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廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知角是的內(nèi)角,則“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件2.直線l過(guò)點(diǎn)A(3,4),且與點(diǎn)B(-3,2)的距離最遠(yuǎn),則直線l的方程為()A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=03.已知,,,夾角為,如圖所示,若,,且D為BC中點(diǎn),則的長(zhǎng)度為A. B.C.7 D.84.等于A. B.C. D.5.若角的終邊上一點(diǎn),則的值為()A. B.C. D.6.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家,其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則(1614)和納皮爾算籌(1617),而最大貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明,著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說(shuō)明書(shū)》,并且發(fā)明了對(duì)數(shù)尺,可以利用對(duì)數(shù)尺查詢出任意一對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻,如果物體原來(lái)的溫度是(℃),空氣的溫度是(℃),經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度T(℃)可由公式得出,如溫度為90℃的物體,放在空氣中冷卻2.5236分鐘后,物體的溫度是50℃,若根據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出,則空氣溫度是()A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃7.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)8.已知全集,集合,集合,則為A. B.C. D.9.如圖,在三棱錐中,,分別為AB,AD的中點(diǎn),過(guò)EF的平面截三棱錐得到的截面為EFHG.則下列結(jié)論中不一定成立的是()A. B.C.平面 D.平面10.明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫(xiě)了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺離地,送行兩步恰竿齊,五尺板高離地……”某教師根據(jù)這首詞設(shè)計(jì)一題:如圖,已知,,則弧的長(zhǎng)()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若一扇形的圓心角為,半徑為,則該扇形的面積為_(kāi)_________.12.已知函數(shù),給出下列四個(gè)命題:①函數(shù)是周期函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱;③函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱;④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中,所有正確命題的序號(hào)是___________.13.函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______14.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F是分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn),則A1B與EF所成角的大小為_(kāi)_____15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,其中"方田"章給出了計(jì)算弧田面積時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式,即弧田面積(弦×矢+矢2),弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng),“矢”指圓弧頂?shù)较业木嚯x(等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差),現(xiàn)有圓心角為2,半徑為1米的弧田,按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是_________平方米.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字,參考數(shù)據(jù):,)16.若,則實(shí)數(shù)____________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.化簡(jiǎn)計(jì)算:(1)計(jì)算:;(2)化簡(jiǎn):18.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)(1)用定義法證明為增函數(shù);(2)對(duì)任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍19.設(shè)在區(qū)間單調(diào),且都有(1)求的解析式;(2)用“五點(diǎn)法”作出在的簡(jiǎn)圖,并寫(xiě)出函數(shù)在的所有零點(diǎn)之和.20.已知全集,集合,.(1)若,求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.已知函數(shù),(且.)(1)求的定義域,并判斷函數(shù)的奇偶性;(2)設(shè),對(duì)于,恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】在中,由求出角A,再利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】因角是的內(nèi)角,則,當(dāng)時(shí),或,即不一定能推出,若,則,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:C2、D【解析】由題意確定直線斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式求直線方程.【詳解】由題意直線l與AB垂直,所以,選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線斜率與直線方程,考查基本求解能力.3、A【解析】AD為的中線,從而有,代入,根據(jù)長(zhǎng)度進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出的長(zhǎng)度【詳解】根據(jù)條件:;故選A【點(diǎn)睛】本題考查模長(zhǎng)公式,向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算,向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式,根據(jù)公式計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.4、A【解析】分析:由條件利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)所給的式子,可得結(jié)果.