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2025屆貴州省數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知長方體的底面ABCD是邊長為4的正方形,長方體的高為,則與對角面夾角的正弦值等于()A. B.C. D.2.兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-12=0的公共弦所在直線的方程為()A.x+2y﹣6=0 B.x﹣3y+5=0C.x﹣2y+6=0 D.x+3y﹣8=03.已知雙曲線=1的一條漸近線方程為x-4y=0,其虛軸長為()A.16 B.8C.2 D.14.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)且的最大值為,則橢圓離心率為()A. B.C. D.5.已知直線方程為,則其傾斜角為()A.30° B.60°C.120° D.150°6.在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做“等和數(shù)列”,這個數(shù)叫做數(shù)列的公和.已知等和數(shù)列{an}中,,公和為5,則()A.2 B.﹣2C.3 D.﹣37.設(shè),為雙曲線的上,下兩個焦點(diǎn),過的直線l交該雙曲線的下支于A,B兩點(diǎn),且滿足,,則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.8.已知數(shù)列中,其前項和為,且滿足,數(shù)列的前項和為,若對恒成立,則實數(shù)的值可以是()A. B.2C.3 D.9.設(shè)命題,則為()A. B.C. D.10.設(shè)雙曲線與橢圓:有公共焦點(diǎn),.若雙曲線經(jīng)過點(diǎn),設(shè)為雙曲線與橢圓的一個交點(diǎn),則的余弦值為()A. B.C. D.11.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直,則()A. B.C. D.12.下列橢圓中,焦點(diǎn)坐標(biāo)是的是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)解析式,則使得成立的的取值范圍是___________.14.已知函數(shù),則滿足實數(shù)的取值范圍是__15.拋物線C:的焦點(diǎn)F,其準(zhǔn)線過(-3,3),過焦點(diǎn)F傾斜角為的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則p=___________;弦AB的長為___________.16.已知,則曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)(1)已知:方程表示雙曲線;:關(guān)于的不等式有解.若為真,求的取值范圍;(2)已知,,.若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.18.(12分)已知向量,,且.(1)求滿足上述條件的點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;(2)設(shè)曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn)P,Q,點(diǎn)A(0,1),當(dāng)|AP|=|AQ|時,求實數(shù)m的取值范圍.19.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項和為,且,數(shù)列(1)求和的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,證明:20.(12分)已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若為的極值點(diǎn),求的單調(diào)區(qū)間和最大值;(2)是否存在實數(shù),使得的最大值是?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.21.(12分)設(shè)數(shù)列的前項和,且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)記數(shù)列前項和,求使成立的的最小值22.(10分)某企業(yè)2021年年初有資金5千萬元,由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備,資金年平均增長率可達(dá)到.每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金1.5千萬元后,剩余資金投入再生產(chǎn).設(shè)從2021年的年底起,每年年底企業(yè)扣除消費(fèi)基金后的剩余資金依次為,,,…(1)寫出,,,并證明數(shù)列是等比數(shù)列;(2)至少到哪一年的年底,企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元?(lg
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長為4的正方形,,∴,,,因為,,且,所以平面,∴,平面的法向量,∴與對角面所成角的正弦值為故選:C.2、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得,即x﹣2y+6=0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6=0故選:C3、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點(diǎn),結(jié)合虛軸長的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為雙曲線=1的一條漸近線方程為x-4y=0,所以,因此該雙曲線的虛軸長為,故選:C4、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得,從而得到,則,其中,再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求出,即可得到方程,從求出橢圓的離心率;【詳解】解:依題意,所以,又,所以,因為在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時函數(shù)取得最大值,即,即所以,即,所以,解得或(舍去)故選:A5、D【解析】由直線方程可得斜率,根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè),直線斜率,若直線的傾斜角為,則,∵,∴.故選:D6、C【解析】利用已知即可求得,再利用已知可得:,問題得解【詳解】解:根據(jù)題意,等和數(shù)列{an}中,,公和為5,則,即可得,又由an﹣1+an=5,則,則3;故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識,考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力,還考查了數(shù)列的周期性,屬于中檔題7、A【解析】設(shè),表示出,由勾股定理列式計算得,然后在,再由勾股定理列式,計算離心率.【詳解】由題意得,,且,如圖所示,設(shè),由雙曲線的定義可得,,因為,所以,得,所以,在中,,即.故選:A【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍)8、D【解析】由求出,從而可以求,再根據(jù)已知條件不等式恒成立,可以進(jìn)行適當(dāng)放大即可.【詳解】若n=1,則,故;若,則由得,故,所以,,又因為對恒成立,當(dāng)時,則恒成立,當(dāng)時,,所以,,,若n為奇數(shù),則;若n為偶數(shù),則,所以所以,對恒成立,必須滿足.