浙教版九年級數(shù)學核心知識點與常見題型通關(guān)講解練第11講弧長及扇形的面積(原卷版+解析)

第11講弧長及扇形的面積【知識梳理】一．弧長的計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【考點剖析】一．弧長的計算（共10小題）1．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為．2．（2023?拱墅區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為（）A． B．π C．2π D．3π3．（2022秋?越城區(qū)校級期末）如圖，用一個半徑為10cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了36°，假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了．4．（2022秋?南潯區(qū)期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，∠A＝60°，半徑OD⊥BC，垂足為點E．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）若AB＝8，求的長．5．（2023?鹿城區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧BC上一點，，連接CD．若∠ABC＝15°，則∠DCO的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．50°6．（2022秋?寧波期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上兩點，且滿足∠ADC＝120°，BC＝2，則的長為（）A． B． C． D．7．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．8．（2023?金華模擬）如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計），A為入口，F(xiàn)，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；彎道為以點O為圓心的一段弧，且所對的圓心角均為90°，甲、乙兩車由A口同時駛?cè)肓⒔粯?，均?2m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（m）與時間x（s）的對應關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說法錯誤的是（）A．甲車從G口出，乙車從F口出 B．立交橋總長為252m C．從F口出比從G口出多行駛72m D．乙車在立交橋上共行駛16s9．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為cm．10．（2023?浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．二．扇形面積的計算（共12小題）11．（2023?浙江模擬）如圖是2022年杭州亞運會徽標的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π12．（2023?鹿城區(qū)校級二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3cm，則該扇形的面積為cm2．13．（2023?寧波模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M．連接OC，DB．如果OC∥DB，圖中陰影部分的面積是2π，那么圖中陰影部分的弧長是（）A． B． C． D．14．（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點D，E，點D是BC中點，連接OE，OD．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的長和扇形EOD的面積．15．（2023?南湖區(qū)二模）如圖，將半徑為的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，則重疊部分（陰影部分）的面積為（）A． B．cm2 C．πcm2 D．16．（2023?杭州二模）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時點C的對應點D落在AB上，延長CD，交⊙O于點E，若CE＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．17．（2023?桐廬縣一模）如圖，點A，B是半徑為2的⊙O上的兩點，且AB＝2，則下列說法正確的是（）A．圓心O到AB的距離為 B．在圓上取異于A，B的一點C，則△ABC面積的最大值為2 C．取AB的中點C，當AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為π D．以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積為18．（2023?義烏市校級模擬）如圖是小李上學用的自行車，型號是24英寸（車輪的直徑為24英寸，1英寸＝2.54厘米），為了防止在下雨天騎車時的泥水濺到身上，他想在自行車兩輪的陰影部分兩側(cè)裝上擋水的鐵皮（兩個陰影部分分別是以C、D為圓心的兩個扇形），量出四邊形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安裝時向車輪外延伸2.52厘米，那么預計需要的鐵皮面積約是（）A．1141平方厘米 B．2281平方厘米 C．3752平方厘米 D．4000平方厘米19．（2022秋?上城區(qū)期末）已知AB是圓O的直徑，半徑OD⊥BC于點E，的度數(shù)為60°．（1）求證：OE＝DE；（2）若OE＝1，求圖中陰影部分的面積．20．（2022秋?嘉興期末）已知：如圖，弦AB，CD相交于⊙O內(nèi)一點P的直徑，．（1）求證：AB＝CD．（2）連接OP，求證：線段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP＝，AP＝，求陰影部分面積．21．（2022秋?慈溪市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交CA的延長線于點E．（1）求證：點D為線段BC的中點．（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半徑及陰影部分的面積．22．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖1，在⊙O中，AB為弦，CD為直徑，且AB⊥CD于點E，過點B作BF⊥AD，交AD的延長線于點F．連接AC，BO．（1）求證：∠CAE＝∠ADC．（2）若DE＝2OE，求的值．（3）如圖2，若BO的延長線與AC的交點G恰好為AC的中點，若⊙O的半徑為r．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含r的代數(shù)式表示）．

