2025屆安徽省蕪湖市無為縣開城中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆安徽省蕪湖市無為縣開城中學(xué)數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A.k2+1C.k2+12.已知直線:()與拋物線:交于(坐標(biāo)原點(diǎn)),兩點(diǎn),直線:與拋物線交于,兩點(diǎn).若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.計(jì)算等于()A. B. C. D.4.己知集合,,則()A. B. C. D.5.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.6.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.7.等腰直角三角形的斜邊AB為正四面體側(cè)棱,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,有下列說法:(1)四面體EBCD的體積有最大值和最小值;(2)存在某個(gè)位置,使得;(3)設(shè)二面角的平面角為,則;(4)AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡為橢圓.其中,正確說法的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.48.某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍,為了更好地對(duì)比該??忌纳龑W(xué)情況,統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況,得到如圖柱狀圖:則下列結(jié)論正確的是().A.與2016年相比,2019年不上線的人數(shù)有所增加B.與2016年相比,2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C.與2016年相比,2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D.2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同9.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.3610.為實(shí)現(xiàn)國(guó)民經(jīng)濟(jì)新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo),國(guó)家加大了扶貧攻堅(jiān)的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率(脫離貧困的戶數(shù)占當(dāng)年貧困戶總數(shù)的比)為.2015年開始,全面實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策后,扶貧效果明顯提高,其中2019年度實(shí)施的扶貧項(xiàng)目,各項(xiàng)目參加戶數(shù)占比(參加該項(xiàng)目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比)及該項(xiàng)目的脫貧率見下表:實(shí)施項(xiàng)目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務(wù)業(yè)參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的()A.倍 B.倍 C.倍 D.倍11.已知函數(shù)滿足,且,則不等式的解集為()A. B. C. D.12.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的-一個(gè)公共點(diǎn),且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為.14.三棱柱中,,側(cè)棱底面,且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上,則球的表面積的最小值為_____.15.已知,滿足約束條件則的最小值為__________.16.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、,已知,,.(1)求;(2)設(shè)為中點(diǎn),求的長(zhǎng).18.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知,函數(shù).(1)若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求證:對(duì)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),,總有成立.21.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.22.(10分)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當(dāng)n=k時(shí),等式左端=1+1+…+k1,當(dāng)n=k+1時(shí),等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了項(xiàng)(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,屬于中檔題./2、D【解析】

設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.3、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

先化簡(jiǎn),再求.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)?,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當(dāng)時(shí),且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當(dāng)時(shí),且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.6、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.7、C【解析】

解:對(duì)于(1),當(dāng)CD⊥平面ABE,且E在AB的右上方時(shí),E到平面BCD的距離最大,當(dāng)CD⊥平面ABE,且E在AB的左下方時(shí),E到平面BCD的距離最小,∴四面體E﹣BCD的體積有最大值和最小值,故(1)正確;對(duì)于(2),連接DE,若存在某個(gè)位置,使得AE⊥BD,又AE⊥BE,則AE⊥平面BDE,可得AE⊥DE,進(jìn)一步可得AE=DE,此時(shí)E﹣ABD為正三棱錐,故(2)正確;對(duì)于(3),取AB中點(diǎn)O,連接DO,EO,則∠DOE為二面角D﹣AB﹣E的平面角,為θ,直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn),則在旋轉(zhuǎn)的過程中,θ∈[0,π),∠DAE∈[,π),所以θ≥∠DAE不成立.(3)不正確;對(duì)于(4)AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N連線交平面BCD于點(diǎn)P,P到BC的距離為:dP﹣BC,因?yàn)椋?,所以點(diǎn)P的軌跡為橢圓.(4)正確.故選:C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對(duì)應(yīng)的特征,以幾何體為載體,考查相關(guān)的空間關(guān)系,在解題的過程中,需要認(rèn)真分析,得到結(jié)果,注意對(duì)知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用.8、A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,通過簡(jiǎn)單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x,則2019年高考人數(shù)為,2016年高考不上線人數(shù)為,2019年不上線人數(shù)為,故A正確;2016年高考一本人數(shù),2019年高考一本人數(shù),故B錯(cuò)誤;2019年二本達(dá)線人數(shù),2016年二本達(dá)線人數(shù),增加了倍,故C錯(cuò)誤;2016年藝體達(dá)線人數(shù),2019年藝體達(dá)線人數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用,考查學(xué)生識(shí)圖的能力,是一道較為簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)類的題目.9、B【解析】

方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡(jiǎn)可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,從而的最小值為16,故選B.10、B【解析】

設(shè)貧困戶總數(shù)為,利用表中數(shù)據(jù)可得脫貧率,進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè)貧困戶總數(shù)為,脫貧率,所以.故年的年脫貧率是實(shí)施“精準(zhǔn)扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了概率與統(tǒng)計(jì),考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,,即函數(shù)為減函數(shù),,,則不等式等價(jià)為,則不等式的解集為,即的解為,,由得或,解得或,故不等式的解集為.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,是難題.12、A【解析】

設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,雙曲線的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)求解.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,雙曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡(jiǎn)得,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)和均值不等式的結(jié)論整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點(diǎn)睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.14、【解析】

分析題意可知,三棱柱為正三棱柱,所以三棱柱的中心即為外接球的球心,設(shè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為,高為,則三棱柱的側(cè)面積為,球的半徑表示為,再由重要不等式即可得球表面積的最小值【詳解】如下圖,∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè),∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為:【點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí),能通過題意了解到題目傳達(dá)的意思,培養(yǎng)學(xué)生空間想象力,能夠利用題目條件,畫出圖形,尋找外接球的球心以及半徑,屬于中檔題15、【解析】

畫出可行域,通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知:可行域是由三點(diǎn),,構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體,體對(duì)角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法,由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知,該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上,該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為,長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線,所以球半徑為,體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補(bǔ)體法,通過補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出,結(jié)合正弦定理求出;(2)結(jié)合第一問的結(jié)論以及余弦定理即可求解.【詳解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴銳角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用.考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)要證明,只需證明即可;(2)有3個(gè)根,可轉(zhuǎn)化為有3個(gè)根,即與有3個(gè)不同交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】(1)令,則,當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,即,所以.(2)由已知,,依題意,有3個(gè)零點(diǎn),即有3個(gè)根,顯然0不是其根,所以有3個(gè)根,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,作出的圖象,易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用零點(diǎn)分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因?yàn)?,又(?dāng)時(shí)等號(hào)成立),依題意,,,有,則,解之得,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式、利用絕對(duì)值三角不等式和均值不等式求最值;考查運(yùn)算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.20、(1)(2)見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得在上恒成立,參變分離得在上恒成立.設(shè),求出即可得到參數(shù)的取值范圍;(2)不妨設(shè),,,利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在上是減函數(shù),即可得證;【詳解】解:(1)∵∴,且函數(shù)在上為減函數(shù),即在上恒成立,∴在上恒成立.設(shè),∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,∴,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)不妨設(shè),,,則,∴.∵,∴,又,令,∴,∴在上為減函數(shù),∴,∴,即,∴在上是減函數(shù),∴,即,∴,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.21、(1),(2)0【解析】

(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的

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