詳解:.故選:A.點(diǎn)睛:本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.【詳解】∵角的終邊上一點(diǎn),∴,∴,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義,考查誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】依題意可得,即,即可得到方程,解得即可;【詳解】:依題意,即,又,所以,即,解得;故選:B7、B【解析】先求得函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,即可得解.【詳解】解:因?yàn)楹瘮?shù)均為上的單調(diào)遞減函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B8、A【解析】,所以,選A.9、D【解析】利用線面平行的判定和性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除得解.【詳解】對(duì)于,,分別為,的中點(diǎn),,EF與平面BCD平行過(guò)的平面截三棱錐得到的截面為,平面平面,,,故AB正確;對(duì)于,,平面,平面,平面,故正確;對(duì)于,的位置不確定,與平面有可能相交,故錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用線面平行的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】求出長(zhǎng)后可得,再由弧長(zhǎng)公式計(jì)算可得【詳解】由題意,解得,所以,,所以弧的長(zhǎng)為故選:C二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】利用扇形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】扇形的圓心角為,因此,該扇形的面積為.故答案:.12、①②③【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù),借助周期函數(shù)的定義判斷①;利用函數(shù)圖象對(duì)稱的意義判斷②③;取特值判斷④作答.【詳解】依題意,,因,是周期函數(shù),是它的一個(gè)周期,①正確;因,,即,因此的圖象關(guān)于點(diǎn)成對(duì)稱中心,②正確;因,,即,因此的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱,③正確;因,,,顯然有,而,因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)遞增,④不正確,所以,所有正確命題的序號(hào)是①②③.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:函數(shù)的定義域?yàn)镈,,(1)存在常數(shù)a,b使得,則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(2)存在常數(shù)a使得,則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.13、【解析】令∴即函數(shù)的增區(qū)間為,又函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)∴令得:,即,得到:,又∴實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為14、【解析】解:如圖,將EF平移到A1B1,再平移到AC,則∠B1AC為異面直線AB1與EF所成的角三角形B1AC為等邊三角形,故異面直線AB1與EF所成的角60°,15、【解析】由題設(shè)可得“弦”為,“矢”為,結(jié)合弧田面積公式求面積即可.【詳解】由題設(shè),“弦”為,“矢”為,所以所得弧田面積是.故答案為:.16、5##【解析】根據(jù)題中條件,由元素與集合之間的關(guān)系,得到求解,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,解?故答案為:.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求得結(jié)果.(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),結(jié)合同角商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】(1);(2).18、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域即可證明;(2)由已知條件,利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,可得對(duì)恒成立,然后分離參數(shù),利用基本不等式求出最值即可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明:設(shè),則,由,可得,即,又,,所以,即,則在上為增函數(shù);【小問(wèn)2詳解】解:因?yàn)槿我?,都有恒成立,且函?shù)是定義在R上的奇函數(shù),所以對(duì)恒成立,又由(1)知函數(shù)在上為增函數(shù),所以對(duì)恒成立,由,有,所以對(duì)恒成立,設(shè),由遞減,可得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以,即的取值范圍是.19、(1)(2)圖象見(jiàn)解析,所有零點(diǎn)之和為【解析】(1)依題意在時(shí)取最大值,在時(shí)取最小值,再根據(jù)函數(shù)在單調(diào),即可得到,即可求出,再根據(jù)函數(shù)在取得最大值求出,即可求出函數(shù)解析式;(2)列出表格畫(huà)出函數(shù)圖象,再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出零點(diǎn)和;【小問(wèn)1詳解】解:依題意在時(shí)取最大值,在時(shí)取最小值,又函數(shù)在區(qū)間單調(diào),所以,即,又,所以,由得,即,又因?yàn)椋?,,所?【小問(wèn)2詳解】解:列表如下0001所以函數(shù)圖象如下所示:由圖知的一條對(duì)稱軸為有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,記為,則由對(duì)稱性知,所以所有實(shí)根之和為.20、(1);(2)或.【解析】(1)先求得集合A,當(dāng)時(shí),求得集合B,根據(jù)交集、補(bǔ)集運(yùn)算的概念,即可得答案.(2)根據(jù)題意,可得,根據(jù),可得或,即可得答案【詳解】(1),當(dāng)時(shí),所以;(2)因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以或,解得?21、(1)定義域?yàn)椋粸槠婧瘮?shù);(2)【解析】(1)由函數(shù)的定義域滿足,可得其定義域,由可判斷其奇偶性.(2)先由對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域可得,當(dāng)時(shí),由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒
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