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文檔簡介
2025屆河南省鄭州市106中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.?dāng)?shù)列的通項公式是()A. B.C. D.2.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.3.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,若數(shù)列的前項和為,則的值為()A. B.C. D.4.若x,y滿足約束條件,則的最大值為()A.1 B.0C.?1 D.?35.過橢圓的左焦點作弦,則最短弦的長為()A. B.2C. D.46.在等比數(shù)列{an}中,a1=8,a4=64,則a3等于()A.16 B.16或-16C.32 D.32或-327.用數(shù)學(xué)歸納法證明“”的過程中,從到時,不等式的左邊增加了()A. B.C. D.8.設(shè)為拋物線焦點,直線,點為上任意一點,過點作于,則()A.3 B.4C.2 D.不能確定9.已知雙曲線(,)的左,右焦點分別為,.若雙曲線右支上存在點,使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點,且,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.10.已知點,點關(guān)于原點對稱點為,則()A. B.C. D.11.已知P是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點且,則的面積是()A. B.2C. D.112.已知,且,則實數(shù)的值為()A. B.3C.4 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若橢圓和圓(c為橢圓的半焦距)有四個不同的交點,則橢圓的離心率的取值范圍是_____.14.定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”.(1)設(shè),則在上的“新駐點”為___________;(2)如果函數(shù)與的“新駐點”分別為、,那么和的大小關(guān)系是___________.15.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的n的值為__.16.若圓C的方程為,點P是圓C上的動點,點O為坐標(biāo)原點,則的最大值為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓C過點,,它與x軸的交點為,,與y軸的交點為,,且.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若,直線,從點A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線l反射后與圓C有交點,求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.18.(12分)已知直線,圓.(1)若l與圓C相切,求切點坐標(biāo);(2)若l與圓C交于A,B,且,求的面積.19.(12分)如圖,五邊形為東京奧運會公路自行車比賽賽道平面設(shè)計圖,根據(jù)比賽需要,在賽道設(shè)計時需預(yù)留出,兩條服務(wù)通道(不考慮寬度),,,,,為賽道.現(xiàn)已知,,千米,千米(1)求服務(wù)通道的長(2)在上述條件下,如何設(shè)計才能使折線賽道(即)的長度最大,并求最大值20.(12分)已知拋物線的方程為,點,過點的直線交拋物線于,兩點(1)是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由;(2)若點是直線上的動點,且,求面積的最小值21.(12分)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)用向量方法證明:已知直線l,a和平面,,,,求證:.22.(10分)已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點,且橢圓C的離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)以橢圓的短軸為直徑作圓,若點M是第一象限內(nèi)圓周上一點,過點M作圓的切線交橢圓C于P,Q兩點,橢圓C的右焦點為,試判斷的周長是否為定值.若是,求出該定值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項,歸納猜想出數(shù)列的通項公式.【詳解】依題意,數(shù)列的前幾項為:;;;……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理,考查數(shù)列通項公式的猜想,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系,根據(jù)焦點在拋物線準(zhǔn)線上得c的值,結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是,∴,∵準(zhǔn)線方程是,∴,∵,∴,,∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:A.3、A【解析】函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出,轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項公式,進而由數(shù)列的通項公式,利用裂項相消法求和即可【詳解】解:∵函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行,由求導(dǎo)得:,由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得:,可得,∴,所以,∴數(shù)列的通項為,所以數(shù)列的前項的和即為,則利用裂項相消法可以得到:所以數(shù)列的前2021項的和為:.故選:A.4、B【解析】先畫出可行域,由,得,作出直線,過點時,取得最大值,求出點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示,由,得,作出直線,過點時,取得最大值,由,得,即,所以的最大值為,故選:B5、A【解析】求出橢圓的通徑,即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦,則最短弦的長為橢圓的通徑:故選:A6、C【解析】首先根據(jù)a4=a1q3,求得q=2,再由a3=即可得解.【詳解】由a4=a1q3,得q3=8,即q=2,所以a3==32.故選:C7、B【解析】依題意,由遞推到時,不等式左邊為,與時不等式的左邊作差比較即可得到答案【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中,假設(shè)時不等式成立,左邊,則當(dāng)時,左邊,∴從到時,不等式的左邊增加了故選:B8、A【解析】由拋物線方程求出準(zhǔn)線方程,由題意可得,由拋物線的定義可得,即可求解.