北京市朝陽區(qū)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷 附答案

高三數(shù)學(xué)參考答案第6頁（共6頁）北京市朝陽區(qū)2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)參考答案2023.1一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D（6）A （7）B （8）C （9）C（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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） （12） （13）（14）

（15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．所以．又因?yàn)?，所以．（Ⅱ）因?yàn)椋?，由余弦定理，得．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得． 所以的最小值為．（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件為“高三（）班在此次跳長(zhǎng)繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)”．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，高三（）班共訓(xùn)練次，跳繩個(gè)數(shù)超過個(gè)的共次．所以估計(jì)為．（Ⅱ）設(shè)事件為“高三（）班在此次跳長(zhǎng)繩比賽中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)”，．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為，估計(jì)為，估計(jì)為．根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為,,,,，且；；；；．所以，估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為；估計(jì)為．所以估計(jì)為．（Ⅲ）在此次跳長(zhǎng)繩比賽中，高三（）班獲得冠軍的概率估計(jì)值最大．（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）取的中點(diǎn),連接,.因?yàn)?分別是,的中點(diǎn),所以且.又且，所以且.故四邊形為平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）取中點(diǎn)，連接,.在中，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平?故,.又在正方形中，,所以,,兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，則,,,,.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則,．于是．又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以．選擇條件①：．則，即．又，所以．此時(shí)．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．選擇條件②：．則，得．此時(shí)．由題知二面角為銳角，所以其余弦值為．（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）因?yàn)槊娣e的最大值為，所以．又因?yàn)?，，所以，．所以橢圓的方程為，離心率為．（Ⅱ）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．顯然∽．因?yàn)?，所以．不合題意．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由得．顯然．設(shè)，，且，則，．直線的方程為．令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則．直線的方程為．同理可得．所以．所以．即．可得．化簡(jiǎn)得．解得．所以直線的方程為或．（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋傻茫畹茫驗(yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅱ）由，依題意，在上恒成立．設(shè)，則．令，得（舍），．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．故．又由得．所以．依題意需，即．設(shè)，則易知在為增函數(shù)．又，所以對(duì)任意的，有；對(duì)任意的，有．所以，即，解得．所以的取值范圍為．（Ⅲ）由得，且,．由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，．兩式相加得，即．故．（21）（本小題15分）解：（Ⅰ），，，．（Ⅱ）對(duì)任意，存在，使得．若或，則或又可以寫成數(shù)列中某兩項(xiàng)的和，如．依此類推，存在，使得，其中．所以存在，使得，且．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以，對(duì)任意，均有，即．（Ⅲ）令，其中．由（Ⅱ）知，.由，得．所以，當(dāng)時(shí)，.由（Ⅱ）知.若，則．此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.若不全為，設(shè)，為中最小的正數(shù)，則．