北京市朝陽區(qū)2022-2023學年高三上學期期末質(zhì)量檢測數(shù)學試卷 附答案

高三數(shù)學參考答案第6頁（共6頁）北京市朝陽區(qū)2022~2023學年度第一學期期末質(zhì)量檢測高三數(shù)學參考答案2023.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D（6）A （7）B （8）C （9）C（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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） （12） （13）（14）

（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分） 解：（Ⅰ）因為，所以．又因為，所以．所以．又因為，所以．（Ⅱ）因為，，由余弦定理，得．因為，當且僅當時等號成立，所以，解得． 所以的最小值為．（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）設事件為“高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎”．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，高三（）班共訓練次，跳繩個數(shù)超過個的共次．所以估計為．（Ⅱ）設事件為“高三（）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎”，．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計為，估計為，估計為．根據(jù)題意，隨機變量的所有可能取值為,,,,，且；；；；．所以，估計為；估計為；估計為；估計為；估計為．所以估計為．（Ⅲ）在此次跳長繩比賽中，高三（）班獲得冠軍的概率估計值最大．（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）取的中點,連接,.因為,分別是,的中點,所以且.又且，所以且.故四邊形為平行四邊形.所以.又因為平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取中點，連接,.在中，因為，所以.又因為平面平面，且平面平面，所以平面.故,.又在正方形中，,所以,,兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標，設，則,,,,.所以，，.設平面的法向量為，則即令，則,．于是．又因為平面的一個法向量為，所以．選擇條件①：．則，即．又，所以．此時．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．選擇條件②：．則，得．此時．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為面積的最大值為，所以．又因為，，所以，．所以橢圓的方程為，離心率為．（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為．顯然∽．因為，所以．不合題意．②當直線的斜率存在時，設直線的方程為．由得．顯然．設，，且，則，．直線的方程為．令，得點的縱坐標，則．直線的方程為．同理可得．所以．所以．即．可得．化簡得．解得．所以直線的方程為或．（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）的定義域為．由得．令得．因為，所以當時，；當時，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．設，則．令，得（舍），．當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減．故．又由得．所以．依題意需，即．設，則易知在為增函數(shù)．又，所以對任意的，有；對任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范圍為．（Ⅲ）由得，且,．由（Ⅱ）知，當時，，當且僅當時取等號．所以，．兩式相加得，即．故．（21）（本小題15分）解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）對任意，存在，使得．若或，則或又可以寫成數(shù)列中某兩項的和，如．依此類推，存在，使得，其中．所以存在，使得，且．設，則當時，．當時，．所以，對任意，均有，即．（Ⅲ）令，其中．由（Ⅱ）知，.由，得．所以，當時，.由（Ⅱ）知.若，則．此時，當時，.若不全為，設，為中最小的正數(shù)，則．