北京市2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷含解析

PAGE19-北京市2024年高考數(shù)學(xué)壓軸卷（含解析）本試卷共5頁，150分，考試時(shí)長120分鐘．考試務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿意，則等于（）A． B． C． D．3．在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．4．已知兩條直線m，n和平面，且，則“”是“”的（）A．充分必要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的全部圓中，半徑最大的圓的半徑為（）A． B． C． D．6．在中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，則（）A． B．4 C． D．67．已知函數(shù)則不等式的解集是（）A． B． C． D．8．將函數(shù)（）的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，且，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．為偶函數(shù)B．C．當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)D．若在上單調(diào)遞減，則的最大值為99．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比，且，則（）A． B．C． D．與大小不確定10．形態(tài)?節(jié)奏?聲音或軌跡，這些現(xiàn)象都可以分解成自復(fù)制的結(jié)構(gòu).即相同的形式會(huì)按比例漸漸縮小，并無限重復(fù)下去，也就是說，在前一個(gè)形式中重復(fù)出現(xiàn)被縮小的相同形式，依此類推，如圖所示，將圖1的正三角形的各邊都三等分，以每條邊中間一段為邊再向外做一個(gè)正三角形，去掉中間一段得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”；依次進(jìn)行“n次分形”，得到一個(gè)周長不小于初始三角形周長100倍的分形圖，則n最小值是（）(取)A．15 B．16 C．17 D．18其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．函數(shù)的定義域是_________．12．已知雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為______．13．從2008年京津城際鐵路通車運(yùn)營起先，高鐵在過去兒年里快速發(fā)展，并在國民經(jīng)濟(jì)和日常生活中扮演著日益重要的角色．下圖是2009年至2024年高鐵運(yùn)營總里程數(shù)的折線圖（圖中的數(shù)據(jù)均是每年12月31日的統(tǒng)計(jì)結(jié)果）．依據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是①2015年這一年，高鐵運(yùn)營里程數(shù)超過0.5萬公里；②2013年到2024高鐵運(yùn)營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運(yùn)營里程平均增長率；③從2010年至2024年，新增高鐵運(yùn)營里程數(shù)最多的一年是2014年；④從2010年至2024年，新增高鐵運(yùn)營里程數(shù)逐年遞增；其中全部正確結(jié)論的序號(hào)是____．14．已知雙曲線，則C的漸近線方程是__________；過C的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積是_________．15．已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的長為________，它的體積為________.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（本小題13分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．17．（本小題13分）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）再從下面條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．條件①；條件②：．注：假如選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（本小題14分）2024年第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，簡稱“北京張家口冬奧會(huì)”，將在2024年02月04日～2024年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合實(shí)行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京將承辦全部冰上項(xiàng)目，延慶和張家口將承辦全部的雪上項(xiàng)目．下表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表：2024年北京冬奧會(huì)賽程表（第七版，發(fā)布自2024年11月）2024年2月北京賽區(qū)延慶賽區(qū)張家口賽區(qū)開閉幕式冰壺冰球速度滑冰短道速滑花樣滑冰高山滑雪有舵雪橇鋼架雪車無舵雪橇跳臺(tái)滑雪北歐兩項(xiàng)越野滑雪單板滑雪冬季兩項(xiàng)自由式滑雪當(dāng)日決賽數(shù)5（六）**11*11*1166（日）**1*1111117說明：“*”代表當(dāng)日有不是決賽的競賽；數(shù)字代表當(dāng)日有相應(yīng)數(shù)量的決賽．（1）①若在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)競賽項(xiàng)目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；②若在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，求兩場決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；（2）若在2月6日（星期日）的全部決賽中觀看三場，記為賽區(qū)的個(gè)數(shù)，求的分布列及期望．19．（本小題15分）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求證：函數(shù)存在微小值；（3）若對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．（本小題15分）已知橢圓過點(diǎn)，且，若直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若，求k的值.21．（本小題15分）若無窮數(shù)列滿意：，對(duì)于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”．（1）若具有性質(zhì)“”，且，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，，，推斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，求證：具有性質(zhì)“”．2024北京市高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷答案1.【答案】B【解析】，，則.故選：B2．【答案】B【解析】由題知:.故選：B3．【答案】A【解析】的綻開式通項(xiàng)為，令，解得.因此，的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A4．【答案】C【解析】充分性：如圖所示，在長方體中，滿意，，此時(shí)，不滿意充分性.必要性：若，則存在，，又因?yàn)椋?，所以，所以，滿意必要性.故“”是“”的必要而不充分條件.故選：C5．【答案】B【解析】由直線方程可得該直線橫過定點(diǎn)，又由相切可得該圓的半徑等于圓心到直線的距離，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】處理直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達(dá)，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達(dá)較繁瑣，則用代數(shù)法．6．【答案】C【解析】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，所以故選：C7．【答案】A【解析】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)以及的大致圖象，視察的區(qū)域，由圖象可知，在區(qū)間和上，由此的解集.故選：A8．