【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個扇形的半徑為6，弧長等于，則扇形的圓心角度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·浙江紹興·九年級?？计谥校┮阎刃蔚幕￠L為，圓心角為120°，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個扇形的面積為．弧長為．那么這個扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．324．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，扇形的圓心角為直角，，點在弧上，以，為鄰邊構(gòu)造，邊交于點，若，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（）

A． B． C． D．6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，的半徑為8，點Q是上一動點，點P是弦的中點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑長為（）A． B．2π C． D．7．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，以點A為圓心，AD為半徑，畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點E在對角線AC上）．若扇形DAE正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（

）A． B．2 C． D．18．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖是某圓弧形橋洞，水面跨徑米，小明為了計算圓弧所在圓的半徑，他在左側(cè)水面處測得橋洞高米，則圓弧所在圓的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米9．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點，連接并延長交于點，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點D從點O出發(fā)，沿的方向運動到點A停止．在點D運動的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）

A． B． C． D．二、填空題11．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┮阎刃蔚陌霃绞?，圓心角是，則該扇形的弧長為________．12．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學?？既＃┤羯刃蔚膱A心角為，半徑為，則它的面積為______．13．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）年旅游業(yè)迎來強勢復蘇．某古城為了吸引游客，決定在山水流淌的江中修筑如圖1所示的“”型圓弧堤壩．若堤壩的寬度忽略不計，圖2中的兩段圓弧半徑都為米，圓心角都為，則這“”型圓弧堤壩的長為________米．（結(jié)果保留）14．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點D為圓心，長為半徑畫弧，以點C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機取一點，若，則該點取自陰影部分的概率為______．

15．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，分別以點A，C為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點E，F(xiàn)．若，，則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）

16．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，交于點，則弧的長為__________．

17．（2023·浙江·一模）如圖，將半徑為2的扇形繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到扇形，使點O恰好在上，則陰影部分的面積是___________．

18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，將弦繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點C的對應點D落在上，延長，交于點E，若，則圖中陰影部分的面積為__________．

三、解答題19．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點的對應點落在上，延長，交于點．

(1)證明：；(2)若，求圖中陰影部分的面積．20．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，是直徑，的平分線交于點D，連接、．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長（結(jié)果保留）．21．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，已知的半徑為，四邊形內(nèi)接于，連結(jié)，，．

(1)求的長；(2)求證：平分的外角．22．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團（總校）校考三模）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，三點恰好在半圓上，點是的中點，連接并延長交圓于點．

(1)求證：；(2)若，求陰影部分的面積．23．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，弦與交于點，點為的中點，現(xiàn)有以下信息：

①為直徑；②；③．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結(jié)論，組成一個真命題．你選擇的條件是___________，結(jié)論是___________（填寫序號），請說明理由．(2)在（1）的條件下，若的長為，求半徑．24．（2023·浙江·模擬預測）如圖，以等腰的底邊為直徑作半圓，交、于點D、E．(1)證明：；(2)若，，求陰影部分面積．25．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B、C對應點分別是D、E.(1)請在圖中畫出；(2)設的外接圓圓心為點G，則點G的坐標為______；(3)在三角形旋轉(zhuǎn)過程中，外心G也隨之運動，則點G經(jīng)過的路徑長為_______．

