2024-2025學(xué)年廣東省三校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷及答案解析

-2025學(xué)年廣東省三校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.如圖所示，在三棱臺(tái)中，截去三棱錐，則剩余部分是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.三棱柱 D.組合體【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形和棱錐的定義及結(jié)構(gòu)特征，即可得出結(jié)論．【詳解】三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，剩余的部分是以為頂點(diǎn)，四邊形為底面的四棱錐．故選：B2.棱長為的正四面體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形的面積公式可得出正四面體的表面積.【詳解】棱長為的正四面體的表面積為.故選：A.3.如圖，在正四棱臺(tái)中，分別為棱的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線是異面直線 B.直線與直線是異面直線C.直線與直線共面 D.直線與直線共面【答案】C【解析】【分析】由正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，側(cè)棱的延長線交于同一點(diǎn)，的延長線必過此點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)中的線線位置關(guān)系.【詳解】延長，由正四棱臺(tái)的性質(zhì)可得側(cè)棱的延長線交于同一點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為.分別為棱的中點(diǎn)，延長，則的延長線必過點(diǎn)，則直線與直線相交于點(diǎn)；與直線相交于點(diǎn)；與直線相交于點(diǎn)；與直線是異面直線.故選：C.4.底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用圓錐的側(cè)面積公式求出母線長，進(jìn)而求出高，再利用圓錐的體積公式求解．【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，高為，半徑為，則且，故，圓錐的體積為．故選：D．5.已知正方體中，E為中點(diǎn)，則異面直線與CE所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，根據(jù)異面直線所成角的定義，轉(zhuǎn)化為求（或其補(bǔ)角），然后在中用余弦定理即可解得.【詳解】連接，，如圖：因?yàn)闉檎襟w可得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與CE所成角，設(shè)正方體的棱長為，，，在中，，所以異面直線與CE所成角的余弦值是.故選：D.6.如圖，在正四棱臺(tái)中，，則該正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出截面，過點(diǎn)作，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得到高，再計(jì)算體積即可.【詳解】過作出截面如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，易知為正四棱臺(tái)的高，

因?yàn)?，所以由勾股定理得，又，則在等腰梯形中，，所以，所以所求體積為.故選：.7.我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題:“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下，纏木七周，上與木齊.問葛長幾何?”其意思為:“圓木長2丈，圓周長為3尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木7周，頂部剛好與圓木平齊，問葛藤長為多少?"若1丈尺，則葛藤最少長（）A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意知，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，且矩形的長為（尺），高為尺，則葛藤的最少長度為矩形的對(duì)角線長，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，如下圖所示，矩形的高（即圓木長）為尺，矩形的底邊長為（尺），因此葛藤最少長（尺）.故選：C.8.如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB上的中點(diǎn)，且，P點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則P點(diǎn)的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，連接，可得四邊形是平行四邊形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，進(jìn)而得出P點(diǎn)的軌跡.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，連接，則∥，，且∥，，可得∥，且，可知四邊形是平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，可知平面∥平面，又因?yàn)镻點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，平面，所以點(diǎn)在線段上，由題意可知：，可得，所以P點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間中垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷ABC的正誤，根據(jù)線面平行定義可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，而，故，故B正確；對(duì)于C，若，，則，而，故，故C正確；對(duì)于D，若，，則或異面，故D錯(cuò)誤，故選：BC10.在實(shí)踐課上，小華將透明塑料制成了一個(gè)長方體容器，如圖（1），，，在容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，現(xiàn)固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，如圖（2），則（）A.有水的部分始終呈三棱柱或四棱柱B.棱與水面所在平面平行C.水面EFGH所在四邊形的面積為定值D.當(dāng)容器傾斜成如圖（3）所示時(shí)，EF的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】由棱柱的概述判斷A；由線面平行判定定理判斷B；計(jì)算可判斷C；利用基本不等式可判斷D.【詳解】由棱柱定義知，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由于，，所以，且不在水面所在平面內(nèi)，所以棱與水面所在平面平行，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，在圖（1）中，，在圖（2）中，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以EF的最小值為，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．11.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若它的所有棱長都為，則（）A.平面EABB.該二十四等邊體的體積為C.該二十四等邊體外接球的表面積為D.PN與平面EBFN所成角的正弦值為【答案】BD【解析】【分析】A用反證法判斷；B先補(bǔ)齊八個(gè)角成正方體，再計(jì)算體積判斷；C先找到球心與半徑，再計(jì)算表面積判斷；D先找到直線與平面所成角，再求正弦值判斷．【詳解】對(duì)于A，假設(shè)A對(duì)，即平面，于是，，但六邊形為正六邊形，，矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，補(bǔ)齊八個(gè)角構(gòu)成棱長為2的正方體，則該二十四等邊體的體積為，所以B對(duì)；對(duì)于C，取正方形對(duì)角線交點(diǎn)，即為該二十四等邊體外接球的球心，其半徑為，其表面積為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)射影為，所以與平面所成角即為，其正弦值為，所以D對(duì)．