故選:D9、D【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因為命題是全稱量詞命題,所以其否定是存在量詞命題,即,故選:D10、A【解析】求出雙曲線方程,根據(jù)橢圓和雙曲線的第一定義求出的長度,從而根據(jù)余弦定理求出的余弦值【詳解】由題得,雙曲線中,所以,雙曲線方程為:,假設(shè)在第一象限,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得:,解得:,,所以根據(jù)余弦定理,故選:A11、C【解析】對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為,求導(dǎo)得,于是得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的斜率,而直線的斜率為,依題意,,即,解得,所以.故選:C12、B【解析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項中的橢圓焦點(diǎn)即可判斷作答.【詳解】對于A,橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,A不是;對于B,橢圓,即,焦點(diǎn)在y軸上,半焦距,其焦點(diǎn)為,B是;對于C,橢圓,即,焦點(diǎn)在y軸上,半焦距,其焦點(diǎn)為,C不是;對于D,橢圓,即,焦點(diǎn)在y軸上,半焦距,其焦點(diǎn)為,D不是.故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù),再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得上單調(diào)遞減.要使成立,即,解不等式即可得到答案.【詳解】,,為偶函數(shù),當(dāng)時,,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù),在上單調(diào)遞減.要使成立,即.故答案為:.14、【解析】分別對,分別大于1,等于1,小于1的討論,即可.【詳解】對,分別大于1,等于1,小于1的討論,當(dāng),解得當(dāng),不存在,當(dāng)時,,解得,故x的范圍為點(diǎn)睛】本道題考查了分段函數(shù)問題,分類討論,即可,難度中等15、①.6;②.48.【解析】先通過準(zhǔn)線求出p,寫出拋物線方程和直線方程,聯(lián)立得出,進(jìn)而求出弦AB的長.【詳解】由知準(zhǔn)線方程為,又準(zhǔn)線過(-3,3),可得,;焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故直線方程為,和拋物線方程聯(lián)立,,得,故,又.故答案為:6;48.16、【解析】求導(dǎo),得到,寫出切線方程.【詳解】因為,所以,則,所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是,即,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)1m2;(2)(0,1]【解析】(1)由pq為真,可得p真且q假,然后分別求出p真,q假時的的取值范圍,再求交集即可,(2)求得p:1x2,再由p是q的必要不充分條件,得,解不等式組可求得答案【詳解】(1)因為pq為真,所以p真且q假,p真:m1m301m3,q假,則不等式無解,則402m2,所以1m2.(2)依題意,p:1x2,因p是q的必要不充分條件,于是得(不同時取等號),解得0m1,所以實數(shù)m的取值范圍是(0,1].18、(1)+y2=1;(2).【解析】(1)應(yīng)用向量垂直的坐標(biāo)表示得x2+3y2=3,即可寫出M的軌跡C的方程;(2)由直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),設(shè)直線y=kx+m(k≠0),聯(lián)立方程整理所得方程有,且由根與系數(shù)關(guān)系用m,k表示x1+x2,x1x2,若N為PQ的中點(diǎn)結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關(guān)系,結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵,即,∴,即有x2+3y2=3,即點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點(diǎn),∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0①,且x1+x2=,x1x2=.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)N(x0,y0),則.∵|AP|=|AQ|,即知PQ⊥AN,設(shè)kAN表示直線AN的斜率,又k≠0,∴kANk=-1.即·k=-1,得3k2=2m-1②,而3k2>0,有m>.將②代入①得2m1m2+1>0,即2m<0,解得0<m<2,∴m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:1、由向量垂直,結(jié)合其坐標(biāo)表示得到關(guān)于x,y的方程,寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.2、由直線與曲線C相交,聯(lián)立方程有,由|AP|=|AQ|得直線的垂直關(guān)系,即斜率之積為-1,進(jìn)而可求參數(shù)的范圍.19、(1),(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)可得,從而可得;(2)利用錯位相減法可得,從而可得,又,即可證明不等式成立.【小問1詳解】解:∵,∴當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,經(jīng)檢驗,也符合,∴,;【小問2詳解】證明:因為,∴,∴∴,又∵,∴,所以20、(1)單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;最大值為;(2)存在,.【解析】(1)利用為的極值點(diǎn)求得,進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值;(2)對導(dǎo)函數(shù),分與進(jìn)行討論,得函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得最值,再由最大值是求出的值.【詳解】解:.(1)∵,,∴,由,得.∴,∴,,,,∴的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是;的極大值為;也即的最大值為.(2)解:∵,∴,①當(dāng)時,單調(diào)遞增,得的最大值是,解得,舍去;②時,由,即,當(dāng),即時,∴時,;時,;∴的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是,又在上的最大值為,∴,∴;當(dāng),即時,在單調(diào)遞增,∴的最大值是,解得,舍去;綜上:存在符合題意,此時.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)的單調(diào)性及求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用,還考查了函數(shù)的最值求解與分類討論的應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的條件.21、(1).(2)10.【解析】(1)借助于將轉(zhuǎn)化為,進(jìn)而得到數(shù)列為等比數(shù)列,通過首項和公比求得通項公式;(2)整理數(shù)列的通項公式,可知數(shù)列為等比數(shù)列,求得前n項和,代入不等式可求得n的最小值試題解析:(1)由已知,有,即從而又因為成等差數(shù)列,即所以,解得所以,數(shù)列是首項為2,
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