立體幾何-2022高考黃金30題系列之?dāng)?shù)學(xué)選擇題壓軸題（新高考專用）

備戰(zhàn)2022高考黃金30題系列之?dāng)?shù)學(xué)選擇題壓軸題【新高考版】

專題6立體幾何

1.（2022?廣東?金山中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，直四棱柱A88-A4G。的底面是邊長(zhǎng)為2

的正方形，M=3,E,尸分別是A8,8c的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。，E,尸的平面記為a,則下

列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①點(diǎn)8到平面a的距離與點(diǎn)A到平面的距離之比為1：2

②平面a截直四棱柱A8CO-ASCQ所得截面的面積為苧

③平面a將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為47:25

④平面。截直四棱柱A8CO-AMGA所得截面的形狀為四邊形

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

對(duì)于①：利用點(diǎn)A到平面a的距離與點(diǎn)3到平面a的距離相等點(diǎn)4到平面a的距離是點(diǎn)A

到平面a的距離的2倍即可判斷；

對(duì)于②、④：作出截面即可判斷D,分別求出各個(gè)邊長(zhǎng)，將五邊形D/MEFN可分為等邊三

角形和等腰梯形分別求面積即可；

對(duì)于③：記平面將直四棱柱分割成上下兩部分的體積分別為％、6，分別求出匕、即

可判斷.

【詳解】

解：對(duì)于①：因?yàn)槠矫鎍過(guò)線段AB的中點(diǎn)E,所以點(diǎn)4到平面a的距離與點(diǎn)8到平面a的

距離相等由平面a過(guò)4A的三等分點(diǎn)M可知，

點(diǎn)A,到平面a的距離是點(diǎn)A到平面a的距離的2倍，因此，點(diǎn)4到平面a的距離是點(diǎn)B到

平面a的距離的2倍.故命題①正確；

延長(zhǎng)DA,0c交直線E尸于點(diǎn)P,Q,連結(jié)D,P,DiQ,交棱A/A,C/C于點(diǎn)M、N,連結(jié)DM

ME,DA,NF,可得五邊形D/MEFM故命題④錯(cuò)誤.

由平行線分線段成比例可得：AP^BF=1,故。P=OD/=3,則△”>/p為等腰三角形.

由相似三角形可知，AM=AP=1,AiM=2,則RM=2N=2應(yīng)，ME=EF=FN=也.

連結(jié)MN,則MN=2叵,因此五邊形DMEFN可分為等邊三角形OMN和等腰梯形MEFN.

等腰梯形MEFN的高八?&丫-12&;及=當(dāng)，

則等腰梯形MEFN的面積為2夜+、*逅=述.

222

又S?MN=gx2夜X#=2百，所以五邊形DMEFN的面積為手+26=苧，故命題②正

確；

記平面將直四棱柱分割成匕下兩部分的體積分別為匕、上，則

%=%W0-=：x；x3x3x3-：x；xlxlx1一;x；xlxlxl=京,

。乙。乙。乙u

所以乂=%吟平血-匕=12-1=?，K：%=47:25?故命題③正確?

綜上得說(shuō)法中正確的是：①②③，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

立體圖形中的截面問(wèn)題：

（1）利用平面公理作出截面：（2）利用幾何知識(shí)求面積或體積.

2.（2022?廣東,執(zhí)信中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-438,過(guò)點(diǎn)A

作一個(gè)平面分別交P8,PC,PD于點(diǎn)E,F,G,若告=：喘=：,則黑的值為（）

【答案】c

【解析】

【分析】

以AC、80交點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線0A、0B、0/，為X、y、z軸正方向建立空間宜角坐標(biāo)

系，設(shè)尸（0,0,匕）,A（a,0,0）,B（0,a,0）,D（0,-a,0）,C（-a,0,0）（a,b>0）,進(jìn)而寫(xiě)出麗、

PC>麗、兩坐標(biāo)，可得而,PF,由4E,F,G四點(diǎn)共面有方=工匣+），即+z所,設(shè)

PG=APD（0<2<1）,求義值即可得答案.

