吉林省舒蘭市一中2025屆數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

吉林省舒蘭市一中2025屆數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里2.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.3.已知全集,集合,則=()A. B.C. D.4.已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a=()A.-1 B.1 C.0 D.25.秦九韶是我國南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入、的值分別為、,則輸出的值為()A. B. C. D.6.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.8.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.49.為計(jì)算,設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖,則空白框中應(yīng)填入()A. B. C. D.10.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.611.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.12.若函數(shù)有且只有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,且,則_________.14.已知函數(shù),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.15.若x,y滿足,且y≥?1,則3x+y的最大值_____16.已知數(shù)列滿足對(duì)任意,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若數(shù)列為等比數(shù)列,求數(shù)列的公比的值;(2)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;②求證:.18.(12分)如圖在四邊形中,,,為中點(diǎn),.(1)求;(2)若,求面積的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為().(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點(diǎn),求的值.20.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)求證:;(2)求二面角的大?。?1.(12分)設(shè)橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.22.(10分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點(diǎn),且離心率為,設(shè)分別是為橢圓的上下頂點(diǎn)(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng)弦的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)(含邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角,再結(jié)合AB可求,應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用,關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系,利用正余弦定理求解.屬于中檔題.2、D【解析】

依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.3、D【解析】

先計(jì)算集合,再計(jì)算,最后計(jì)算.【詳解】解:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交,補(bǔ)混合運(yùn)算,注意分清集合間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù),故a-1=0故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、B【解析】

列出循環(huán)的每一步,由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得:輸入,,,;第一次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán),,,,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán),,,,跳出循環(huán);輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值,一般要列舉出算法的每一步,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

討論當(dāng)時(shí),是否恒成立;討論當(dāng)恒成立時(shí),是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,由開口向上,則恒成立;當(dāng)恒成立時(shí),若,則不恒成立,不符合題意,若時(shí),要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對(duì)于探究兩個(gè)命題的關(guān)系時(shí),一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.7、A【解析】

根據(jù)雙曲線的焦距是虛軸長的2倍,可得出,結(jié)合,得出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解:由雙曲線可知,焦點(diǎn)在軸上,則雙曲線的漸近線方程為:,由于焦距是虛軸長的2倍,可得:,∴,即:,,所以雙曲線的漸近線方程為:.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),以及雙曲線的漸近線方程.8、D【解析】

先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.9、A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容.【詳解】由程序框圖的運(yùn)行,可得:S=0,i=0滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=1,S=1,i=1滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…觀察規(guī)律可知:滿足判斷框內(nèi)的條件,執(zhí)行循環(huán)體,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此時(shí),應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件,退出循環(huán),輸出S的值,所以判斷框中的條件應(yīng)是i<1.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行,滿足條件執(zhí)行循環(huán),不滿足條件時(shí)算法結(jié)束,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.12、B【解析】

由是偶函數(shù),則只需在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)即可.【詳解】解:顯然是偶函數(shù)所以只需時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn)即可令,則令,遞減,且遞增,且時(shí),有且只有2個(gè)零點(diǎn),只需故選:B【點(diǎn)睛】考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用以及根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍,基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.14、【解析】

函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象如下圖所示:由圖象可知:實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.15、5.【解析】

由約束條件作出可行域,令z=3x+y,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取最大值5.故答案為:5【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.16、【解析】

利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由題,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)①;②詳見解析.【解析】

(1)依題意可表示,,相減得,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比,解得答案,并由其都是正項(xiàng)數(shù)列舍根;(2)①由題意可表示,,兩式相減得,由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案;②由已知關(guān)系,表示并相減即可表示遞推關(guān)系,顯然當(dāng)時(shí),成立,當(dāng),時(shí),表示,由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解:(1)依題意可得,,兩式相減,得,所以,因?yàn)?,所以,且,解?(2)①因?yàn)?,所以,兩式相減,得,即.因?yàn)?,所以,?而當(dāng)時(shí),,可得,故,所以對(duì)任意的正整數(shù)都成立,所以數(shù)列是等差數(shù)列,公差為1,首項(xiàng)為1,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②因?yàn)椋?,兩式相減,得,即,所以對(duì)任意的正整數(shù),都有.令,而當(dāng)時(shí),顯然成立,所以當(dāng),時(shí),,所以,即,所以,得證.【點(diǎn)睛】本題考查由前n項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比,求等差數(shù)列通項(xiàng)公式,還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮證明不等式,屬于難題.18、(1)1;(2)【解析】

(1),在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出,運(yùn)用算兩次的思想即可求得,進(jìn)而求出;(2)在中,根據(jù)余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,求出的面積的最大值.【詳解】(1)由題設(shè),則在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,∴所以面積的最大值為,此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達(dá)定理,,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)?,,代入得,所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,難度一般.20、(1)證明見解析;(2)60°.【解析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計(jì)算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計(jì)算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結(jié)PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),=(1,0,),=(0,,).設(shè)平面PBE的法向量,令,得.DE平面PAB,平面PAB的法向量為.設(shè)二面角的大小為,由圖知,,所以即二面角的大小為.21、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因?yàn)闄E圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩

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