集合間的基本關系（解析版）-2021年初升高數(shù)學無憂銜接（人教A版2019）

專題16集合間的基本關系

“打目標

1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.

2.在具體情境中，了解空集的含義

3.能使用Venn圖表達集合間的基本關系，體會圖形對理解抽象概念的作用

知積福講

高中必備知識點1：Venn圖的優(yōu)點及其表示

(1)優(yōu)點：形象直觀.

(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.

高中必備知識點2：子集、真子集、集合相等的相關概念

［知識點撥］(1)”A是8的子集”的含義：集合4中的任何一個元素都是集合8的元素，即有任意xdA能

推出

(2)不能把“AUB”理解為“A是8中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.

(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B,或集合B不包含集合A.

(4)對于集合A,B,C,若AU8,BUC,則AUC；任何集合都不是它本身的真子集.

(5)若AUB,且4r8,則4。8.

高中必備知識點3：空集

(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為。.

(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.

高中必備知識點4：集合間關系的性質(zhì)

(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AMA.

⑵對于集合A，B,C,

①若ANB,且8UC,則AUC；

②若AUB,BUC,則AUC.

⑶若AUB,AW8,則AUB.

典例制析

高中必會題型1：確定集合的子集、真子集

1.(1)已知集合M滿足{1,2氾怵{1,2,3,4.5),寫出集合M所有可能情況.

(2)已知非空集合M3{1,2,3,4,5},且當al2M時，有6-al3M,試求M所有可能的結果.

【答案】(1){1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,

2,3,4,5}；(2){3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.

(1)因為{1,2}c/W,所以2GM,

又因為2,3,4,5},

所以M是含有1，2的{1,2,3,4,5}的子集，

故M的所有可能情況是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,

5},{1,2,3,4,5}共8個.

(2)若M只含1個元素，則M={3}；

若M只含2個元素，則乂={1,5},{2,4}；

若M只含3個元素，則乂={1,3,5},{2,3,4}；

若M只含4個元素，則M={1,2,4,5}；

若M含5個元素，則乂={1,2,3,4,5).

所以M可能的結果為：{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7

個.

2.寫出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

【答案】見解析

集合{0,1,2}的所有子集為0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.

真子集為0,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.

3.已知A={a,Z?,c},則求：

（1）集合A的子集的個數(shù)，并判斷0與集合A的關系

（2）請寫出集合4的所有非空真子集

【答案】（1）8,0A（2）[a],,{c},{a,b},{a,c},{b,c}

（1）A={a,"c}的子集有0,{a},仍},{c},{a,。},{a,c},{b,c},{a,0,c}共8個，

其中0A.

（2）集合4的所有非空真子集有{a},仍},{c},{a,b},{a,c},{b,c}.

4.（1）寫出集合{a,b,c,d}的所有子集；

（2）若一個集合有"（慮N）個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？

【答案】（1）見解析；（2）有2"個子集，2"-1個真子集.

（1）集合{a,"c,d}的所有子集有:0、{a}、{"}、{c}、prqoxvu、{a,b},{a,c}、{a,d}、{“c}、{瓦d}、

{c,d}、{a,0,c}、[a,b,d}s{a,c,。}、{b,c,d],[a,b,c,d]；

（2）若一個集合有"（nGN）個元素，則它有2"個子集，2”—1個真子集.

5.舉出下列各集合的一個子集：

（1）A={x|x是立德中學的學生};

（2）8={X|X是三角形};

（3）C={0}:

(4)D={xeZ|3cx<30}.

【答案】（1）{x|x是立德中學的女生}

（2）{x|尤是直角三角形}

（3）{0}

（4）{4,5,6}

（1）{x|x是立德中學的女生}

（2）{x|x是直角三角形}

（3）{0}

（4）{4,5,6）

高中必會題型2：集合間關系的判斷

1.判斷下列集合間的關系：

(l)4={x|x-3>2},8={x|2x-520}；

(2)/\={x0Z|-l<x<3}(B={x\x=\y\,ySA}.

【答案】⑴A?8(2)8?A

(1)V4={x|x—3>2}={x|x>5},

5

B={x|2x-5>0}={x|x>-},

2

二利用數(shù)軸判斷4、8的關系.

如圖所示，A?B.

*

(2)V4={xSZ|-l<x<3}={—1,0,1,2},8={x|x=|y|,yj,..8={0,1,2}>：.B^A.

2.判斷下列各組中集合之間的關系：

(1)A={x|x是12的約數(shù)},B={x|x是36的約數(shù)};

(2)A={x|x是平行四邊形},B={x|x是菱形},C={x|x是四邊形},D={x|x是正方形};

(3)A={x|-l<x<4},8={x|x<5}.

【答案】(1)A08；(2)D08040C：(3)施B.

(1)因為若x是12的約數(shù)，則必定是36的約數(shù)，反之不成立，所以A回B.

(2)由圖形的特點可畫出論cn圖如圖所示，從而D0BEW0C.

(3)易知A中的元素都是8中的元素，但存在元素，如一2GB,但一2胡，故A0B.