【詳解】

解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（0,0,3，A（a,0,0）,8（0,a,0）,?（0-a,0）,

C（-a,0,0）（a,b>0）,則麗=（0,a,-6）,1=（-a,0,-b）,而=（0,-a,-6）,西=（a,0,-6）,

由題意A,E,F,G四點(diǎn)共面，則有而=*而+》而+z肥，其中x+y+z=l,

設(shè)方=44=Xe（O,l）,

團(tuán)=xf0,—+—,0,-—j+z(0,-6/2,

\ay3ax.3bxby,1

=---,-----aAz,----------bAz

I2552

ay

一一-=a，=-2

2

3X一

\/z=05-2z=0

由方程組5,即＜M,解得力=:，

4

3bxby...y+"z=l

-------:—bAz=-b2

52

x+y+z=1

x+y+z=l

由zPG3

所以而=屋

故選：c.

3.（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）在體積為逑的直三棱柱ABC-44G中，ZA8C為銳

2

角，且AB=33C=3,AA=—＞則異面直線AB與AG所成角的正弦值為（）

3

A.叵B.立C."D.叵

14777

【答案】A

【解析】

【分析】

借助直三棱柱側(cè)棱垂直底面，AA即為三棱柱的高，利用面積公式和棱柱體積公式求出

sinNABC=且，再根據(jù)NA8C為銳角，確定角度，從而準(zhǔn)確確定余弦值，利用余弦定理求

2

出AC長(zhǎng)，從而使用正弦定理求出sinNBAC=@,最后利用等角定理求出異面直線夾角的

14

正弦值即可.

【詳解】

V^Sh=^BA-BC-sinZABC^-AA,=（；x3xlxsin/4BC卜平=孚,

解得sinN4BC=g

2

又sinNABC為銳角，

TT

所以NA8C=：,

所以cosNABC=L

2

由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2ACBCcosZABC，

所以AC=^,

BCAC

由正弦定理得

sinZ.BACsinZABC

1二手

所以sin/BAC一近,

~2~

解得，sinZBAC=—^~?

14

又因?yàn)锳G與AC平行,

所以異面直線A8與AG所成角的正弦值即為A8與AC所成角的正弦值，即為

后

sinZBAC=—.

14

故選：A.

4.(2022?廣東惠州?高三階段練習(xí))如圖，點(diǎn)M、N分別是正四面體ABCD棱AB、C。上的

點(diǎn)，設(shè)8M=x,直線MN與直線BC所成的角為6,則()

A

A.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而增大

B.當(dāng)ND=2CN時(shí),。隨著x的增大而減小

C.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著x的增大而減小

D.當(dāng)CN=2ND時(shí),。隨著x的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】

分ND=2CV和CN=2ND兩種情況，分別過(guò)N作的平行線，可得直線MN與所作的平

行線成的角即為角6可得答案.

【詳解】

當(dāng)ND=2CN時(shí),如下圖作收〃BC交8。于F點(diǎn)，所以直線MN與直線8c所成的角即為直

線MN與直線NP所成的角，即尸=6,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為3,則CN=8尸=1,/W=2,

可求得MF=y/x2-x+l,MN=3X+7，

18-7x

所以在△RVM中，有cos8=—/4-(-x--e--[-0--,-3--]-)-,

2y/x2-3x+lx-3x+7

18-7x7X2-36X+5

令令x)=則小)=

尤2—3x+7，-3x+7>

xe[0,3]時(shí)，:(力=與乎\!有正有負(fù)，函數(shù)有增有減,

(x—3x+7)

所以故A與B錯(cuò)誤;

A

c

當(dāng)CN=2ND時(shí)，如下圖作NE//BC交BD于E點(diǎn)，所以直線MN與直線BC所成的角即為直

線MN與直線NE所成的角，即NMWE=0.

同樣設(shè)正四面體的樓長(zhǎng)為3,則CN=BF=2,FN=2,

可求得ME=-2關(guān)+4,

AN=BN=幣,

9+7-73

仕/C△/A1￡D>\7rVr十h，*c3cc〉J/ChLRH\IY_—2—

3x77―2不，

3________

2

所以MN?=X+7-2XXX>/7X-=x~-3*+7，即MN=JX2_3X+7，

2

4-x_1L9-5x

所以在AMNE中，有cos6=—7---------cJl+2r(xe[0,3]),

2VX2-3X+72、V-3x+7

5x2—18x—8八

令/。）=「9廣則廣（同：-------7<0,

x-3x+7(X2-3X+7)2

所以〃x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,即x增大,f(x)減小,即cos。減小,從而，增大,故D正

確，c錯(cuò)誤.

A

故選：D.

