2025屆安徽省太和縣民族中學高一數學第一學期期末調研模擬試題含解析

2025屆安徽省太和縣民族中學高一數學第一學期期末調研模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數（，且）的圖象恒過定點，且點在角的終邊上，則（）A. B.C. D.2．函數的值域是A. B.C. D.3．若函數，則（）A. B.C. D.4．中國茶文化博大精深，某同學在茶藝選修課中了解到，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，某種綠茶用80℃左右的水泡制可使茶湯清澈明亮，營養(yǎng)也較少破壞.為了方便控制水溫，該同學聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：如果物體的初始溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，則經過分鐘后物體的溫度℃將滿足，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數.該同學通過多次測量平均值的方法得到初始溫度為100℃的水在20℃的室溫中，12分鐘以后溫度下降到50℃.則在上述條件下，℃的水應大約冷卻()分鐘沖泡該綠茶(參考數據：，)A.3 B.3.6C.4 D.4.85．四邊形中，，且，則四邊形是（）A.平行四邊形 B.菱形C.矩形 D.正方形6．若在是減函數，則的最大值是A. B.C. D.7．已知函數(其中)的圖象如圖所示，則函數的圖像是（）A. B.C. D.8．方程的所有實數根組成的集合為（）A. B.C. D.9．若偶函數在區(qū)間上是減函數，是銳角三角形的兩個內角，且，則下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.10．已知,且在區(qū)間有最大值,無最小值,則＝()A B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對弧長為____12．已知，則的值是________，的值是________.13．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環(huán)保，至今還在農業(yè)生產中得到使用.明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），以筒車轉輪的中心為原點，過點的水平直線為軸建立如圖直角坐標系.已知一個半徑為1.6m的筒車按逆時針方向每30s勻速旋轉一周，到水面的距離為0.8m.規(guī)定：盛水筒對應的點從水中浮現(xiàn)（時的位置）時開始計算時間，且設盛水筒從點運動到點時所經過的時間為（單位：s），且此時點距離水面的高度為（單位：m）（在水面下則為負數），則關于的函數關系式為___________，在水輪轉動的任意一圈內，點距水面的高度不低于1.6m的時長為___________s.14．已知函數，則無論取何值，圖象恒過的定點坐標______；若在上單調遞減，則實數的取值范圍是______15．已知集合，集合，則________16．寫出一個同時具有下列三個性質的函數：___________.①函數為指數函數；②單調遞增；③.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.18．如圖，已知圓M過點P(10，4)，且與直線4x＋3y－20＝0相切于點A(2，4)（1）求圓M的標準方程；（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且,求直線l的方程；19．某城市2021年12月8日的空氣質量指數（AirQualityInex，簡稱AQI）與時間（單位：小時）的關系滿足下圖連續(xù)曲線，并測得當天AQI的最大值為103．當時，曲線是二次函數圖象的一部分；當時，曲線是函數（且）圖象的一部分，根據規(guī)定，空氣質量指數AQI的值大于或等于100時，空氣就屬于污染狀態(tài)（1）求函數的解析式；（2）該城市2021年12月8日這一天哪個時間段空氣屬于污染狀態(tài)？并說明理由20．如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2，0)，AB邊所在直線的方程為x－3y－6＝0，點T(－1，1)在AD邊所在直線上．求：(1)AD邊所在直線的方程；(2)DC邊所在直線的方程21．已知，，且.（1）求實數a的值；（2）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據對數型函數恒過定點得到定點，再根據點在角的終邊上，由三角函數的定義得，即可得到答案.【詳解】由于函數（，且）的圖象恒過定點，則，點，點在角的終邊上，.故選：D.2、A【解析】由，知，解得令，則.，即為和兩函數圖象有交點，作出函數圖象，如圖所示：由圖可知，當直線和半圓相切時最小，當直線過點A(4,0)時，最大.當直線和半圓相切時，，解得，由圖可知.當直線過點A(4,0)時，，解得.所以，即.故選A.3、C【解析】應用換元法求函數解析式即可.【詳解】令，則，所以，即.故選：C4、B【解析】根據題意求出k的值，再將θ＝80℃，＝100℃，＝20℃代入即可求得t的值.【詳解】由題可知：，沖泡綠茶時水溫為80℃，故.故選：B.5、C【解析】由于，故四邊形是平行四邊形，根據向量加法和減法的幾何意義可知，該平行四邊形的對角線相等，故為矩形.6、A【解析】因為，所以由得因此，從而的最大值為，故選：A.7、A【解析】根據二次函數圖象上特殊點的正負性，結合指數型函數的性質進行判斷即可.