第11講弧長及扇形的面積【知識梳理】一．弧長的計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計算弧長．③題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二．扇形面積的計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【考點剖析】一．弧長的計算（共10小題）1．（2023?溫州）若扇形的圓心角為40°，半徑為18，則它的弧長為4π．【分析】根據(jù)弧長公式計算即可．【解答】解：由弧長公式得，故答案為：4π．【點評】本題考查了弧長的計算，熟記弧長的公式，即（l表示弧長，n是弧所對圓心角的度數(shù)，r表示半徑）．2．（2023?拱墅區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的半圓分別與AB，AC交于點D，E．若BC＝6，∠A＝60°，則的長為（）A． B．π C．2π D．3π【分析】連接OD、OE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)求出∠DOE＝60°，再根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【解答】解：連接OD、OE，∵∠A＝60°，∴∠B+∠C＝120°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，∴∠DOE＝60°，∴的長為：＝π，故選：B．【點評】本題考查的是弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?越城區(qū)校級期末）如圖，用一個半徑為10cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點P旋轉(zhuǎn)了36°，假設繩索（粗細不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了2πcm．【分析】利用弧長公式計算即可．【解答】解：重物上升的高度為：＝2π（cm），故答案為：2πcm．【點評】本題考查的是弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?南潯區(qū)期末）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，∠A＝60°，半徑OD⊥BC，垂足為點E．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）若AB＝8，求的長．【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明OD∥AC，即可得到∠BOD＝∠A＝60°．（2）利用弧長公式計算即可．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，又∵OD⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠BOD＝∠A＝60°．（2）．【點評】本題考查了弧長的計算，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)和弧長公式是解題的關(guān)鍵．5．（2023?鹿城區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點D是弧BC上一點，，連接CD．若∠ABC＝15°，則∠DCO的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．50°【分析】連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝30°，求得∠COD＝150°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OD，∵∠ABC＝15°，∴∠AOC＝2∠ABC＝30°，∴∠COD＝150°，∵，∴，∴∠COD＝100°，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO＝（180°﹣100°）＝40°，故選：C．【點評】本題考查了弧長的計算，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?寧波期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓上兩點，且滿足∠ADC＝120°，BC＝2，則的長為（）A． B． C． D．【分析】由圓周角定理求出OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，再根據(jù)弧長公式進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OC．∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°，OB＝OC＝BC＝2，∴的長為＝π，故選：B．【點評】本題考查弧長的計算和圓周角定理，掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理是正確解答的關(guān)鍵．7．（2022秋?越城區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．（1）求證：AC＝AF；（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)已知條件可證明四邊形ABED是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D，等量代換可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；（2）連接AO，CO，由（1）中結(jié)論可計算出∠AFC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理可計算出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長計算公式計算即可得出答案．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）連接AO，CO，如圖，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC＝＝75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的長l＝＝．【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)與弧長公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，推理能力，幾何直觀等數(shù)學素養(yǎng)．8．（2023?金華模擬）如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計），A為入口，F(xiàn)，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；彎道為以點O為圓心的一段弧，且所對的圓心角均為90°，甲、乙兩車由A口同時駛?cè)肓⒔粯?，均?2m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（m）與時間x（s）的對應關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說法錯誤的是（）A．甲車從G口出，乙車從F口出 B．立交橋總長為252m C．從F口出比從G口出多行駛72m D．乙車在立交橋上共行駛16s【分析】根據(jù)題意，根據(jù)弧長公式并結(jié)合圖象問題可得．【解答】解：根據(jù)兩車運行時間，可知甲車從G口出，乙車從F口出，故A正確；由圖象可知，兩車通過、、弧時每段所用時間均為3s，通過直行道AB，CG，EF時，每段用時為4s．所以立交橋總長為（3×3+4×3）×12＝252m，故B正確；根據(jù)兩車運行路線，從F口駛出比從G口多走，弧長之和，用時為6s，則多走72m，故C正確；根據(jù)題意乙車行駛時間為：4×2+3×3＝17秒，故D錯誤；故選：D．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答時要注意數(shù)形結(jié)合．9．（2023?金華）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB為直徑作半圓，交BC于點D，交AC于點E，則弧DE的長為πcm．【分析】連接OE，OD，由等腰三角形的性質(zhì)推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧長公式即可求出的長．【解答】解：連接OE，OD，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠EOD＝∠AEO，∵OE＝OA，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠EOD＝∠BAC＝50°，∵OD＝AB＝×6＝3（cm），∴的長＝＝π（cm）．故答案為：π．【點評】本題考查弧長的計算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出OD∥AC，從而求出∠EOD的度數(shù)．10．（2023?浙江二模）如圖，已知⊙O的半徑為，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．（1）求的長；（2）求證：AD平分△ABC的外角∠EAC．【分析】（1）連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根據(jù)弧長公式計算即可；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠EAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠DBC，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代換得到答案．【解答】（1）解：如圖，連接OB，OC，∵∠BDC＝45°，∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，∴的長為＝π；（2）證明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠DCB，∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠EAD＝∠DCB，∴∠EAD＝∠CAD，∴AD平分△ABC的外角∠EAC．【點評】本題考查的是弧長的計算、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵．二．扇形面積的計算（共12小題）11．（2023?浙江模擬）如圖是2022年杭州亞運會徽標的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π【分析】根據(jù)S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S陰影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故選：B．【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是熟記扇形面積計算公式：設圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）．12．（2023?鹿城區(qū)校級二模）若扇形的圓心角為60°，半徑為3cm，則該扇形的面積為πcm2．【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計算即可．【解答】解：該扇形的面積為＝π（cm2）．故答案為：π．【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積公式，屬于中考?？碱}型．13．（2023?寧波模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點M．連接OC，DB．如果OC∥DB，圖中陰影部分的面積是2π，那么圖中陰影部分的弧長是（）A． B． C． D．【分析】連接OD，BC，根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的性質(zhì)得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等邊三角形，得到∠BOC＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可求得圓的半徑，然后根據(jù)弧長公式求得即可．【解答】解：連接OD，BC．∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴圖中陰影部分的面積＝＝2π，∴OC＝2或﹣2（舍去），∴的長＝＝π，故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，弧長的計算，圓周角定理，通過解直角三角形得到相關(guān)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?寧波期末）如圖，在△ABC中，以邊AB為直徑作⊙O分別交BC，AC于點D，E，點D是BC中點，連接OE，OD．（1）求證：△ABC是等腰三角形．（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的長和扇形EOD的面積．【分析】（1）連接AD，由AB為⊙O直徑，得到∠ADB＝90°，繼而得出AD是線段BC的中垂線，即可求解；（2）由等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)求出∠AOE，∠EOD的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式和扇形面積公式求解即可．【解答】解：（1）連接AD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，又∵D是BC中點，∴AD是線段BC的中垂線，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，OA＝OE，∴∠A＝∠AEO＝40°，∴∠AOE＝100°，∵AB＝6，∴OA＝OE＝3，∴，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝70°＝∠ODB，∴∠AOD＝140°，∴∠EOD＝40°，∴．