5.（2022?福建三明?高三期末）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為64%的球面上,

2萬(wàn)

且SAEI平面ABC,S4=4,Z.BACTAB=26M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則直線SM與平

面ABC所成的最大角的正切值為（)

3

A.3B.建c.GD.-

32

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三棱錐S-ABC外接球的表面枳以及三棱錐的幾何特點(diǎn)，求得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)線面角

的定義，求得其正切值的表達(dá)式，求其最大值即可.

【詳解】

根據(jù)題意，將三棱錐S-ABC放入宜三棱柱S4G-A8C,則兩者外接球相同,

且取底mjABC,SB1￡的外心為。,。2,連接且取其中點(diǎn)為。，連接OAAq如下所示:

因?yàn)槿?棱錐S-A3C外接球的表面積為64%，設(shè)外接球半徑為R,則4/叱=64萬(wàn)，解得R=4；

對(duì)直三棱柱SBCLABC,其外接球球心在。。2的中點(diǎn)。處，也即Q4=4,

故在述以。。田中，因?yàn)?。l=4,Oq=5SA=2,設(shè)AABC外接圓半徑A。為r,

貝Jr2+22=42>解得r=26；

27rBC=r-

在“BC中，因?yàn)镹BAC=二-，且『=26，故可得.女一，即8c=2x26x組=6,

3s,ny2

再由正弦定理可得.4f~=2r,貝iJsinNACB=40=2*=L,又NACB為銳角，故

sinZACB2r4>/32

ZACB=~；

6

TT

則AABC=二，即A43C是以NBAC為頂角的等腰三角形：

因?yàn)镾AJ_平面ABC,故SM與平面ABC的夾角即為/SMA,則tanNSM4=-77T=-；7T,

乂AM的最小值即為8c邊上一的高線，設(shè)其長(zhǎng)度為人，則，=sinNABCxAB=gx2Q=JJ.

故當(dāng)/SM4最大時(shí)，tan/SM4為生叵，即直線SM與平面48c所成的最大角的正切值為

3

473

~T,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查棱錐外接球問(wèn)題、解三角形問(wèn)題以及線面角的求解，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)每種

問(wèn)題都能熟練的掌握，從而可以靈活的轉(zhuǎn)化，屬綜合困難題.

6.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐O-ABC中，AB=BC=CD=DA,

NA8C=90',E,F,。分別為棱BC,D4,AC的中點(diǎn)，記直線EF與平面80。所成角為6,貝!

的取值范圍是（）

【解析】

補(bǔ)全底面為正方形ABCG,由正方形性質(zhì)有面GDB_L而ABCG,進(jìn)而可證ECHF為平行四邊

7T

形，則ZCHO=0e（0,為直線EF與平面BOD所成角，回的中由余弦定理知

17T

cos?B=l——7-,結(jié)合棱錐側(cè)面為全等三角形知ZDABe（0，W）,即可求。的取值范圍.

tan2Q2

【詳解】

由45=BC,zS4BC=9O0.將底面補(bǔ)全為正方形A8CG,如下圖示，

。為A8CG對(duì)角線交點(diǎn)且GBJ.AC,又C￡>=DA有Z力_LAC,DOcGB=O,

134CJ■面GDB，而ACu面ABCG,故面GDBJ■面ABCG,

若H為DG的中點(diǎn)，連接FH,又E,F為棱BC,DA的中點(diǎn),則尸H〃AG且AG=2F〃，

而8C〃AG,BC=AG=2EC,有'EC,F77平行且相等，即EC"尸為平行四邊形.

回可將EF平移至”C,直線EF與平面80〃所成角為4770=9€（0,1）,且用△80中

“OH=90°,

令A(yù)B=BC=CD=DA=2,0C=正，即20H=，

tan。tan。

03ABZ）中，AB-+BD1-2ABBD-cosZDAB=BD2,即cosZDAB=l------

tan-0

0GAB=GAG=zsDCB=J）CG,即ZDABe（0,9,

00<1----1<1，解得tane>l（tandc-l舍去），

tan-。

綜上有。e（［,g），

42

故選：c

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：補(bǔ)全幾何體，應(yīng)用正方形、中位線、平行四邊形性質(zhì)，根據(jù)線面角的定義確定

對(duì)應(yīng)的平面角，結(jié)合余弦定理及空間角的范圍，求線面角的范圍.

