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文檔簡介
新疆昌吉二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程是()A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B.C. D.3.已知數(shù)列通項(xiàng)公式,則()A.6 B.13C.21 D.314.雙曲線的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.和 B.和C.和 D.和5.已知直線l的方向向量,平面α的一個法向量為,則直線l與平面α的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)6.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,若(),則n的值為()A.15 B.14C.13 D.127.直線分別與曲線,交于,兩點(diǎn),則的最小值為()A. B.1C. D.28.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線()的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為()A. B.C. D.9.“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知直線的斜率為1,直線的傾斜角比直線的傾斜角小15°,則直線的斜率為()A.-1 B.C. D.111.計(jì)算復(fù)數(shù):()A. B.C. D.12.若直線a不平行于平面,則下列結(jié)論正確的是()A.內(nèi)的所有直線均與直線a異面 B.直線a與平面有公共點(diǎn)C.內(nèi)不存在與a平行的直線 D.內(nèi)的直線均與a相交二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),若不等式在上恒成立,則的取值范圍是______.14.已知平面的法向量為,平面的法向量為,若,則___________.15.拋物線C:的焦點(diǎn)F,其準(zhǔn)線過(-3,3),過焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則p=___________;弦AB的長為___________.16.定義在R上的函數(shù)滿足,其中為自然對數(shù)的底數(shù),,則滿足的a的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極大值與極小值;(2)若函數(shù)在上的最大值是最小值的3倍,求a的值.18.(12分)已知橢圓的離心率為,短軸長為2(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,求當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時的值19.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為,且滿足,(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和20.(12分)已知圓M過C(1,﹣1),D(﹣1,1)兩點(diǎn),且圓心M在x+y﹣2=0上.(1)求圓M的方程;(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn),PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點(diǎn),求四邊形PAMB面積的最小值.21.(12分)已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且過點(diǎn)M()(1)求圓C的方程;(2)已知點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn),試求點(diǎn)P到直線的距離的最小值;22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)是否存在實(shí)數(shù),,,對任意的正數(shù),都有成立?若存在,求出,,的所有值;若不存在,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線垂直于直線,再由點(diǎn)斜式求解即可【詳解】過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直垂直于直線,,∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線的斜率為,∴過點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線方程為:,即.故選:A2、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意,∴故選:D3、C【解析】令即得解.【詳解】解:令得.故選:C4、C【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得到焦點(diǎn)所在軸及半焦距的長,進(jìn)而得到兩個焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線中,,則又雙曲線焦點(diǎn)在y軸,故雙曲線的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)是和故選:C5、D【解析】根據(jù)題意,結(jié)合線面位置關(guān)系的向量判斷方法,即可求解.【詳解】根據(jù)題意,因?yàn)?,所以,所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)故選:D6、B【解析】由已知條件列方程組求出,再由列方程求n的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由,,得,解得,因?yàn)椋?,即,解得或(舍去),故選:B7、B【解析】設(shè),,,,得到,用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解:設(shè),,,,則,,,令,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,時,函數(shù)的最小值為1,故選:B8、B【解析】根據(jù)拋物線的方程寫出焦點(diǎn)坐標(biāo),求出直線的方程、點(diǎn)的坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以直線的方程為:,令,解得,因此點(diǎn)的坐標(biāo)為:,因?yàn)槊娣e為4,所以有,即,,因此拋物線的方程為.故選:B.9、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°),直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值,據(jù)此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0,則直線l斜率可能等于零,此時直線傾斜角為0°,不為鈍角,故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件;直線的傾斜角為鈍角時,直線的斜率為負(fù),滿足直線的斜率不大于0,即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件,“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件;綜上,“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選:B.10、C【解析】根據(jù)直線的斜率求出其傾斜角可求得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,所以,因?yàn)?,所以,因?yàn)橹本€的傾斜角比直線的傾斜角小15°,所以直線的傾斜角為,則直線的斜率為.