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，弧長公式和扇形面積公式，垂直平分線的判定，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．15．（2023?南湖區(qū)二模）如圖，將半徑為的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，則重疊部分（陰影部分）的面積為（）A． B．cm2 C．πcm2 D．【分析】連接OF，過點F作FH⊥OB于H，設OF＝xcm，則DH＝cm，F(xiàn)H＝cm，Rt△OFH中根據(jù)勾股定理可列方程，即可求出x，進而得到FH長，從而求得∠FOH＝30°，利用S陰影＝S扇形FOB﹣S△ODF計算即可．【解答】解：如圖，連接OF，過點F作FH⊥OB于H，設OF＝xcm，在Rt△DFH中，∠CDB＝60°，則DH＝cm，F(xiàn)H＝cm，根據(jù)平移的性質(zhì)得：OB＝DE＝2cm，在Rt△OFH中，（x）2+（2+）2＝（2）2，∴x＝2（舍去負值），∴FH＝＝，∴∠FOH＝30°，∴S陰影＝S扇形FOB﹣S△ODF＝﹣＝（）（cm2）．故選：D．【點評】本題主要考查扇形面積的計算，解題關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形．16．（2023?杭州二模）如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時點C的對應點D落在AB上，延長CD，交⊙O于點E，若CE＝2，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【分析】連接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根據(jù)扇形面積減三角形面積計算即可．【解答】解：連接OE，OC，BC，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC為等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝，∴S陰影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣××＝，故選：C．【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算是解題的關(guān)鍵．17．（2023?桐廬縣一模）如圖，點A，B是半徑為2的⊙O上的兩點，且AB＝2，則下列說法正確的是（）A．圓心O到AB的距離為 B．在圓上取異于A，B的一點C，則△ABC面積的最大值為2 C．取AB的中點C，當AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為π D．以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積為【分析】由垂徑定理，勾股定理求出OH＝1，延長HO交圓于C，即可求出△ABC的最大面積，當AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線是以O為圓心半徑是1的圓，即可求出C運動的路線長，以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積＝扇形OPQ的面積+△OAB的面積×3，于是可以得到答案．【解答】解：如圖①，OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝×2＝，∵OA＝2，∴OH＝＝1，故A不符合題意；如圖①延長HO交圓于C，此時△ABC的面積最大，∵CH＝OC+OH＝2+1＝3，AB＝2，∴△ABC的面積＝AB?CH＝3，故B不符合題意；取AB的中點C，連接OC，OA，OB，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴OC＝＝＝1，∴當AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線是以O為圓心半徑是1的圓，∴C運動的路線長是2π×1＝2π，故C不符合題意；如圖②四邊形ABNM是正方形，連接AQ，PB，作OK⊥AB于K，∴△OAB的面積＝AB?OK＝×2×1＝，∵OP＝OQ＝OA＝OB，∴△OAP的面積＝△OAB的面積＝△OBQ的面積＝，∵∠POQ＝120°，∴扇形OPQ的面積＝＝π，∴以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積＝扇形OPQ的面積+△OAB的面積×3＝，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查扇形面積的計算，三角形面積的計算，垂徑定理，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．18．（2023?義烏市校級模擬）如圖是小李上學用的自行車，型號是24英寸（車輪的直徑為24英寸，1英寸＝2.54厘米），為了防止在下雨天騎車時的泥水濺到身上，他想在自行車兩輪的陰影部分兩側(cè)裝上擋水的鐵皮（兩個陰影部分分別是以C、D為圓心的兩個扇形），量出四邊形ABCD中∠DAB＝125°、∠ABC＝115°安裝時向車輪外延伸2.52厘米，那么預計需要的鐵皮面積約是（）A．1141平方厘米 B．2281平方厘米 C．3752平方厘米 D．4000平方厘米【分析】求出擋水鐵皮的半徑，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠C+∠D的和，由扇形面積公式進行計算即可．【解答】解：擋水鐵皮的半徑為2.54×+2.52＝33（厘米），∠C+∠D＝360°﹣125°﹣115°＝120°，∴需要鐵皮的面積為×2≈2281（平方厘米），故選：B．【點評】本題考查扇形面積的計算，多邊形的內(nèi)角和，掌握扇形面積的計算方法是正確解答的前提，求出擋水鐵皮的半徑及圓心角的度數(shù)是正確解答的關(guān)鍵．19．（2022秋?上城區(qū)期末）已知AB是圓O的直徑，半徑OD⊥BC于點E，的度數(shù)為60°．（1）求證：OE＝DE；（2）若OE＝1，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BD，證明△OBD是等邊三角形，可得結(jié)論；（2）根據(jù)S陰＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．【解答】（1）證明：連接BD，∵的度數(shù)是60°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∵OD⊥BC，∴OE＝DE；（2）解：連接OC．∵OD⊥BC，OC＝OB，∴∠COE＝∠BOE＝60°，∴∠OCE＝30°，∴OC＝2OE＝2，∴CE＝＝＝，∴S陰＝S扇形AOC+S△COE＝+××1＝+．【點評】本題考查了扇形面積、三角形的面積的計算，正確證明△BOD是等邊三角形是關(guān)鍵．20．（2022秋?嘉興期末）已知：如圖，弦AB，CD相交于⊙O內(nèi)一點P的直徑，．（1）求證：AB＝CD．（2）連接OP，求證：線段OP平分∠BPD．（3）若CP：DP＝1：3，OP＝，AP＝，求陰影部分面積．【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理得到OE＝OF，再根據(jù)角平分線的判定即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)相交弦定理求得CP＝，進而利用勾股定理求得OE，進一步求得半徑，解直角三角形求得∠DOE＝60°，從而求得∠DOC＝120°，然后根據(jù)∴S陰影＝S扇形﹣S△COD求得即可．【解答】（1）證明：∵，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．（2）證明：作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，∵AB＝CD，∴OE＝OF，∴點O在∠BPD的平分線上，∴線段OP平分∠BPD；（3）解：連接OC、OD，∵CP：DP＝1：3，∴設CP＝m，DP＝3m．則AB＝CD＝4m，∵AP＝，∴PB＝4m﹣，∵AP?PB＝CP?DP，∴（4m﹣）＝m?3m，解得m＝，∴CP＝，CD＝4，∴DE＝CE＝CD＝2，∴PE＝，∵OP2＝PE2+OE2OP＝，∴OE＝＝2，∴OD＝＝＝4，∴sin∠DOE＝＝＝，∴∠DOE＝60°，∴∠DOC＝120°，∴S陰影＝S扇形﹣S△COD＝﹣＝﹣4．【點評】本題考查了扇形的面積，角平分線的性質(zhì)，垂徑定理，相交弦定理，勾股定理，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋?慈溪市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交CA的延長線于點E．（1）求證：點D為線段BC的中點．（2）若BC＝6，AE＝3，求⊙O的半徑及陰影部分的面積．【分析】（1）連結(jié)AD，可得∠ADB＝90°，已知AB＝AC，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證點D為線段BC的中點；（2）根據(jù)已知條件可證△ABC∽△DEC，得到，2BD2＝AB?EC，且△EDC是等腰三角形，進而得到ED＝DC＝BD，設AB＝x，則，解方程即可求得⊙O的半徑，連接OE，可證△AOE是等邊三角形，再根據(jù)S陰＝S扇形AOE﹣S△AOE即可求出陰影部分的面積；【解答】（1）證明：連結(jié)AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，即點D為線段BC的中點．（2）解：∵∠B＝∠E，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DEC，∴，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠E，∴ED＝DC＝BD，∴2BD2＝AB?EC設AB＝x，則，解得：x1＝﹣9（舍去），x2＝6，∴⊙O的半徑為3，連接OE，∴∠AOE＝60°，∴△AOE是等邊三角形，∴AE邊上的高為，∴S陰＝S扇形AOE﹣S△AOE＝＝【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，不規(guī)則圖形面積的計算，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖1，在⊙O中，AB為弦，CD為直徑，且AB⊥CD于點E，過點B作BF⊥AD，交AD的延長線于點F．連接AC，BO．（1）求證：∠CAE＝∠ADC．（2）若DE＝2OE，求的值．（3）如圖2，若BO的延長線與AC的交點G恰好為AC的中點，若⊙O的半徑為r．求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含r的代數(shù)式表示）．【分析】（1）由圓周角定理可得∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝90°，再根據(jù)AB⊥CD，易得∠ADC+∠DAE＝90°，即可證明∠CAE＝∠ADC；（2）連接BD，設OE＝a，則DE＝2a，OB＝OD＝3a，由勾股定理可得，，再證明△BOE∽△BDF，由相似三角形的性質(zhì)可得，代入數(shù)值可求得，即可獲得答案；（3）連接BD，首先證明△OBE≌△DAE，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)進一步證明△OBD為等邊三角形，即有∠BOD＝60°；利用勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)依次求得OE、BE、AB、BF、AF等的值，然后由S陰影＝S△ABF﹣S△DAE﹣（S扇形OBD﹣S△OBE）即可獲得答案．【解答】解：（1）∵CD為⊙O直徑，∴∠CAD＝90°，即∠CAE+∠DAE＝90°，又∵AB⊥CD，∴∠ADC+∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠ADC；（2）如下圖，連接BD，∵AB⊥CD，DE＝2OE，∴OD＝DE+OE＝3OE，設OE＝a，則DE＝2a，OB＝OD＝3a，∴在Rt△OBE中，，∴在Rt△DBE中，，∵CD為⊙O直徑，且AB⊥CD，∴BE＝AE，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∴∠BDF＝∠DAB+∠DBA＝2∠DAB，又∵，∴∠DOB＝2∠DAB＝∠BDF，∵∠OEB＝∠DFB＝90°，∴△BOE∽△BDF，∴，即，解得，∴；（3）如下圖，連接BD，∵BO的延長線與AC的交點G恰好為AC的中點，∴OG⊥AC，即∠OGC＝∠CAD＝90°，∴BG∥AD，∴∠OBE＝∠DAE，又∵BE＝AE，∠OEB＝∠DEA，∴△OBE≌△DAE（ASA），∴OB＝DA，∵CD為⊙O直徑，AB⊥CD，∴，∴DA＝DB，∴OD＝OB＝DB，即△OBD為等邊三角形，∠BOD＝60°，∵⊙O的半徑為r，∴OB＝r，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵△OBE≌△DAE，∴S△OBE＝S△DAE，∴S陰影＝S△ABF﹣S△DAE﹣（S扇形OBD﹣S△OBE）＝S△ABF﹣S扇形OBD＝＝＝．【點評】本題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、求扇形面積等知識，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個扇形的半徑為6，弧長等于，則扇形的圓心角度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)弧長公式，其中n為圓心角，r為半徑，代入數(shù)值即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得到，解得，即扇形的圓心角度數(shù)為．故選：C【點睛】此題考查了弧長公式，數(shù)量掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江紹興·九年級校考期中）已知扇形的弧長為，圓心角為120°，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)弧長求出半徑，然后根據(jù)扇形面積公式進行計算即可得出答案．【詳解】解：∵扇形的弧長為，圓心角為120°，∴∴解得半徑，∴．故選：A．【點睛】此題考查了扇形弧長和面積的計算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟記扇形的面積公式及公式中字母所表示的含義，難度一般．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）一個扇形的面積為．弧長為．那么這個扇形的半徑是（