二、多選題

7.（2022?山東濰坊?高三期末）如圖是邊長(zhǎng)為5的正方形,半圓面APD0平面ABCD.點(diǎn)

尸為半圓弧AO上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，。不重合）.下列說(shuō)法正確的是（）

A.三棱錐P—A8/）的四個(gè)面都是直角三角形

B.三棱錐產(chǎn)一ABO體積的最大值為1平25

C.異面直線出與8c的距離為定值

D.當(dāng)直線P8與平面ABC。所成角最大時(shí)，平面以3截四棱錐尸一48co外接球的截面面

積為25（3-6）乃

4

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用面面垂直和線面垂宜的性質(zhì)可得由平面幾何知識(shí)可證明NAP￡>=90。，

AB±AD,ZBPD=90°,由此可判斷選項(xiàng)A；

當(dāng)點(diǎn)尸是半圓弧的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐尸-謝的底面積S/4D取得最大值，求解即可判斷選

項(xiàng)B；

證明AB為異面直線24與8C的距離，即可判斷選項(xiàng)C：

過(guò)點(diǎn)尸作。丁點(diǎn)V,連接5”,確定NPBH為直線PB與平面ABCD所成的角，利用

平面幾何知識(shí)，表示出si/NPBH,利用基本不等式求解最值，即可得到答案.由題意可得

正方形ABCO的中心即為四棱錐P-A3C。的外接球的球心，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得外接球的

半徑，代入球的表面積公式得答案.

【詳解】

對(duì)丁A選項(xiàng)，因?yàn)榈酌鍭8a>為邊長(zhǎng)是4的正方形，則4?

又半圓APD_L平面ABC。，半圓AP￡>n平面ABCD=AD，ABi平面ABC。，

則ABL半圓APO,

又APu平面AP￡）,

故他,”，

則△AP8為直角三角形，

所以而=介+4}2,

因?yàn)锳D是圓的直徑，

貝ijZAP。=90。，

故△AP。為直角三角形，

所以P。2=452Ap2,

因?yàn)锳B_LAD,

則是直角三角形，

所以應(yīng)＞2=452+7452,

在/\PDB匚口，PB2+PD-=(AP?+AB-)+(AD2-AP2)=AD2+AB2=BD2，

貝ljZBPD=90°,

所以ABPD為直角三角形，

故三棱錐尸-般的每個(gè)側(cè)面三角形都是直角三角形，

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，在三:棱錐P-A8Q中，ABJ_半圓面APO,

則AB是三棱錐P-ABD的高，

當(dāng)點(diǎn)P是半圓弧AO的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-ABD的底面積SMD取得最大值，

三棱錐P-麗的體積取得最大值為gx5xgx5xm=^，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)榘雸A面APDJ■平面ABC。，AB±AD,半圓面APDCl平面45co="＞，

所以A8_L半圓面APO,又尸Au半圓面APD,所以ABJ_外,又AB_LBC,

所以A8為異面直線P4與8C的距離，所以異面直線”與BC的距離為定值；故C正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，取8。的中點(diǎn)。，由選項(xiàng)A中的解析可得，OA=OB=OP=OD=-BD=~,

22

所以點(diǎn)。為四棱錐尸-ABCD外接球的球心，

AB

過(guò)點(diǎn)P作P〃_LA￡＞于點(diǎn)”，連接BH,如圖所示,

因?yàn)榘雸A面APD，平面ABCD,半圓面APDD平面ABCD=AD，

故平面ABC。，

所以9/為總在平面ABCD內(nèi)的射影，

則NP8”為直線必與平面A8CD所成的角,

iSAH=x,貝lj0<x<5,DH=5-x,

在RtAAPD中，PH2=AHDH=X(4-X),

PD2=DHAD=5(5-x),

所以PB?=BD2_PD2=(5揚(yáng)2_5(5_x)=25+5x,

PH2_x(5-x)x2-5x

故sin。NPBH=

PB-25+5xx+5

令，=x+5,則x=r-5,且5</<10,

—2

匚匚I、I*—5x(f5)—5(/—5)50I50rr

所以-----=-——----——-=/+——15..2J/X-----115=1OV2-15,

x+5/tVt

當(dāng)且僅當(dāng)r哼,即r=5應(yīng)時(shí)取等號(hào),

所以sinZS”,,-1(10夜-15)=3-2及，

貝IJsinNPZ汨,,友-1,

所以直線尸8與平面ABCD所成最大角的正弦值為&-1,

此時(shí)9r=50-5,PH2=(572-5)x(10-572),所以PH=5啦(及-1),

A尸=(5&-5)2+(5姬(&-1)2,AP=5,應(yīng)-1，

過(guò)。作DM_L于"，S^P=^ADxPH=^APxDM,解得DM=5/點(diǎn)-1啦,所以球心。到

面PAB的距離d=,

2

設(shè)截面半徑為"，則有產(chǎn)=(空產(chǎn)_?=g-25(亞-1)0=”電,所以截面面積為生后，故

22444

D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)

系，空間幾何體外接球的理解與應(yīng)用，空間角、空間幾何體的體積的計(jì)算等知識(shí)，考查空間

想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于難題.