3.指出下列集合之間的關系：

A={(x,y)ly=x-l,xeN},B={(x,y)|y=x_l,xeR}.

【答案】AB

集合4={(羽>)|丁=%-1,尤61^}表示的是直線>=》—1上的一些孤立的點的集合，

而集合B={(x,y)ly=x-l,xeR}發(fā)示的是直線y=x-l上所有的點的集合，

因此AB.

4.寫出下列每對集合之間的關系：

(1)A={1,2,3,4,5},5={1,3,5);

(2)C={x}x2-i},D={x||%|=1}；

(3)E=(?,3),F=(-l,2］；

(4)G={x|x是對角線相等且互相平分的四邊形},"={x|x是有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形}.

【答案】(1)BA;(2)C=r>:(3)FE;(4)G=H.

(1)因為B的每個元素都屬于A,而4GA且4走B,所以8A.

(2)不難看出，C和D包含的元素都是1和—1，所以C=O.

(3)在數(shù)軸上表示出區(qū)間E和F,如圖所示.

-3-2-10123x

由圖可知尸E.

(4)如果xwG,則x是對角線相等且互相平分的四邊形，所以x是矩形，從而可知x是有一個內(nèi)角為直

角的平行四邊形，所以％€"，因此G=".

反之，如果xeH,則x是有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形，所以x是矩形，從而可知是x對角線相等且互

相平分的四邊形，所以xeG，因此

綜上可知，G=H.

5.已知集合4={.1夕=\/。2+々+]_Ja2_a+],ae"},集合8=2,〃eR},試判斷A與3

之間的關系，并說明理由.

【答案】A是8的真子集.，理由見解析

因為p=\Ja2+a+l-yja2-6(+l

1/Q

則P的幾何意義是X軸上的點尸(a,0)到定點A與點B的距離之差.即〃=~4一尸3.

[22J

?.?三角形兩邊之差的絕對值小于第三邊,

，|PA-PB|<AB且尸，A，8三點不共線，即IpKL

/.-1<p<1.即A={p]-1<〃<1}；

又5={p||p|融,peH}={p|-2Wp2}.

：.A是B的真子集.

高中必會題型3：由集合間的關系求參數(shù)問題

1.設集合A={x|a—l<x<2a,aeR},不等式f一2%一8<()的解集為8.

(1)當a=0時，求集合A,B.

(2)當A=8時，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)A={x|-1<x<0},8={x|-2<x<4}；(2)[a\a<2\.

(1)解：當a=0時，A={x|-l<x<0},

解不等式￡_2%_8<0得：-2<x<4,B|JB={x|-2<x<4}.

(2)解：若Aa3，則有：

①力=0,即2aWa—l,即aW—l,符合題意，

2a>a-{

②有<4—12—2,解得：—1<。42.

2a<4

綜合①②得：?42}.

2.設集合A={xe+4x=o},7?|x2+2(?+l)x+6!2-1=0,67e,若B=A,求實數(shù)a

的值.

【答案】O<—1或a=l.

?；A={0,—4},BQA,于是可分為以下幾種情況.

(1)當A=B時，8={0,-4},

—2(。+1)=—4

.??由根與系數(shù)的關系,得《解得a=l.

a2-l=0

(2)當3WA時，又可分為兩種情況.

①當8。0時，即8={0}或8={—4},

當x=0時，有a=±l；

當x=—4時，有。=7或。=1.

又由Zl=4(o+1)2—4(o2—1)=0,

解得。=-1,此時B={0}滿足條件；

②當B=0時，Zl=4(a+l)2-4(a2-l)<0,

解得。<一1.

綜合⑴(2)知，所求實數(shù)a的取值為a<-l或a=l.

3.設集合A={x|-X2+3X+1020},8={X|X2-3ax+2a2c0},若03A,求實數(shù)a的取值范圍

【答案】[-1,|]

?集合A={x|-X2+3X+10>0}={X|-2<x<5},

B={x|x2-3ax+2a2<0}={x|(x-a)(x-2a)<0},

BQA,

當a=0時，8=0,成立;

當a<0時，8={x|2o<x<a},

2。2—2

由BQA,得，,解得

a<5

當a>0時，B={x|a<x<2a},

a>-2,解得OVaW3,

由BQA,得,

2a<52

綜上，實數(shù)。的取值范圍是［-1,I5

4.已知集合4=僅,<1或x>2},8={x|-m<x<m},若BEL4,求m的取值范圍.

【答案】m<l.

若8=0,則m<0,滿足BUA,

若8",則m>0,由8=4得mvl,解得，OVmH.

綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為mSl.

5.設4={-3,4},8={x|x2-2ax+b=O},BHEI且8aA,求a,b.

【答案】答案見解析

因為8W0,BQA,

所以8={-3}或{4}或{-3,4}.

9+6a+h=O

當8={-3}時,<△=4i=0’解得…加9；

16—8〃+b=0

當8={4}時，〈,解得。=4,6=16；

A=4仁9-4Z?=0

9+6“+。=0

當8={-3,4}時，<16—8。+〃=0,解得°二一,b=~12.