）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】設扇形的半徑為r，根據(jù)扇形面積等于（為扇形弧長）進行求解即可【詳解】解：設扇形的半徑為r，由題意得，，解得，故選B．【點睛】本題主要考查了扇形面積公式和弧長公式，熟知扇形面積等于扇形弧長和半徑乘積的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，，若，的半徑為，則劣弧的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得的度數(shù)，再由及三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，由圓周角定理可得的度數(shù)，最后由弧長公式即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，∵的半徑為，∴，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，弧長公式等知識，綜合運用這些知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，扇形的圓心角為直角，，點在弧上，以，為鄰邊構(gòu)造，邊交于點，若，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，利用勾股定理求出，根據(jù)，計算即可．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是平行四邊形，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查扇形的面積的計算，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握割補法求陰影部分的面積．6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，內(nèi)接于，，的半徑為8，點Q是上一動點，點P是弦的中點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑長為（）A． B．2π C． D．【答案】C【分析】連接，由垂徑定理知，則點P在以為直徑的上運動，設與交于點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑為的長，利用弧長公式進行計算即可．【詳解】解：連接，∵點P為的中點，∴，∴點P在以為直徑的上運動，設與交于點，則點Q從點B運動到點C時，點P所經(jīng)過的路徑為的長，∵，的半徑為8，∴，，∴點P所經(jīng)過的路徑長為，故選：C．【點睛】本題主要考查了動點的運動軌跡，垂徑定理，圓周角定理等知識，確定點P的運動路徑是解題的關(guān)鍵．7．（2021·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長為8，以點A為圓心，AD為半徑，畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點E在對角線AC上）．若扇形DAE正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（