8.(2022?山東日照?一模)已知球。的半徑為4,球心。在大小為60。的二面角*-/-￡內(nèi)，

二面角4的兩個(gè)半平面所在的平面分別截球面得兩個(gè)圓。-02,若兩圓。一O?的

公共弦A8的長(zhǎng)為4,E為A8的中點(diǎn)，四面體04002的體積為匕則正確的是()

A.O,E,a，。2四點(diǎn)共圓B.0E=2^

C.002=6D.V的最大值為日

【答案】ABD

【解析】

【分析】

連結(jié)0￡0/瓦02￡0。2,。4,判斷出0A=4,AE=2，利用勾股定理求出0￡=2右M判斷B

證明出。,OO?，O2E即可判斷。,瓦,。2四點(diǎn)共圓，從而判斷出A正確.

直接求出。02=OEsin60。=3，可判斷C錯(cuò)誤；

設(shè)0a=4。。2=4,先求出S。。。<—,即可求出曠43,可以判斷D.

42

【詳解】

因?yàn)楣蚕褹8在棱/上，連結(jié)0￡。囚02￡0/。2,。4,則。4=4,4后=2,

則OE=JOA?-AE?=&一2?=2后故B正確.

因?yàn)槎娼窍?/一#的兩個(gè)半平面分別截球面得兩個(gè)圓。，。2,。為球心，所以。。四a,。?；?/p>

小，又QEu平面a,O/u平面夕，所以O(shè)O|，Oq,OQ，O/,故/0。q=/0。/=90。，

所以Nq￡O2+N00Q=18O°,對(duì)角互補(bǔ)的四邊形為圓內(nèi)接四邊形，所以0,瓦。”。2四點(diǎn)共

圓,故選項(xiàng)A正確.

因?yàn)镋為弦AB的中點(diǎn)，故。E0AB,。2后蜘8,故NOE。?即為二面角的平面角，所以

“Eq=60。,由正弦定理得OR=OEsin60。=3,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

設(shè)oo,=4,。0產(chǎn)d2，在團(tuán)oo,o2中，由余弦定理可得,。?！?9=片+d；+44>344,所以

44,3,故Sga4g所.以丫=；AE.S“O@=/，當(dāng)且僅當(dāng)以

4=4時(shí)取等號(hào),故選項(xiàng)D正確.

故選:ABD

【點(diǎn)睛】

與球有關(guān)的問(wèn)題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：

①公式法；②多面體幾何性質(zhì)法；③補(bǔ)形法；（④尋求軸截面圓半徑法；⑤確定球心位置

法.

9.（2022?山東濰坊?一模）已知同底面的兩個(gè)正三棱錐P-ABC和。-ABC均內(nèi)接于球。，

且正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為:，則下列說(shuō)法正確的是（）.

4

A.E4//平面Q8C

B.設(shè)三棱錐。-4BC和P-A8C的體積分別為%-pc和匕IBC，則%-ABC=4%_ABC

4

C.平面ABC截球O所得的截面面積是球O表面積的三倍

D.二面角P-A8-Q的正切值為一1

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由題可得P。為球。的直徑，設(shè)尸到底面的距離為九球的半徑為凡結(jié)合條件可得

/?2=（2外+（氏-可得R=|/?,然后逐項(xiàng)分析即得.

