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2025屆云南省玉第一中數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知兩條異面直線的方向向量分別是,,則這兩條異面直線所成的角滿足()A. B.C. D.2.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,為上一點(diǎn)且在第一象限,以為圓心,為半徑的圓交的準(zhǔn)線于,兩點(diǎn),且,,三點(diǎn)共線,則()A.2 B.4C.6 D.83.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,過(guò)作直線與C及其漸近線分別交于Q,P兩點(diǎn),且Q為的中點(diǎn).若等腰三角形的底邊的長(zhǎng)等于C的半焦距.則C的離心率為()A. B.C. D.4.已知拋物線:,焦點(diǎn)為,若過(guò)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7,則長(zhǎng)為A.3 B.4C.7 D.105.圓()上點(diǎn)到直線的最小距離為1,則A.4 B.3C.2 D.16.已知數(shù)列滿足,,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)于任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A. B.C. D.7.設(shè)函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A. B.C. D.8.空間直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)t點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.C. D.9.過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為()A B.C. D.10.已知數(shù)列為等差數(shù)列,若,則()A.1 B.2C.3 D.411.如圖,四面體-,是底面△的重心,,則()A B.C. D.12.在等差數(shù)列中,,,則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n=()A.2021 B.2022C.4041 D.4042二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上(含100分,滿分150分)的學(xué)生成績(jī),將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖.若共抽取了100名學(xué)生的成績(jī),則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為_(kāi)__________14.若某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是__________15.關(guān)于曲線C:1,有如下結(jié)論:①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②曲線C關(guān)于直線x±y=0對(duì)稱;③曲線C是封閉圖形,且封閉圖形的面積大于2π;④曲線C不是封閉圖形,且它與圓x2+y2=2無(wú)公共點(diǎn);⑤曲線C與曲線D:|x|+|y|=2有4個(gè)公共點(diǎn),這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____16.某天上午只排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育三節(jié)課,則體育不排在第一節(jié)課的概率為_(kāi)________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線的準(zhǔn)線方程是,直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)(1)求拋物線的方程;(2)求弦長(zhǎng);(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:18.(12分)已知是公差不為零的等差數(shù)列,,且,,成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和19.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,O為底面正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),E為PD的中點(diǎn),且PA=AD.(1)求證:PB∥平面EAC;(2)求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.20.(12分)如圖甲,平面圖形中,,沿將折起,使點(diǎn)到點(diǎn)的位置,如圖乙,使.(1)求證:平面平面;(2)若點(diǎn)滿足,求點(diǎn)到直線的距離.21.(12分)已知數(shù)列滿足,,設(shè).(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且雙曲線C過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn),是否存在直線AB,使得成立,若存在,求出直線AB的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解【詳解】解:兩條異面直線的方向向量分別是,,這兩條異面直線所成的角滿足:,,故選:D2、B【解析】根據(jù),,三點(diǎn)共線,結(jié)合點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,得到,再利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示:∵,,三點(diǎn)共線,∴是圓的直徑,∴,軸,又為的中點(diǎn),且點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,∴,由拋物線的定義可得,故選:B.3、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得,再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程,解得離心率.【詳解】連接,由為等腰三角形且Q為的中點(diǎn),得,由知.由雙曲線的定義知,在中,,(負(fù)值舍去)故選:C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】利用拋物線的定義,把的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的和得解【詳解】解:拋物線:,焦點(diǎn)為,過(guò)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),、到拋物線準(zhǔn)線的距離分別為3、7,則故選D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5、A【解析】根據(jù)題意可得,圓心到直線的距離等于,即,求得,所以A選項(xiàng)是正確的.【點(diǎn)睛】判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法:(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.上述方法中常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問(wèn)題6、C【解析】由已知得,根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,由此求得,然后利用裂項(xiàng)求和法求得,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解:依題意,當(dāng)時(shí),,則,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,,即,所以,所以,所以的取值范圍是.故選:C.7、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由,得,所以切線的斜率為,所以切線方程為,即,故選:A8、D【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱性可得關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,故選:D.9、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為,再代點(diǎn)解方程即得解.