，過點作交于點，則，所以，同理可得，將扇形繞直線旋轉一周形成的幾何體為一個半徑的球中，上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，其中上面球缺的高，上面圓錐的底面半徑，高為，下面球缺的高，下面圓錐的底面半徑，高為，則上面球冠的表面積，下面球冠的表面積，球的表面積，上面圓錐的側面積，下面圓錐的側面積，所以幾何體表面積.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是弄清楚經(jīng)過旋轉之后得到的幾何體是如何組成，對于表面積要合理轉化.四、解答題（本題共5小題，共7分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在正三棱柱中，，，，分別是，，，的中點.（1）求證：，，，四點共面；（2）求證：平面平面；【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）證明出，得到四點共面；（2）先得到，，證明出線面平行，面面平行.【小問1詳解】∵，分別是，的中點，∴是的中位線，∴，又在三棱柱中，，∴，∴，，，四點共面.【小問2詳解】∵在三棱柱中，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.又，是，的中點，所以，又.所以，∵平面，平面，∴平面.又，平面，所以平面平面.16.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.（1）若，Q為PB的中點，求三棱錐的體積；（2）求證：AN⊥平面PBM；（3）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先得到，根據(jù)Q為PB的中點，故；（2）由線線垂直，得到線面垂直，即BM⊥平面PAM.，故BM⊥AN，又AN⊥PM，從而得到線面垂直；（3）由(1)知AN⊥平面PBM，故AN⊥PB，又AQ⊥PB，故PB⊥平面ANQ，得到答案.【小問1詳解】因為AB為⊙O的直徑，所以⊥，又，故，又PA垂直于⊙O所在的平面，，故，因為Q為PB的中點，所以.【小問2詳解】∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM平面ABM，∴PA⊥BM.又∵，PA，AM平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且，BM，PM平面PBM，∴AN⊥平面PBM.【小問3詳解】由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ平面ANQ，∴PB⊥NQ.17.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，稱四面都為直角三角形的三棱錐為“鱉臑”．如圖，在三棱錐中，平面．（1）證明：三棱錐為鱉臑；（2）若為上一點，點分別為的中點．平面與平面的交線為．①證明：直線平面；②判斷與的位置關系，并證明你的結論．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②平行，證明見解析.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位線定理及線面平行的判定定理即可求解；②利用①的結論及線面平行的性質定理即可求解.【小問1詳解】∵，∴為直角三角形，∵平面，且平面，平面，平面，∴，，，∴和為直角三角形，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∴為直角三角形，∴三棱錐為鱉曘.【小問2詳解】①連接，∵點分別為的中點，∴，且平面，平面，所以直線平面，②平行，證明：平面，平面，平面平面=，所以.18.一塊四棱錐木塊如圖所示，平面，四邊形ABCD為平行四邊形，且，.（1）要經(jīng)過點B、D將木料鋸開，使得截面平行于側棱，在木料表面該怎樣畫線？并說明理由；（2）計算（1）中所得截面的面積；（3）求直線SC與（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【答案】（1）即為要畫的線，理由見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）要使截面與平行，考慮構造線線平行，取中點，取的對稱中心,連接,證明即得截面；（2）分別計算的三邊，再利用三角形面積公式計算即得；（3）利用等體積求出點到平面的距離，再由線面所成角的定義即可求得.【小問1詳解】如圖，取的中點，連接,則即為要畫的線.理由如下：連接與交于點，連接.因四邊形ABCD為平行四邊形，則點為的中點，故,又因平面,平面,故有平面；【小問2詳解】如圖中，過點作于點，連接,因平面,平面，則,故,平面,,,因，則,因平面，則，故,又由余弦定理，，故得.又，O為BD中點，則，于是截面的面積為；【小問3詳解】過點作平面，交平面于點,連接,則即直線與截面所成的角.由可得，,即得：，則,即直線SC與平面所成角的正弦值為.【點睛】思路點睛：本題主要考查運用線面平行的判定方法解決實際問題和線面所成角的求法，屬于較難題.解題的思路在于充分利用平行四邊形對角線性質、等腰三角形三線合一，三角形中位線性質等方法尋找線線平行；對于線面所成角問題，除了定義法作圖求解外，對于不易找到點在平面的射影時，可考慮運用等體積轉化求解.19.空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的