【詳解】

回同底面的兩個(gè)正三棱錐P-A8C和Q-ABC均內(nèi)接于球O,

回P。為球。的直徑，

取48的中點(diǎn)M,連接尸M、QM,貝IJPMZL48,CMM8,QM^AB,

EEPMC為側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的平面角，EIQMC為側(cè)面QAB與底面ABC所成

1T

二面角的平面角，又正三棱錐P-ABC的側(cè)面與底面所成角的大小為-，

4

設(shè)底面的中心為N,P到底面的距離為/?,球的半徑為R,則PN=h,OP=R,ON=R-h,MN=h,

CN=2h,

0/?2=（2/Z）2+（7?-/I）2,

5

@R=-h,QN=4h,PN=h,

回尸、C、。、M四點(diǎn)共面，又CN=2MN,QN=4h,PN=h,

回以與0M不平行，故南與平面。8c不平行，故A錯(cuò)誤；

由QN=4PN,可得%-"c="VAABC,故B正確；

團(tuán)平面ABC截球0所得的截面面枳為乃（2/?丫=4%川，球。表面枳為4萬(wàn)心=4%25乃川，

4

團(tuán)平面ABC截球。所得的截面面枳是球O表面積的不倍，故C正確;

回PM=y/2h,QM=y]h2+(4h)2=V17h,QP=5"，

(同了+(>/17/?)J-(5/j)25

0cosZPM<2=sin'Q=行

2-y/2h-J17h

55

manZPMQ=--,即二面角P-A8-。的正切值為-鼻，故D正確.

JJ

故選：BCD.

10.（2022?山東威海?高三期末）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCC-ABCQ中，過(guò)BR的平面a

交棱AA于點(diǎn)E,交棱eg于點(diǎn)尸，則（）

A.BF=ED{B.存在E,F,使得E/U平面038a

C.四邊形BFRE面積的最大值為2指D.平面a分正方體所得兩部分的體積相等

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

對(duì)于選項(xiàng)A,通過(guò)面面平行的性質(zhì)可得就=麗；對(duì)于選項(xiàng)B通過(guò)向量法表示線面垂直,

解出方程即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C,通過(guò)作EG1BD|交BA于G,然后求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，最

后表示出四邊形BFRE的面積，求得四邊形8FRE面積的最大值為26；對(duì)于選項(xiàng)D,由

于平面a分正方體所得兩部分是全等的，故體積相等.

【詳解】

如圖所示：

z

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯z,則有：

A（0,0,0）,8（2,0,0）,C（2,2,0）,￡>（0,2,0）,/（。，。⑵,4（2,0,2）,C,（2,2,2）,D,（0,2,2）

不妨設(shè)E（0,0,a）,尸（2,2,6）,則赤=（0,2㈤，的=（0,2,2-〃）

山直線BQ、BE、8尸均在平面a內(nèi)，平面BCGB”平面，則平面a與平面BCQA、

平面ADRA分別交于8尸、ED1,根據(jù)平面平行的性質(zhì)可知，則有：BF//ED,

同理：BE//FD,,故四邊形EB尸?為平行四邊形，則選項(xiàng)A正確；

由晶=E4，可得：b=2-a

又E>=（2,2,2-24）,BD=（-2,2,0），威=（0,0,2）

EFBD=0

要使得平面。8耳。，則有：

Ek-BB、-0

解得：a=l

故選項(xiàng)B正確；

設(shè)四邊形8FRE面積為S,8入=2力

設(shè)EG1BR交BR于G,設(shè)G。,昨zj,則有：

EG-BD,=0

—>—>

H.BG二九BD、

f」412121、

解得：G|j丁，］+鏟，§+刊

則有：EG=,-a2--a+-

V333

故S=威.fb=2,2(/-2a+4)=2^2((iz-l)2+3)

當(dāng)。=1時(shí)，S取得最小值為2尚，故答案C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,由于平面a是平分正方體，則體積是相等的，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABCD

11.(2022?山東煙臺(tái)?高三期末)如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體4B8-A4G。中，P，Q

分別為棱AB,8c的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是()

A.棱GR上存在一點(diǎn)M,使得40〃平面4PQ

B.直線AG到平面B/。的距離為g

C.過(guò)AG且與面BFQ平行的平面截正方體所得截面面積為39

O

D.過(guò)PQ的平面截正方體的外接球所得截面面積的最小值為三

8

【答案】BCD

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4P。的法向量，借助空間向量分析計(jì)算可判斷A,B；作出

過(guò)AG與平面B，。平行

的正方體截面，計(jì)算其面積判斷C；求出直線尸。被正方體的外接球所截弦長(zhǎng)即可計(jì)算作答.

