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云南省玉溪市元江民中2025屆高一上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.若,則()A. B.C. D.2.已知函數(shù),則是A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)3.在四棱錐中,平面,中,,,則三棱錐的外接球的表面積為A. B.C. D.4.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.5.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng),刻畫(huà)的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把鄭鐵餅者張開(kāi)的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”,鄭鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為米,肩寬約為米,“弓”所在圓的半徑約為1.25米,則鄭鐵餅者雙手之間的距離約為()A.1.01米 B.1.76米C.2.04米 D.2.94米6.若均大于零,且,則的最小值為()A. B.C. D.7.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,+∞)8.定義運(yùn)算,若函數(shù),則的值域是()A. B.C. D.9.若,,且,則A. B.C. D.10.已知集合A={1,2,3,4},B={x∈R|0<x-1<3},則A∩B=()A. B.{2,3}C.{1,2,3} D.{2,3,4}二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).能夠說(shuō)明“對(duì)任意,都有”是假命題的一組整數(shù)的值依次可以為_(kāi)____12.若向量,,且,則_____13.已知,則的值是________,的值是________.14.______.15.的化簡(jiǎn)結(jié)果為_(kāi)___________16.“”是“”的______條件.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.求函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)區(qū)間;18.已知與都是銳角,且,(1)求的值;(2)求證:19.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域;(2)設(shè),若函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)設(shè),是否存在正實(shí)數(shù),使得函數(shù)在內(nèi)的最大值為4?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.20.已知,.(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.21.已知向量,,設(shè)函數(shù)Ⅰ求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;Ⅱ求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】應(yīng)用輔助角公式將條件化為,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求.【詳解】由題設(shè),,則,又.故選:A2、B【解析】先求得,再根據(jù)余弦函數(shù)的周期性、奇偶性,判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確,從而得出結(jié)論【詳解】∵,∴=,∵,且T=,∴是最小正周期為偶函數(shù),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式,余弦函數(shù)的奇偶性、周期性,屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】由題意,求長(zhǎng),即可求外接圓半徑,從而可求該三棱錐的外接球的半徑,即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】由題意中,,,則是等腰直角三角形,平面可得,,平面,,則的中點(diǎn)為球心設(shè)外接圓半徑為,則,設(shè)球心到平面的距離為,則,由勾股定理得,則三棱錐的外接球的表面積故選:【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的求法,利用球的對(duì)稱(chēng)性確定球心到平面的距離,培養(yǎng)空間感知能力,中等題型.4、B【解析】分析:通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性,確定函數(shù)圖像.詳解:為奇函數(shù),舍去A,舍去D;,所以舍去C;因此選B.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象左右的位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;②由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);③由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性;④由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).5、B【解析】先由題意求出“弓”所在的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角,然后利用三角函數(shù)求弦長(zhǎng)【詳解】由題意得,“弓”所在的弧長(zhǎng)為,所以其所對(duì)的圓心角的絕對(duì)值為,所以兩手之間的距離故選:B6、D【解析】由題可得,利用基本不等式可求得.【詳解】均大于零,且,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:利用基本不等式求最值時(shí),要注意其必須滿足的三個(gè)條件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù);(2)“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí),必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.7、B【解析】計(jì)算出,并判斷符號(hào),由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,解題方法是計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值并判斷符號(hào),如果異號(hào),說(shuō)明區(qū)間內(nèi)由零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】由定義可得,結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求出.【詳解】由定義可得,當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,綜上,的值域是.