）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等列式計算即可．【詳解】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意可知：AD=AE=8，∠DAE=45°，底面圓的周長等于弧長：∴2πr=，解得r=1．所以，該圓錐的底面圓的半徑是1故選：D．【點睛】本題考查了圓錐的計算，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．8．（2022秋·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）如圖是某圓弧形橋洞，水面跨徑米，小明為了計算圓弧所在圓的半徑，他在左側(cè)水面處測得橋洞高米，則圓弧所在圓的半徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】取圓心，連接，，，，根據(jù)圓周角定理得，設半徑為米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得，解得，圓弧所在圓的半徑米．【詳解】解：如圖，取圓心，連接，，，設半徑為米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得，，即，解得，圓弧所在圓的半徑米．故選：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及勾股定理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦與垂直，垂足為點，連接并延長交于點，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，首先證明是等邊三角形，證明，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在半徑為2、圓心角為的扇形中，，點D從點O出發(fā)，沿的方向運動到點A停止．在點D運動的過程中，線段，與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】當點D在線段上時，易得當點D與點A重合時，陰影部分面積最小，連接，過點C作于點H，如圖，分別求出最小陰影部分面積比較即可得到陰影部分最小面積．【詳解】當點D在線段OA上時，易得當點D與點A重合時，陰影部分面積最小，連接OC、BC，過點C作于點H，如圖，