【詳解】

在棱長(zhǎng)為1的正方體AB8-A,4Gq中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

n-PQ=--x+—y=G

22-

設(shè)平面耳尸。的一個(gè)法向量元=(x,y,z),貝I卜令z=-l,得3=(2,2,-1),

n-PBX=—y+z=O

設(shè)棱GR上點(diǎn)”(0,利,D,0<zn<l,則磁=(-1,〃?』)，若AM〃平面4PQ,則有

n-AM=-2+2m-1=0，

3

解得加=：，與04加41矛盾，即在棱GR上不存在點(diǎn)M,使得AM〃平面BEQ,A不正確；

連AC,矩形ACGA是正方體A88-A8C。的對(duì)角面，有4C//AG，而p,Q分別為棱

AB,8c的中點(diǎn),

則尸。//AC//AG，又4G<Z平面片PQ,PQu平面8/。，于是有ACJ/平面8/。，

直線AG到平面耳PQ的距離等于點(diǎn)A到平面BFQ的距離兒因M=(0,-1,0),

I職向1-1x212

貝IJ/?=->B正確;

1?1.2+2?+(-1)2

取AO,CD的中點(diǎn)E,F,連接AE，EF，GF,EQ,則EF//AC//AC，即EF,AC確定一個(gè)

平面，如圖，

依題意，EQHABHA^,EQ=AB=AiB[,即四邊形A4QE是平行四邊形，\EHBXQ,

玲￡二平面用戶。，qQu平面BfQ,于是得AE//平面片PQ,

顯然EFUPQ,平面片PQ,P0u平面片尸。，于是得所〃平面B/Q,

而AECEF=E,AEEFU平面AGFE,因此，平面46隹〃平面用P。，

即梯形AGFE是過(guò)AG與平面8/Q平行的正方體的截面，

而AE=GF=乎,EF=￥，AC1=0,則此等腰梯形的高

『廣千篇W

所以過(guò)AG與平面與尸。平行的正方體的截面面積為4￡衛(wèi)￡/=（迪）2=2,c正確；

248

過(guò)PQ的平面截正方體的外接球所得截面小圓最小時(shí)，該小圓直徑是直線PQ被正方體的外

接球所截弦，

由對(duì)稱性知線段PQ中點(diǎn)N是這個(gè)小圓的圓心，令正方體ABC。-A4CQ的外接球球心為

0,連接ON,OP,

則ONJ.PQ,^0P=—,PN=—,0N=40Pr^PNI=—^而球半徑尺=在，

2442

則這個(gè)小圓半徑r=J/?2-ON2=、2-9=遠(yuǎn),此圓面積為萬(wàn)產(chǎn)=與，DlE確.

V41648

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計(jì)算問(wèn)題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位

置是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）如圖①，矩形A8CO的邊A8=2G，設(shè)4。=X，

x>0,三角形ABE為等邊三角形，沿A8將三角形A8E折起，構(gòu)成四棱錐E-48C。如圖②，

則下列說(shuō)法正確的有（）.

A.若〃為A8中點(diǎn)，則在線段￡?上存在點(diǎn)P,使得PC〃平面￡DM

B.當(dāng)xe（3,2g）時(shí)，則在翻折過(guò)程中，不存在某個(gè)位置滿足平面EQ9_L平面A88

C.若使點(diǎn)E在平面ABC。內(nèi)的射影落在線段。Ct,則此時(shí)該四棱錐的體積最大值為3百

D.若*=#，且當(dāng)點(diǎn)E在平面A8CD內(nèi)的射影點(diǎn)H落在線段DC上時(shí)，三棱錐E-H4Q的

外接球半徑與內(nèi)切球半徑的比值為3-+#+2

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

對(duì)于A,延長(zhǎng)。M與C8的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,此時(shí)，此時(shí)，CP%EN必有交點(diǎn)、;

對(duì)于B,取￡>C的中點(diǎn)表示出EH=JEM?-HM?=如-乂2，驗(yàn)證當(dāng)xe（3,26）時(shí)，無(wú)

解即可；

對(duì)于C,利用體積公式V=；x2且借助基本不等式求最值即可；

任

對(duì)T-D,要求外接球半徑與內(nèi)切球半徑,找外接圓的圓心，又內(nèi)接圓半徑為「=-~2一方，

+變

222

即可作出比值.

【詳解】

對(duì)于A,如圖，延長(zhǎng)。M與CB的延長(zhǎng)線交手點(diǎn)N,則面。WEc面EC8（N）=EN.

E

此時(shí)，CP與硒必有交點(diǎn)，則CP與面。0E相交，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,取0C的中點(diǎn)H,連接則E//LOC.