【詳解】解:由得,所以橢圓的焦點(diǎn)為.設(shè)雙曲線的方程為,因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn),所以.所以雙曲線的方程為.故選:D10、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知:.故選:D11、B【解析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算推出,進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,故選:B12、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得,,再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、,即可確定答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且,,所以,,.故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1,可得a值,根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率,即可得答案.【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖中所以小矩形面積和為1,所以,解得,所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為:3014、1【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體,從而可求其體積.【詳解】據(jù)三視圖分析知,該幾何體為直三棱柱,且底面為直角邊為1的等腰直角三角形,高為2,所以其體積故答案為:115、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì),對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷①②;求出可判斷③;聯(lián)立方程,解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①,將方程中的x換為﹣x,y換為﹣y,方程不變,曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故①正確;對(duì)于②,將方程中的x換為﹣y,把y換成﹣x,方程不變,曲線C關(guān)于直線x±y=0對(duì)稱,故②正確;對(duì)于③,由方程得,故曲線C不是封閉圖形,故③錯(cuò)誤;對(duì)于④,曲線C:,不是封閉圖形,聯(lián)立整理可得:,方程無(wú)解,故④正確;對(duì)于⑤,曲線C與曲線D:由于,解得,根據(jù)對(duì)稱性,可得公共點(diǎn)為,故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn),這4點(diǎn)構(gòu)成正方形,故⑤正確故答案為:416、【解析】寫出語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、體育的所有可能排列,找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況,利用概率公式計(jì)算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下:(語(yǔ)文,數(shù)學(xué),體育);(語(yǔ)文,體育,數(shù)學(xué));(數(shù)學(xué),語(yǔ)文,體育):(數(shù)學(xué),體育,語(yǔ)文);(體育,語(yǔ)文,數(shù)學(xué));(體育,數(shù)學(xué),語(yǔ)文),其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種,則體育不排在第一節(jié)課的概率三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2);(3)詳見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程求解;(2)由直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用弦長(zhǎng)公式求解;(3)結(jié)合韋達(dá)定理,利用數(shù)量積運(yùn)算證明;【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程是,所以,解得,所以拋物線的方程是;【小問(wèn)2詳解】由,得,設(shè),則,所以;【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?,,,所以,?18、(1);(2)【解析】(1)由等差數(shù)列以及等比中項(xiàng)的公式代入聯(lián)立求解出,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案;(2)利用分組求和法,根據(jù)求和公式分別求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和再相加即可.【詳解】(1)由題意,,,即,聯(lián)立解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;(2)由(1)得,,所以【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列前項(xiàng)和的求和方法:分組求和法:兩個(gè)數(shù)列等差或者等比數(shù)列相加時(shí)利用分組求和法計(jì)算;裂項(xiàng)相加法:數(shù)列的通項(xiàng)公式為分式時(shí)可考慮裂項(xiàng)相消法求和;錯(cuò)位相減法:等差乘以等比數(shù)列的情況利用錯(cuò)位相減法求和.19、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)利用線面平行的判斷定理,證明線線平行,即可證明;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,求平面的法向量,利用公式,即可求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)EO,由題意可得O為BD的中點(diǎn),又E是PD的中點(diǎn),∴PB∥EO,又∵EO平面EAC,PB平面EAC,∴PB∥平面EAC;【小問(wèn)2詳解】如圖,以A為原點(diǎn),AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴=(-2,2,0),=(0,1,1),=(2,2,0),設(shè)平面EAC的法向量為=(x,y,z),則,即,即,令y=1得x=-1,z=-1,∴平面EAC的一個(gè)法向量為=(-1,1,-1),∴設(shè)直線BD與平面EAC所成的角為θ,則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)利用給定條件可得平面,再證即可證得平面推理作答.(2)由(1)得EA,EB,EG兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,先求出向量在向量上的投影的長(zhǎng),然后由勾股定理可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t,且,又,平面,因此,平面,即有平面,平面,則,而,則四邊形為等腰梯形,又,則有,于是有,則,即,,平面,因此,平面,而平面,所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】由(1)知,EA,EB,EG兩兩垂直,以點(diǎn)E為原點(diǎn),射線EA,EB,EG分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,因,四邊形是矩形,則,即,,,由,則則則向量在向量上的投影的長(zhǎng)為又,所以點(diǎn)到直線的距離21、(1)證明見(jiàn)解析,;(2).【解析】(1)計(jì)算可得出,根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用錯(cuò)位相減法可求得.【小問(wèn)1詳解】證明:對(duì)任意的,,則,則,因?yàn)?,則,,,以此類推可知,對(duì)任意的,,所以,,所以,數(shù)列是等比數(shù)列,且該數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,所以,,則.【小問(wèn)2詳解】解:
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