【答案】D【解析】由題意得，由，得出則對(duì)A項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)B項(xiàng)，對(duì)C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由得：，可以取，即當(dāng)時(shí)，在上有3個(gè)零點(diǎn)對(duì)D項(xiàng)，由，解得則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得即的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換求解析式，余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，在求余弦型函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，利用整體法將余弦型函數(shù)的單調(diào)性化歸為余弦函數(shù)的單調(diào)性來處理問題，屬于中檔題.9．【答案】C【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)知：；由等比數(shù)列性質(zhì)知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，，，，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差和等比數(shù)列的下標(biāo)和的性質(zhì)比較大小的問題，涉及到基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠嫻熟應(yīng)用等差和等比數(shù)列的性質(zhì).10．【答案】C【解析】設(shè)正三角形的一條邊長為a，“一次分形”后變?yōu)殚L為的折線，“二次分形”后折線長度為，“n次分形”后折線長度為，所以得到一個(gè)周長不小于初始三角形周長100倍的分形圖，只需滿意，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得：，即得：，解得，故至少須要17次分形，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：細(xì)致讀題，弄懂分形改變的規(guī)律，即正三角形的一條邊長為a，“一次分形”后變?yōu)殚L為的折線，“二次分形”后折線長度為，“n次分形”后折線長度為是解題的關(guān)鍵.11．【答案】【解析】解：由題意得，解得，∴函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為：?2．【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為所以直線過點(diǎn)，代入可得所以故答案為：13．【答案】②③【解析】對(duì)于①，看2014年，2015年對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)之差，小于，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，連線看斜率即可，2013年到2024兩點(diǎn)連線斜率更大，②正確；對(duì)于③，看兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差哪組最大，③正確；對(duì)于④，看相鄰縱坐標(biāo)之差是否逐年增加，明顯不是，有增有減，④錯(cuò)誤；綜上，填②③．故答案為：②③14．【答案】【解析】解：因?yàn)殡p曲線，所以，，所以，即，所以漸近線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為與，當(dāng)時(shí)，即，所以故答案為：，；15．【答案】4【解析】如圖所示是三棱錐的直觀圖：其中平面，垂足為，依據(jù)三視圖可知，，，，所以，，，比較可知該三棱錐的最長棱的長為，它的體積為，故答案為：（1）（2）4【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖還原直觀圖，考查了三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.16．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】解：（1）連接交于點(diǎn)O，連接，在正方形中，．因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）不妨設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，所以．設(shè)平面的法向量為，所以所以即令，則，于是．設(shè)直線與平面所成角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線面平行的判定和線面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和邏輯推理實(shí)力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.17．【答案】（1）；（2）答案不唯一，詳細(xì)見解析．【解析】解（1）因?yàn)椋烧叶ɡ恚驗(yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．?）條件①：；因?yàn)?，由?）得，所以依據(jù)余弦定理得，化簡整理為，解得．所以△的面積．條件②：由（1）知，，依據(jù)正弦定理得，所以．因?yàn)?，所以，所以△的面積．【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，三角形的面積求解，考查運(yùn)算求解實(shí)力，回來轉(zhuǎn)化實(shí)力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于利用正弦定理邊角互化得，進(jìn)而結(jié)合銳角三角形即可得；此外，其次問選擇條件①，需留意余弦定理方程思想的應(yīng)用.18．【答案】（1）①；②；（2）分布列見解析；期望為．【解析】解：（1）①記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，恰好看到冰壺和冰球”為事務(wù)．由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一個(gè)項(xiàng)目，共有種不同狀況，其中恰好看到冰壺和冰球，共有種不同狀況，所以．②記“在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區(qū)”為事務(wù)．由表可知，在這兩天每天隨機(jī)觀看一場決賽共有種不同狀況，其中兩場決賽恰好在北京賽區(qū)共有種不同狀況，在張家口賽區(qū)共有種不同狀況，所以．（2）隨機(jī)變量的全部可能取值為．依據(jù)題意，，，．隨機(jī)變量的分布列是：數(shù)學(xué)期望．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：（1）分析隨機(jī)變量的可取值；（2）計(jì)算隨機(jī)變量取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；（3）依據(jù)公式求解出期望值.19．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以．所以．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由，得．令，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以的最小值為．當(dāng)時(shí)，，．又在單調(diào)遞增，故存在，使得，在區(qū)間上，在區(qū)間上．所以，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)存在微小值．（3）對(duì)隨意的實(shí)數(shù)，恒成立，等價(jià)于的最小值大于或等于．①當(dāng)時(shí)，，由（2）得，所以．所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．由，得，滿意題意．②當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以在上，不滿意題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于函數(shù)極值點(diǎn)的推斷、考查導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的求解，解答時(shí)留意以下幾點(diǎn)：（1）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值點(diǎn)的問題時(shí)，要留意將問題轉(zhuǎn)化為的根的問題，且必需使在根的兩側(cè)異號(hào)，當(dāng)?shù)母鶡o法解出時(shí)，可采納零點(diǎn)的存在性定理推斷出根的范圍；（2）求解依據(jù)不等式恒成立求參問題時(shí)，一般采納參變分別法或者利用分類探討思想，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的求解.20．【答案】（1）（2）1【解析】（1）橢圓過點(diǎn)，且，橢圓C的方程為（2）如圖，

設(shè)，，，，，由得，，，，為的中點(diǎn)，，即，，，，解得.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)條件得到點(diǎn)為的中點(diǎn)，依據(jù)此條件建立相關(guān)坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵，留意韋達(dá)定理在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題.21．【答案】（1）；（2）不具