【詳解】由圖象可知：，因為，所以由可得：，由可得：，由可得：，因此有，所以函數是減函數，，所以選項A符合，故選：A8、C【解析】首先求出方程的解，再根據集合的表示方法判斷即可；【詳解】解：由，解得或，所以方程的所有實數根組成的集合為；故選：C9、C【解析】根據，可得，根據的單調性，即可求得結果.【詳解】因為是銳角三角形的兩個內角，故可得，即，又因為，故可得；是偶函數，且在單調遞減，故可得在單調遞增，故.故選：C.【點睛】本題考查由函數奇偶性判斷函數的單調性，涉及余弦函數的單調性，屬綜合中檔題.10、C【解析】結合題中所給函數的解析式可得：直線為的一條對稱軸，∴，∴，又，∴當k=1時,.本題選擇C選項.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】解直角三角形AOC，求出半徑AO，代入弧長公式求出弧長的值解：如圖：設∠AOB=2，AB=2，過點0作OC⊥AB，C為垂足，并延長OC交于D，則∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1Rt△AOC中，r=AO==，從而弧長為α×r=2×=，故答案為考點：弧長公式12、①.②.【解析】將化為可得值，通過兩角和的正切公式可得的值.【詳解】因為，所以；，故答案為：，.13、①.②.10【解析】根據給定信息，求出以Ox為始邊，OP為終邊的角，求出點P的縱坐標即可列出函數關系，再解不等式作答.【詳解】依題意，點到x軸距離為0.8m，而，則，從點經s運動到點所轉過的角為，因此，以Ox為始邊，OP為終邊的角為，點P的縱坐標為，于是得點距離水面的高度，由得：，而，即，解得，對于k的每個取值，，所以關于的函數關系式為，水輪轉動的任意一圈內，點距水面的高度不低于1.6m的時長為10s.故答案為：；10【點睛】關鍵點睛：涉及三角函數實際應用問題，探求動點坐標，找出該點所在射線為終邊對應的角是關鍵，特別注意，始邊是x軸非負半軸.14、①.②.【解析】計算的值，可得出定點坐標；分析可知，對任意的，，利用參變量分離法可求得，分、、三種情況討論，分析函數在上的單調性，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】因為，故函數圖象恒過的定點坐標為；由題意可知，對任意的，，則，因為函數在上單調遞增，且當時，，所以，.當時，在上為減函數，函數為增函數，所以，函數、在上均為減函數，此時，函數在上為減函數，合乎題意；當且時，，不合乎題意；當時，在上為增函數，函數為增函數，函數、在上均為增函數，此時，函數在上為增函數，不合乎題意.綜上所述，若在上單調遞減，.故答案為：；.15、【解析】由交集定義計算【詳解】由題意故答案為：16、（答案不唯一）【解析】根據給定條件①可得函數的解析式，再利用另兩個條件判斷作答.【詳解】因函數是指數函數，則令，且，于是得，由于單調遞增，則，又，解得，取，所以.故答案為：（答案不唯一）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接BD，根據線面平行的判定定理只需證明EF∥PD即可；（2）利用線面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即證【小問1詳解】如圖，連結，則是的中點，又是的中點，∴，又∵平面，面，∴平面；【小問2詳解】∵底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴，又，∴面，又平面，故平面平面.18、（1）（2）2x－y+5＝0或2x－y－15＝0.【解析】（1）由題意得到圓心M(6，7)，半徑，進而得到圓的方程；（2）直線l∥OA，所以直線l的斜率為，根據點線距和垂徑定理得到解得m=5或m=-15，進而得到方程.解析：(1)過點A(2，4)且與直線4x＋3y－20＝0垂直的直線方程為3x－4y＋10＝0①AP的垂直平分線方程為x＝6②由①②聯(lián)立得圓心M(6，7)，半徑圓M的方程為(2)因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為.設直線l的方程為y＝2x+m，即2x－y+m＝0則圓心M到直線l的距離因為而所以，解得m=5或m=-15.故直線l的方程為2x－y+5＝0或2x－y－15＝0.19、（1）（2）當天在這個時間段，該城市的空氣處于污染狀態(tài)，理由見解析【解析】（1）先用待定系數法求得時的解析式，再算得當時的函數值，再由待定系數法可得時的解析式；（2）根據，分段解不等式即可.【小問1詳解】當時，，將代入得，∵時，，∴由的圖象是一條連續(xù)曲線可知，點在的圖象上，當時，設，將代入得，∴【小問2詳解】由題意可知，空氣屬于污染狀態(tài)時，∴或，∴或，∴，∴當天在這個時間段，該城市的空氣處于污染狀態(tài)20、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由AD與AB垂直，求得AD的斜率，再由點斜式求得其直線方程；（2）根據矩形特點可以設DC的直線方程為，然后由點到直線的距離得出，就可以求出m的值，即可求出結果.詳解：(1)由題意：ABCD為矩形，則AB⊥AD，又AB邊所在的直線方程為：x－3y－6＝0，所以AD所在直線的斜率kAD＝－3，而點T(－1，1)在直線AD上所以AD邊所在直線的方程為：3x＋y＋2＝0.(2)方法一：由ABCD為矩形可得，AB∥DC，所以設直線CD的方程為x－3y＋m＝0.由矩形性質可知點M到AB、CD的距離相等所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)所以DC邊所在的直線方程為x－3y＋2＝0.方法二：方程x－3y－6＝0與方程3x＋y＋2＝0聯(lián)立得A（0，-2），關于M的對稱點C（4，2）因AB∥DC，所以DC邊所在的直線方程為x－3y＋2＝0.點睛：本題主要考查直線方程的求法，在求直線方程時，應先選擇適當的直線方程的形式，并注意各種形式的適用條件．