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文檔簡介
甘肅省康縣第一中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末經典試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有().A.0 B.1 C.2 D.32.已知集合,,,則()A. B. C. D.3.設點是橢圓上的一點,是橢圓的兩個焦點,若,則()A. B. C. D.4.設直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.15.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.6.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項為()(注:)A.1624 B.1024 C.1198 D.15607.若,,,則()A. B.C. D.8.已知復數(shù),則()A. B. C. D.9.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-211.總體由編號01,,02,…,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體,選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08 B.07 C.02 D.0112.在“一帶一路”知識測驗后,甲、乙、丙三人對成績進行預測.甲:我的成績比乙高.乙:丙的成績比我和甲的都高.丙:我的成績比乙高.成績公布后,三人成績互不相同且只有一個人預測正確,那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,且,則_________.14.在的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為1024,則展開式常數(shù)項的值等于_______.15.在正方體中,已知點在直線上運動,則下列四個命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當為中點時,二面角的余弦值為;④若正方體的棱長為2,則的最小值為;其中說法正確的是____________(寫出所有說法正確的編號)16.已知實數(shù),且由的最大值是_________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點的直角坐標.18.(12分)已知橢圓C:(a>b>0)過點(0,),且滿足a+b=3.(1)求橢圓C的方程;(2)若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點A,B,點M坐標為(2,1),設直線MA與MB的斜率分別為k1,k2,試問k1+k2是否為定值?并說明理由.19.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設,證明:.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設M為曲線C1上的點,N為曲線C2上的點,求|MN|的取值范圍.21.(12分)的內角,,的對邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.22.(10分)已知橢圓:,不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于,兩點.(Ⅰ)若線段的中點坐標為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過點,點滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
設切點為,則,由于直線經過點,可得切線的斜率,再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率,建立關于的方程,從而可求方程.【詳解】若直線與曲線切于點,則,又∵,∴,∴,解得,,∴過點與曲線相切的直線方程為或,故選C.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率,求解曲線的切線的方程,其中解答中熟記利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.2、D【解析】
根據(jù)集合的基本運算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算,屬于基礎題.3、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點睛:本題主要考查利用橢圓的簡單性質及橢圓的定義.求解與橢圓性質有關的問題時要結合圖形進行分析,既使不畫出圖形,思考時也要聯(lián)想到圖形,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關系,挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.4、B【解析】
過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎題.5、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選:A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.6、B【解析】
根據(jù)高階等差數(shù)列的定義,求得等差數(shù)列的通項公式和前項和,利用累加法求得數(shù)列的通項公式,進而求得.【詳解】依題意:1,4,8,14,23,36,54,……兩兩作差得:3,4,6,9,13,18,……兩兩作差得:1,2,3,4,5,……設該數(shù)列為,令,設的前項和為,又令,設的前項和為.易,,進而得,所以,則,所以,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用,考查累加法求數(shù)列的通項公式,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.7、C【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性比較、、三個數(shù)與和的大小關系,進而可得出、、三個數(shù)的大小關系.【詳解】對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則,即;指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則;指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù),則.綜上所述,.故選:C.【點睛】本題考查指數(shù)冪與對數(shù)式的大小比較,一般利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性結合中間值法來比較,考查推理能力,屬于基礎題.8、B【解析】
利用復數(shù)除法、加法運算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點睛】本小題主要考查復數(shù)的除法運算、加法運算,考查復數(shù)的模,屬于基礎題.9、A【解析】
先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復合命題的真假,可得出選項.【詳解】已知對于命題,由得,所以命題為假命題;關于命題,函數(shù),當時,,當即時,取等號,當時,函數(shù)沒有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個數(shù)為1個.故選:A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應用,以及復合命題的真假的判斷,注意運用基本不等式時,滿足所需的條件,屬于基礎題.10、B【解析】
由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當時,有最大值,當時,有最小值.故選:B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎題.11、D【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為:08,02,14,07,01,所以第5個個體是01,選D.考點:此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法,考查學習能力和運用能力.12、A【解析】
利用逐一驗證的方法進行求解.【詳解】若甲預測正確,則乙、丙預測錯誤,則甲比乙成績高,丙比乙成績低,故3人成績由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預測正確,則丙預測也正確,不符合題意;若丙預測正確,則甲必預測錯誤,丙比乙的成績高,乙比甲成績高,即丙比甲,乙成績都高,即乙預測正確,不符合題意,故選A.【點睛】本題將數(shù)學知識與時政結合,主要考查推理判斷能力.題目有一定難度,注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由數(shù)量積的運算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題關鍵.14、【解析】
利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式,求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中,所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C·3=15,故填15.【點睛】本題主要考查了二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質,二項式展開式的通項公式,屬于中檔題.15、①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一點到平面的距離相等,所以判斷命題①;②由已知得出點P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質或三垂線定理,可判斷命題②;③當為中點時,以點D為坐標原點,建立空間直角系,如下圖所示,運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;④過作平面交于點,做點關于面對稱的點,使得點在平面內,根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短,可求得當點在點時,在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵,∴平面
,所以上任意一點到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
②在直線上運動時,點P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;③當為中點時,以點D為坐標原點,建立空間直角系,如下圖所示,設正方體的棱長為2.則:,,所以,設面的法向量為,則,即,令,則,設面的法向量為,,即,,由圖示可知,二面角是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以③不正確;④過作平面交于點,做點關于面對稱的點,使得點在平面內,則,所以,當點在點時,在一條直線上,取得最小值.因為正方體的棱長為2,所以設點的坐標為,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.【點睛】本題考查空間里的線線,線面,面面關系,幾何體的體積,在求解空間里的兩線段的和的最小值,仍可以運用對稱的思想,兩點之間線段最短進行求解,屬于難度題.16、【解析】
將其轉化為幾何意義,然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得,又實數(shù),圖形為圓,如圖:,可得,則由幾何意義得,則,為求最大值則當過點或點時取最小值,可得所以的最大值是【點睛】本題考查了二元最值問題,將其轉化為幾何意義,得到圓的方程及斜率問題,對要求的二元二次表達式進行化簡,然后求出最值問題,本題有一定難度。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】
利用極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因為,所以,所以曲線的直角坐標方程為.由,得,所以曲線的普通方程為.由,得,所以(舍),所以,所以曲線的交點坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程,參數(shù)方程與普通方程間的互化,考查學生的計算能力,是一道容易題.18、(1)(2)k1+k2為定值0,見解析【解析】
(1)利用已知條件直接求解,得到橢圓的方程;(2)設直線在軸上的截距為,推出直線方程,然后將直線與橢圓聯(lián)立,設,利用韋達定理求出,然后化簡求解即可.【詳解】(1)由橢圓過點(0,),則,又a+b=3,所以,故橢圓的方程為;(2),證明如下:設直線在軸上的截距為,所以直線的方程為:,由得:,由得,設,則,所以,又,所以,故.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求解,直線與橢圓的位置關系的綜合應用,考查了方程的思想,轉化與化歸的思想,考查了學生的運算求解能力.19、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)利用零點分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標因式分解,結合(1)的結論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因為,所以,,所以,所以.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法,考查不等式的證明,屬于基礎題.20、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】
(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標方程,易得曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),可得C2的直角坐標方程;(Ⅱ)設M(3cosφ,sinφ),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍,結合圓的知識可得答案.【詳解】(1)消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2=1,∵曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓,曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),∴C2的直角坐標方程為x2+(y﹣2)2=1;(2)設M(3cosφ,sinφ),則|MC2|,∵﹣1≤sinφ≤
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