【詳解】由可得,準(zhǔn)線為,設(shè),由拋物線的定義可得,因為過點作于,可得,所以,故選:A.9、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點坐標(biāo),再由得P點坐標(biāo),代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖,因為與漸近線垂直所以的斜率為,方程為解的Q的坐標(biāo)為設(shè)P點坐標(biāo)為則,因為,所以,得點P坐標(biāo)為,代入得:所以,即所以漸近線方程為故選:B.10、C【解析】根據(jù)空間兩點間距離公式,結(jié)合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于原點的對稱點為,所以,因此,故選:C11、A【解析】設(shè),先求出m、n,再利用面積公式即可求解.【詳解】在中,設(shè),則,解得:.因為,所以,所以的面積是.故選:A12、B【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算作答.詳解】因,且,則有,解得,所以實數(shù)的值為3.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】當(dāng)圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時,橢圓和圓有四個不同的焦點,由此列不等式,解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點,故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間,即.由得,兩邊平方并化簡得,即①.由得,兩邊平方并化簡得,解得②.由①②得.故填.【點睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系,考查橢圓離心率取值范圍的求法,屬于中檔題.14、①.②.【解析】(1)根據(jù)“新駐點”的定義求得,結(jié)合可得出結(jié)果;(2)求出的值,利用零點存在定理判斷所在的區(qū)間,進而可得出與的大小關(guān)系.詳解】(1),,根據(jù)“新駐點”的定義得,即,可得,,解得,所以,函數(shù)在上的“新駐點”為;(2),則,根據(jù)“新駐點”的定義得,即.,則,由“新駐點”的定義得,即,構(gòu)造函數(shù),則函數(shù)在定義域上為增函數(shù),,,,由零點存在定理可知,,.故答案為:(1);(2).【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算,是新定義的題型,關(guān)鍵是理解“新駐點”的定義.15、5【解析】明確程序運行的順序,寫出每次循環(huán)的m,n的值,直到判斷符合條件時結(jié)束,即可得到結(jié)果.【詳解】第一次循環(huán),m=3,n=2;第二次循環(huán),m=6,n=3;第三次循環(huán),m=9,n=4;第四次循環(huán),m=12,n=5,此時m+n>15,跳出循環(huán),故答案為:5.16、##【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為,所以圓心為,半徑.由于,所以原點在圓外,所以最大值為.故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)設(shè)圓C的一般式方程為:,然后根據(jù)題意列出方程,解出D,E,F(xiàn)的值即可得到圓的方程;(2)先求出點關(guān)于直線l的對稱點,設(shè)反射光線所在直線方程為,利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】(1)設(shè)圓C的一般式方程為:,令,得,所以,令,得,所以,所以有,所以,①又圓C過點,,所以有,②,③由①②③得,,,所以圓C的一般式方程為,標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè)關(guān)于的對稱點,所以有,解之得,故點,∴反射光線所在直線過點,設(shè)反射光線所在直線方程為:,所以有,所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點睛】本題考查圓的方程的求法,直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查邏輯思維能力和運算求解能力,屬于??碱}.18、(1)(2)【解析】(1)求出直線的定點,再由定點在圓上得出切點坐標(biāo);(2)由(1)知,證明為直角三角形,求出,,最后由三角形的面積公式求出的面積.【詳解】(1)圓可化為直線可化為,由解得即直線過定點,由于,則點在圓上因為l與圓C相切,所以切點坐標(biāo)為(2)因為l與圓C交于A,B,所以點如下圖所示,與相交于點,由以及圓的對稱性可知,點為的中點,且由,則直線的方程為圓心到直線的距離為,即直線與圓相切即,則因為,所以【點睛】關(guān)鍵點睛:在第一問中,關(guān)鍵是先確定直線過定點,再由定點在圓上,從而確定切點的坐標(biāo).19、(1)服務(wù)通道的長為千米(2)時,折線賽道的長度最大,最大值為千米【解析】(1)先在中利用正弦定理得到長度,再在中,利用余弦定理得到即可;(2)在中利用余弦定理得到,再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中,由正弦定理得:,在中,由余弦定理,得,即解得或(負(fù)值舍去)所以服務(wù)通道的長為千米【小問2詳解】在中,由余弦定理得:,即,所以因為,所以,所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)即當(dāng)時,折線賽道的長度最大,最大值為千米20、(1)是,;(2)【解析】(1)由題意設(shè)出所在直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,化為關(guān)于的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得為定值;(2)當(dāng)?shù)男甭蕿?時,求得三角形的面積為;當(dāng)?shù)男甭什粸?時,由弦長公式求解,再由點到直線的距離公式求到的距離,代入三角形面積公式,利用函數(shù)單調(diào)性可得三角形的面積大于,由此可得面積的最小值【詳解】(1)由題意知,直線斜率存在,不妨設(shè)其方程為,聯(lián)立拋物線的方程可得,設(shè),,則,,所以,,所以,所以是定值(2)當(dāng)直線的斜率為0時,,又,,此時當(dāng)直線的斜率不力0時,,又因為,且直線的斜率不為0,所以,即,所以點到直線的距離,此時,因為,所以,綜上,面積的最小值為21、(1)的單調(diào)減區(qū)間為和,單調(diào)增區(qū)間為;(2)證明見解析.【解析】(1)求出導(dǎo)函數(shù),由得增區(qū)間,由得減區(qū)間;(2)說明直線方向向量與平行的法向量垂直后可得【詳解】(1)解:定義域為R,,,解得,.當(dāng)或時,,當(dāng)時,.所以的單調(diào)減區(qū)間為和,單調(diào)增區(qū)間為.(2)證明:在直線a上取非零向量,因為,所以是直線l的方向向量,設(shè)是平面的一個法向量,因為,所以.又,所以.22、(1)(2)周長是定值,且定值為4【解析】(1)首先求出直線與軸的交點,即可求出,再根
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