，，∵，∴．；線段、與所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為．故答案為．【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓心角定理以及三角形及扇形的面積求法，討論動點的位置作輔助線把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┮阎刃蔚陌霃绞?，圓心角是，則該扇形的弧長為________．【答案】【分析】根據(jù)弧長公式是，代入即可求出弧長．【詳解】解：∵扇形的半徑是，圓心角是，∴該扇形的弧長是：；故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形的弧長公式的運用，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學校考三模）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：扇形的圓心角為，半徑為，則它的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查了扇形面積公式，解題關(guān)鍵是熟記扇形面積公式，準確進行計算．13．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）年旅游業(yè)迎來強勢復蘇．某古城為了吸引游客，決定在山水流淌的江中修筑如圖1所示的“”型圓弧堤壩．若堤壩的寬度忽略不計，圖2中的兩段圓弧半徑都為米，圓心角都為，則這“”型圓弧堤壩的長為________米．（結(jié)果保留）【答案】【分析】根據(jù)弧長公式進行計算即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知這“S”型圓弧堤壩的長為：，故答案為：．【點睛】本題考查了求弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在矩形中，以點D為圓心，長為半徑畫弧，以點C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧恰好交于邊上的點E處，現(xiàn)從矩形內(nèi)部隨機取一點，若，則該點取自陰影部分的概率為______．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接，如下圖：∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，，∴扇形的面積為：，∵的面積為：，∴陰影部分的面積為：．矩形的面積為，該點取自陰影部分的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查幾何概率，矩形的性質(zhì)，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)．15．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，分別以點A，C為圓心，，長為半徑畫弧，分別交對角線于點E，F(xiàn)．若，，則圖中陰影部分的面積為______．（結(jié)果保留）