故選:C.9、A【解析】∵,∴2既是方程的解,又是方程的解令a是方程的另一個(gè)根,b是方程的另一個(gè)根由韋達(dá)定理可得:2×a=6,即a=3,∴2+a=p,∴p=52+b=?6,即b=?8,∴2×b=?16=?q,∴q=16∴p+q=21故選:A10、B【解析】求解一元一次不等式化簡(jiǎn),再由交集運(yùn)算得答案【詳解】解:,2,3,,,,2,3,,故選:二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、(答案不唯一)【解析】首先利用新定義,再列舉命題為假命題的一組數(shù)值,再根據(jù)定義,驗(yàn)證命題是假命題.【詳解】設(shè),,則,而,,故命題為假命題,故依次可以為故答案為:(答案不唯一)12、6【解析】本題首先可通過(guò)題意得出向量以及向量的坐標(biāo)表示和向量與向量之間的關(guān)系,然后通過(guò)向量平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)?,,且,所以,解得?!军c(diǎn)睛】本題考查向量的相關(guān)性質(zhì),主要考查向量平行的相關(guān)性質(zhì),若向量,,,則有,鍛煉了學(xué)生對(duì)于向量公式的使用,是簡(jiǎn)單題。13、①.②.【解析】將化為可得值,通過(guò)兩角和的正切公式可得的值.【詳解】因?yàn)?,所以;,故答案為:?14、【解析】首先利用乘法將五進(jìn)制化為十進(jìn)制,再利用“倒序取余法”將十進(jìn)制化為二進(jìn)制即可.【詳解】,根據(jù)十進(jìn)制化為二進(jìn)制“倒序取余法”如下:可得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了進(jìn)位制的轉(zhuǎn)化,在求解過(guò)程中,一般都是先把其它進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制,再用倒序取余法轉(zhuǎn)化為其它進(jìn)制,屬于基礎(chǔ)題.15、18【解析】由指數(shù)冪的運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?故答案為18【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)冪運(yùn)算以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算,熟記運(yùn)算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.16、充分不必要【解析】解方程,即可判斷出“”是“”的充分不必要條件關(guān)系.【詳解】解方程,得或,因此,“”是“”的充分不必要條件.故答案為充分不必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷,一般轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來(lái)判斷,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、定義域?yàn)?,值域?yàn)椋f減區(qū)間為,遞增區(qū)間為.【解析】由函數(shù)的解析式有意義列出不等式,可求得其定義域,由,結(jié)合基本不等式,可求得函數(shù)的值域,令,根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】由題意,函數(shù)有意義,則滿足且,因?yàn)榉匠?,所以,解得,所以函?shù)的定義域?yàn)橛钟?,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),等號(hào)成立,所以,所以函數(shù)的值域?yàn)?,令,根?jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì),可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.18、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】(1)先確定的取值范圍,再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,求得和的值,然后根據(jù),并結(jié)合兩角和的正弦公式,得解;(2)由,,結(jié)合兩角和差的正弦公式,分別求出和的值,即可得證【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)榕c都是銳角,所以,,又,,所以,,所以,,所以;【小問(wèn)2詳解】證明:因?yàn)?,所以①,因?yàn)?,所以②,①②得,,①②得,,?9、(1);(2);(3)存在,.【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域列不等式求解即可.(2)由函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理,列不等式求解即可.(3)由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,利用分類(lèi)討論的思想討論定義域與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系,再利用函數(shù)的最值存在性問(wèn)題求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)由題意,函數(shù)有意義,則滿足,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?(2)由,且,可得,且為單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù),又函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),所以,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)由,設(shè),則,易證在為單調(diào)減函數(shù),在為單調(diào)增函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為增函數(shù),所以最大值為,解得,不符合題意,舍去;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為減函數(shù),所以最大值為,解得,不符合題意,舍去;當(dāng)時(shí),函數(shù)在上減函數(shù),在上為增函數(shù),所以最大值為或,解得,符合題意,綜上可得,存在使得函數(shù)的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域問(wèn)題、零點(diǎn)存在定理、對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用,考查了理解辨析的能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于一般題目.20、(1);(2);(3).【解析】(1)利用二倍角的正切公式求解即可;(2)將分子分母同除得到,代值求解即可;(3)先求得,再用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】(1)(2)(3)21、(Ⅰ)最小正周期是,增區(qū)間為,;(Ⅱ)最大值為5,最小值為4【解析】Ⅰ根據(jù)向量數(shù)量積,利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為,利用正弦函數(shù)的周期公式可得函數(shù)的周期,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式,可得到函數(shù)的遞增區(qū)間;
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