故選:C11、D【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡可得結(jié)論.【詳解】故選:D.12、B【解析】根據(jù)題意可得直線a與平面相交或在平面內(nèi),結(jié)合線面的位置關(guān)系依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】若直線a不平行與平面,則直線a與平面相交或在平面內(nèi).A:內(nèi)的所有直線均與直線a異面錯誤,也可能相交,故A錯誤;B:直線a與平面相交或直線a在平面內(nèi)都有公共點(diǎn),故B正確;C:平面內(nèi)不存在與a平行的直線,錯誤,當(dāng)直線a在平面內(nèi)就存在與a平行的直線,故C錯誤;D:平面內(nèi)的直線均與a相交,錯誤,也可能異面,故D錯誤.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值,結(jié)合已知不等式恒成立,即可確定的范圍.【詳解】令,則且,若得:;若得:;所以在上遞增,在上遞減,故,要使在上恒成立,即.故答案為:.14、2【解析】由,可兩平面的法向量也平行,從而可求出,進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?,平面的法向量為,,所以∥,所以存?shí)數(shù)使,所以,所以,解得,所以,故答案為:215、①.6;②.48.【解析】先通過準(zhǔn)線求出p,寫出拋物線方程和直線方程,聯(lián)立得出,進(jìn)而求出弦AB的長.【詳解】由知準(zhǔn)線方程為,又準(zhǔn)線過(-3,3),可得,;焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故直線方程為,和拋物線方程聯(lián)立,,得,故,又.故答案為:6;48.16、【解析】設(shè),求出其導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件得出在上單調(diào)遞減,將問題轉(zhuǎn)化為求解,由的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè),則由,則所以在上單調(diào)遞減.又由,即,即,所以故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的極大值為0,的極小值為(2)2【解析】(1)先求導(dǎo)可得,再利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求解;(2)由(1)可得在上的最小值為,由,,可得的最大值為,進(jìn)而根據(jù)求解即可.【詳解】解:(1)當(dāng)時,,所以,令,則或,則當(dāng)和時,;當(dāng)時,,則在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以極大值為;的極小值為.(2)由題,,由(1)可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值即為的極小值;因?yàn)?,所以,因?yàn)椋瑒t,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值,考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值,考查運(yùn)算能力.18、(1);(2).【解析】(1)由短軸長得,由離心率處也的關(guān)系,從而可求得,得橢圓方程;(2)設(shè),,直線的方程為,代入橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理得,由弦長公式得弦長,求出原點(diǎn)到直線的距離,得出三角形面積為的函數(shù),用換元法,基本不等式求得最大值,得值【詳解】解:(1)由題意得,,所以,,橢圓的方程為(2)直線的方程為,代入橢圓的方程,整理得由題意,,設(shè),則,弦長,點(diǎn)到直線的距離,所以的面積,令,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以,對應(yīng)的,可解得,滿足題意19、(1)證明見解析(2)【解析】(1)由遞推關(guān)系式化簡及等比數(shù)列的的定義證明即可;(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消法求解即可得解.【小問1詳解】證明:由得,而且,則,即數(shù)列為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列【小問2詳解】由上可知,所以,20、(1);(2).【解析】(1)設(shè)圓的方程為:,由已知列出方程組,解之可得圓的方程;(2)由已知得四邊形的面積為,即有,又有.因此要求的最小值,只需求的最小值即可,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解:(1)設(shè)圓方程為:,根據(jù)題意得,故所求圓M的方程為:;(2)如圖,四邊形的面積為,即又,所以,而,即.因此要求的最小值,只需求的最小值即可,的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以,四邊形面積的最小值為.21、(1)(2)【解析】(1)由圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且過點(diǎn),求得圓的半徑,利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解;(2)由點(diǎn)到直線的距離公式,求得圓心到直線l的距離為,進(jìn)而得到點(diǎn)P到直線的距離的最小值為,得出答案.【詳解】(1)由題意,圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且過點(diǎn),所以圓C的半徑為,所以圓C的方程為.(2)由題意,圓心到直線l的距離為,所以P到直線的距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中熟練應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22、(1)極小值為:,無極大值(2),,【解析】(1)先求導(dǎo)求單調(diào)性,再判斷極值點(diǎn)求極值即可;(2)易知,只需要為函數(shù)和的公切線即可,求出公切線,代入后分別證明和成立即可.【小問1詳解】由題意知:,令,解得,令,解得,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以為函數(shù)的極小值點(diǎn),即極小值為:,無極大值.【小問2詳解】設(shè),易知,所以點(diǎn)是和的公共點(diǎn),要使成立,只需要為函數(shù)和的公切線即可,由(1)知,,所以在點(diǎn)處的切線為:,同理可得在點(diǎn)處的切線為:,由題意知為同一條直線,所以解得,即等價(jià)于;下面證明這個式子成立:首先證明等價(jià)于,設(shè),所以,恒成立,所以單調(diào)遞增,易知,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,故不等式成立,即成立;再證明:等價(jià)于,設(shè),所以,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,故不等式成立,即成立
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