【答案】【分析】連接交于O，先根據(jù)菱形的性質(zhì)和含30度的直角三角形的性質(zhì)分別求得及對角線的長，再利用菱形和扇形面積公式，由求解即可．【詳解】解：連接交于O，

∵四邊形是菱形，，，∴，，，，∴，∴在中，，，∴，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、扇形面積公式、含30度的直角三角形的性質(zhì)，熟記扇形面積公式，掌握菱形的性質(zhì)，得到陰影部分的面積的計算表達式是解答的關(guān)鍵．16．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，以為直徑作半圓，交于點，交于點，則弧的長為__________．

【答案】/【分析】連接，，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，圓周角定理，中位線定理，弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，連接，，，

∵為直徑，∴，∵，∴，，∴，，∴弧的長為，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一性質(zhì)，中位線定理，弧長公式，熟練掌握三線合一性質(zhì)，弧長公式，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023·浙江·一模）如圖，將半徑為2的扇形繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到扇形，使點O恰好在上，則陰影部分的面積是___________．

【答案】【分析】證明△是等邊三角形，根據(jù)計算即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，∵，△是等邊三角形，，，故答案為．【點睛】本題考查扇形面積計算，旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，將弦繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點C的對應點D落在上，延長，交于點E，若，則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】/【分析】連接，得到，求出，證得，得到，求出，再根據(jù)公式即可得面積．【詳解】解：連接，

由旋轉(zhuǎn)知，∴，∴，∴，∴，即為等腰直角三角形，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了圓周角定理，扇形面積計算公式，等腰三角形的性質(zhì)，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點的對應點落在上，延長，交于點．

(1)證明：；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊對等角可得，，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可得，從而得證；（2）根據(jù)扇形面積減三角形面積計算即可．【詳解】（1）證明：∵弦繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：設的半徑為，由（1）知：是等腰直角三角形，∵，∴，即，解得：，∴圖中陰影部分的面積：，∴圖中陰影部分的面積為．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，扇形和三角形面積的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和扇形面積的計算是解題的關(guān)鍵．20．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是的外接圓，是直徑，的平分線交于點D，連接、．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)若，求的長（結(jié)果保留）．【答案】(1)為等腰直角三角形，理由見解析(2)的長為【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，確定，再由，確定，即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，說明，通過求得的長度，即可