故選：BD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分）12.如下圖，三角形A'B'C'是三角形ABC的直觀圖，則三角形ABC的面積是_______.【答案】2【解析】【分析】畫出原圖形可得答案.【詳解】由直觀圖畫出原圖，如圖，可得是等腰三角形，且，所以三角形的面積.故答案為:2.13.圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，則該圓柱外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】先利用側(cè)面積求出圓柱的高，再求出球的半徑可得表面積.【詳解】設(shè)圓柱的高為，其外接球的半徑為，由圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，得，解得，由圓柱和球的對(duì)稱性可知，球心位于圓柱上下底面中心連線的中點(diǎn)處，因此，所以球的表面積為.故答案為：14.球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點(diǎn)，，扇形的面積為，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)扇形面積公式求出圓的半徑，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，即可求出，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，再根據(jù)所給公式分別求出表面積.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負(fù)值舍去），過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以，同理可得，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑的球中，上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，其中上面球缺的高，上面圓錐的底面半徑，高為，下面球缺的高，下面圓錐的底面半徑，高為，則上面球冠的表面積，下面球冠的表面積，球的表面積，上面圓錐的側(cè)面積，下面圓錐的側(cè)面積，所以幾何體表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是弄清楚經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后得到的幾何體是如何組成，對(duì)于表面積要合理轉(zhuǎn)化.四、解答題（本題共5小題，共7分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，在正三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn).（1）求證：，，，四點(diǎn)共面；（2）求證：平面平面；【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）證明出，得到四點(diǎn)共面；（2）先得到，，證明出線面平行，面面平行.【小問1詳解】∵，分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，又在三棱柱中，，∴，∴，，，四點(diǎn)共面.【小問2詳解】∵在三棱柱中，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.又，是，的中點(diǎn)，所以，又.所以，∵平面，平面，∴平面.又，平面，所以平面平面.16.如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足.（1）若，Q為PB的中點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2）求證：AN⊥平面PBM；（3）若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）先得到，根據(jù)Q為PB的中點(diǎn)，故；（2）由線線垂直，得到線面垂直，即BM⊥平面PAM.，故BM⊥AN，又AN⊥PM，從而得到線面垂直；（3）由(1)知AN⊥平面PBM，故AN⊥PB，又AQ⊥PB，故PB⊥平面ANQ，得到答案.【小問1詳解】因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以⊥，又，故，又PA垂直于⊙O所在的平面，，故，因?yàn)镼為PB的中點(diǎn)，所以.【小問2詳解】∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM平面ABM，∴PA⊥BM.又∵，PA，AM平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且，BM，PM平面PBM，∴AN⊥平面PBM.【小問3詳解】由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ平面ANQ，∴PB⊥NQ.17.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，稱四面都為直角三角形的三棱錐為“鱉臑”．如圖，在三棱錐中，平面．（1）證明：三棱錐為鱉臑；（2）若為上一點(diǎn)，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．平面與平面的交線為．①證明：直線平面；②判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②平行，證明見解析.【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位線定理及線面平行的判定定理即可求解；②利用①的結(jié)論及線面平行的性質(zhì)定理即可求解.【小問1詳解】∵，∴為直角三角形，∵平面，且平面，平面，平面，∴，，，∴和為直角三角形，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∴為直角三角形，∴三棱錐為鱉曘.【小問2詳解】①連接，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴，且平面，平面，所以直線平面，②平行，證明：平面，平面，平面平面=，所以.18.一塊四棱錐木塊如圖所示，平面，四邊形ABCD為平行四邊形，且，.（1）要經(jīng)過點(diǎn)B、D將木料鋸開，使得截面平行于側(cè)棱，在木料表面該怎樣畫線？并說明理由；（2）計(jì)算（1）中所得截面的面積；（3）求直線SC與（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【答案】（1）即為要畫的線，理由見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）要使截面與平行，考慮構(gòu)造線線平行，取中點(diǎn)，取的對(duì)稱中心,連接,證明即得截面；（2）分別計(jì)算的三邊，再利用三角形面積公式計(jì)算即得；（3）利用等體積求出點(diǎn)到平面的距離，再由線面所成角的定義即可求得.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接,則即為要畫的線.理由如下：連接與交于點(diǎn)，連接.因四邊形ABCD為平行四邊形，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，故,又因平面,平面,故有平面；【小問2詳解】如圖中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接,因平面,平面，則,故,平面,,,因，則,因平面，則，故,又由余弦定理，，故得.又，O為BD中點(diǎn)，則，于是截面的面積為；【小問3詳解】過點(diǎn)作平面，交平面于點(diǎn),連接,則即直線與截面所成的角.由可得，,即得：，則,即直線SC與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查運(yùn)用線面平行的判定方法解決實(shí)際問題和線面所成角的求法，屬于較難題.解題的思路在于充分利用平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)、等腰三角形三線合一，三角形中位線性質(zhì)等方法尋找線線平行；對(duì)于線面所成角問題，除了定義法作圖求解外，對(duì)于不易找到點(diǎn)在平面的射影時(shí)，可考慮運(yùn)用等體積轉(zhuǎn)化求解.19.空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的