2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.1不等關(guān)系與不等式作業(yè)含解析新人教A版必修5

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(十七)不等關(guān)系與不等式(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>b>－b>－a B．a(chǎn)>－b>－a>bC．a(chǎn)>－b>b>－a D．a(chǎn)>b>－a>－bC[法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a.法二：設(shè)a＝3，b＝－2，則a>－b>b>－a.]2．設(shè)0<b<a<1，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)b<b2<1 B．logeq\s\up-1(\f(1,2))b<logeq\s\up-1(\f(1,2))a<0C．2b<2a<2 D．a(chǎn)2<abC[設(shè)a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(1,3)，驗(yàn)證即得A，D錯(cuò)誤；結(jié)合y＝logeq\s\up-1(\f(1,2))x，y＝2x的單調(diào)性得B錯(cuò)誤，C正確．]3．已知a，b∈(0，1)，記M＝ab，N＝a＋b－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定B[M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1).∵a，b∈(0，1)，∴a－1<0，b－1<0∴M－N>0，∴M>N.]4．已知a＜b＜0，c＜d＜0，那么下列推斷中正確的是()A．a(chǎn)－c＜b－d B．a(chǎn)c＞bdC．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c) D．a(chǎn)d＞bcB[∵a＜b＜0，c＜d＜0，∴－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，∴(－a)(－c)＞(－b)(－d)，即ac＞bd.]5．甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，假如兩人步行速度、跑步速度均相同，則先到教室的是()A.甲 B．乙C.同時(shí)到達(dá) D．無法推斷B[設(shè)路程為S，步行速度v1，跑步速度v2，則甲用時(shí)t1＝eq\f(\f(1,2)S,v1)＋eq\f(\f(1,2)S,v2)，乙用時(shí)t2＝eq\f(2S,v1＋v2)，t1－t2＝eq\f(S,2v1)＋eq\f(S,2v2)－eq\f(2S,v1＋v2)＝Seq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(v1＋v2,2v1v2)－\f(2,v1＋v2)))＝eq\f(（v1＋v2）2－4v1v2,2v1v2（v1＋v2）)·S＝eq\f(（v1－v2）2·S,2v1v2（v1＋v2）)＞0，甲用時(shí)多．故選B.]二、填空題6．已知x<1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系為．x2＋2>3x[(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，因?yàn)閤<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以x2＋2>3x.]7．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是．f(x)＞g(x)[∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x).]8．某公司有20名技術(shù)人員，安排開發(fā)A、B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預(yù)料產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件須要人員數(shù)每件產(chǎn)值(萬(wàn)元/件)A類eq\f(1,2)7.5B類eq\f(1,3)6今制定安排欲使總產(chǎn)值最高，則A類產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)件，最高產(chǎn)值為萬(wàn)元．20330[設(shè)應(yīng)開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由題意，得總產(chǎn)值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時(shí)，y取最大值330.所以應(yīng)開發(fā)A類電子器件20件，能使產(chǎn)值最高，為330萬(wàn)元．]三、解答題9．(1)已知a<b<0，求證：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求證：ab>0.[證明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(（b＋a）（b－a）,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知12<a<60，15<b<36，求a－b和eq\f(a,b)的取值范圍．[解]∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，∴－24<a－b<45.又eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，∴eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.綜上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.1．若a>b>0，c<d<0，則肯定有()A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)D[令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，則eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，所以A，B錯(cuò)誤；eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c)，所以C錯(cuò)誤．故選D.]2．設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個(gè)結(jié)論：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c).其中全部的正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①B．①②C．②③D．①②③D[由a>b>1，得0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，所以eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正確；冪函數(shù)y＝xc(c<0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以ac<bc，②正確；因?yàn)閍－c>b－c>0，所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正確．故①②③均正確．]3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是(用區(qū)間表示).[3，8][∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴z的取值范圍是[3，8].]4．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，有下列命題：①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1.其中正確的命題為(寫出全部正確命題的序號(hào)).①④[對(duì)于①，由題意a，b為正實(shí)數(shù)，則a2－b2＝1?a－b＝eq\f(1,a＋b)?a－b>0?a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，則eq\f(1,a＋b)≥1?a＋b≤1≤a－b，這與a＋b>a－b>0沖突，故a－b<1成立．對(duì)于②，取特別值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，則a－b>1.對(duì)于③，取特別值，a＝9，b＝4時(shí)，|a－b|>1.對(duì)于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨設(shè)a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正確．]5．某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折實(shí)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折實(shí)惠．”這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的．試依據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更實(shí)惠．[解]設(shè)該單位有職工n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)xn，所以y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(