若面EDCJ■面ABCD,則有E"=^EM2-HM2=49-x2，

當(dāng)xe(3,2月)時(shí)，無(wú)解，所以在翻折過(guò)程中，不存在某個(gè)位置滿足平面EDC_L平面ABCD,

故B正確；

對(duì)于C,由題可知，此時(shí)面E￡)C_L面A8CO,由B可知，xe(0,3).

所以y=1X26>XXJ9-X24亞.一+9_彳2=亞*2=3函

33232

當(dāng)且僅當(dāng)丁=9-/,即尢=,虛時(shí)等號(hào)成立.故C正確；

對(duì)于D,由題可知，此時(shí)面EDC_L面A8C。，且￡77=6E

因?yàn)锳AW),都是宜角三角形，所以外接球的半徑

2

顯

可求得內(nèi)切球半徑為r=36了，故y=3忘+嚴(yán)2

山等體積法,故D正確.

一H-----+----

222

E

故選：BCD.

13.（2022?山東?高三開(kāi)學(xué)考試）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-A8C2中，。為正方形43C￡>

的中心，尸為棱AA上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)P為4A中點(diǎn)時(shí)，PO1DC,

B.點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，三棱錐P-BOG外接球體積為（不

C.當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐P-BZ）G外接球的球心總在直線AC上

D.當(dāng)尸為A4的中點(diǎn)時(shí)，正方體表面到尸點(diǎn)距離為2的軌跡的總長(zhǎng)度為

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用球體的體積公式可判斷B選項(xiàng)的正誤；利

用球體的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；確定點(diǎn)P為球心，半徑為2的球在正方體每個(gè)面上

的截面圖形，求出軌跡的長(zhǎng)度，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A,連接AC、CD,,則。為AC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為A4的中點(diǎn)時(shí)，則PO〃AC,

???A。，平面CCQQ,￡>Gu平面CCQQ,則DCJAA，

因?yàn)樗倪呅蜟CQQ為正方形，則DC,1CD,,

???AAnqc=R,則。G，平面ACQ,「ACu平面AC%,則ACLOG，

因此，P01DC,,A對(duì)：

對(duì)于B,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，三棱錐P-瓦乂的外接球即正方體4/。-440。外接球,

該球的半徑為R=立AB=石，該球的體積為V=gp?（有14后，B錯(cuò)；

對(duì)與C,因?yàn)锳C_L8。，則A,C_L平面8￡>G，

如下圖所示，連接G。交AC于點(diǎn)M，

易知ABDC、為等邊三角形，且。為80的中點(diǎn)，故"為ABDC、的中心,

故以AB￡>G為底的三棱錐的外接球球心在AC上，C對(duì)；

對(duì)于D,如下圖所示，在側(cè)面上,

設(shè)以點(diǎn)尸為球心，半徑為2的球分別交4B、AR于點(diǎn)"、G,則PG=2=2AP,

TTTTTT

所以，ZAHP=ZAGP=-從而NAPH=NAPG=—,故NGPH=一,

]6313

故在平面ABMA和平面40RA上軌跡是以p為圓心，2為半徑，圓心角為g1T的兩段弧，

設(shè)以P為球心，2為半徑的球截平面ABCD所得圓的半徑為,，

則r=M-AP2=6<AB=AD'

故以P為球心，2為半徑的球在平面ABGR和平面A8C。上的軌跡是以百為半徑，圓心角

為1]T的兩段弧，

因此，軌跡的總長(zhǎng)度為/=與+岳，D對(duì).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作出截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾

何問(wèn)題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心

到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

14.（2022?廣東廣州?一模）在長(zhǎng)方體ABCn-AAGA中，AB=2,M=3,4）=4,則下

列命題為真命題的是（）

A.若直線AG與直線C力所成的角為巴貝ijtane=：

B.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線/與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，且/與面BCGq交于點(diǎn)M,則

AM=419

C.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的直線機(jī)與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為仇則sin。=包

3

D.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的平面夕與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為〃，則sin〃=^

【答案】ACD

【解析】

【分析】

A根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)找到直線AC1與直線8所成角的平面角即可;B構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，

根據(jù)線線角相等，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示求cos〈麗，而>=cos<而，麗7>=

cos<AD,AM>,即可求M坐標(biāo)，進(jìn)而確定線段長(zhǎng)；C、D將長(zhǎng)方體補(bǔ)為以4為棱長(zhǎng)的正方

體，根據(jù)描述找到對(duì)?應(yīng)的直線