A=4/-4b>0

"對X4棟

1.若集合八二{1,3,x},B={x2'1},且則，則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

解析由BQA,知X2=3或x2=x,

解得x=±6,或x=0,或x=l,

當x=l時，集合A,8都不滿足元素的互異性，故x=l舍去.

故選：C

2.以下四個關系：甌{0},0甌，{回}1{0},0^{0},其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

集合與集合間的關系是U,因此。亡{0}錯誤；{。}表示只含有一個元素（此元素是。）的集合，所以{。}1{0}錯誤;

空集不含有任何元素，因此0G。錯誤；。［{0}正確.因此正確的只有1個.

故選：A.

3.設集合4={1,x2},B={x},且BM,則實數(shù)x為（）

A.0B.1

C.0或1D.。或-1

【答案】A

因為8UA,所以xCA,

所以x=l或x=x2,x2*l,解得x=0.

故選：A.

4.已知集合4={1,2},3={劃（％—1）（》-0）=0,。€/?卜若4=3,則。的值為（）

A.2B.1

C.-1D.-2

【答案】A

因為A=8,所以集合8為雙元素集，

即3={%|（x-1）-a）=0,a￡/?}={1,a}={1,2}

所以。=2.

故選：A.

5.下列集合與集合A={2,3}相等的是（)

A.{（2,3）}B.{（x,y）|x=2,y=3}

C.{#2_5》+6=0}D.{x=2,y=3}

【答案】c

集合A表示數(shù)字2和3的集合.

對于A：集合中的元素代表點（2,3）,與集合A不同，A錯誤；

對于B：集合中的元素代表點（2,3）,與集合A不同，B錯誤；

對于C：由一5x+6=o得：x=2或x=3,與集合A元素相同，C正確;

對于D：表示兩個代數(shù)式的集合，馬集合A不同，D錯誤.

故選：C.

6.集合A={xeN|lVx<4}的真子集的個數(shù)是（）

A.16B.8C.7D.4

【答案】C

解：???A={xeN|lWx<4}={l,2,3},

.?.A={xeN|l?x<4}的真子集為：0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7個.

故選：C.

7.設人={1,4,x},B={1,X2},若BEM,則x等于()

A.0B.-2C.。或-2D.0或±2

【答案】D

因為A={1,4,x},B={1,*2}>

若8UA,則x?=4或x?=x,解得x=2或-2或1或0.

①當x=0,集合A={1,4,0},8={1,0},滿足8UA.

②當x=L集合A={1,4,1}不滿足元素的互異性.

③當x=2,集合A={1,4,2},8={1,4},滿足BUA.

④當x=-2,集合A={1,4,-2},8={1,4},滿足8aA

綜上，x=2或-2或0.

故選：D.

8.設集合M={x|x=2n,喧Z},N={x|x=4n±2,nEIZ}.則()

A.MSNB.M0N

C.M=ND.以上都不正確

【答案】B

集合M={x|x=2n,nGZ),故集合M中的元素是2與整數(shù)的乘積的集合，

N={x|x=4n±2,n￡Z}={x|x=2(2n±l),n￡Z},

故集合N的元素是2與奇數(shù)的乘積的集合，

故N窿M,

故選:B.

9.對于兩個非空數(shù)集4、B,定義點集如下：AxB={(x,y)|曲，y0B},若4={1,3},B={2,4},則點

集AxB的非空真子集的個數(shù)是()個.

A.14B.12C.13D.11

【答案】A

'：A^B={(x,y)|xGA,yG8},且A={1,3},B={2,4},

所以A*8={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)},

共有四個元素，

則點集AxB的非空真子集的個數(shù)是：24-2=14.

故選：A.

10.設集合A={x[l<x<2},B={x|x<a},若人￡8,則。的取值范圍是()

A.{a|aN2}B.^a\a<11C.^a\a>11D.{*42}

【答案】A

A={x[l<x<2},8={尤|尤<。},由數(shù)軸表示集合，作圖如下：

A

36-----------?

12a

由圖可知aZ2,即。的取值范圍是卜,22}

故選：A

11.已知集合4={x\x2-1=()},則下列式子表示正確的有()

①leA；②{-l}eA；(3)0GT4；④

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

因為4="|爐_1=0},，A={-1,1},

對于①，IwA顯然正確；

對于②，{一l}eA,是集合與集合之間的關系，顯然用e不對；

對于③，0uA,根據(jù)空集是任何集合的子集知正確；

對于④，{1,-l}qA.根據(jù)子集的定義知正確.

故選：C.

12.已知集合4={0,1},B={-1,0,a+3},且AQB,則a等于

A.1B.0C.-2D.-3

【答案】C

【解析】

由題意得。+3=1,。=-2,選c.

13.當集合1}={c,g』}時，a=,h=,c—.

【答案】1-10

詳解：由已知|{。,0,—1}=卜,,,1},所以0e{c,：/},???「=(),,從而\=-1,即力=一1,=

故答案為1，-1,0.

14.已知4=(一8,切，8=(1,2],若B04則實數(shù)m的取值范圍為—.

【答案】[2,+8)

"：A=(-00,/n],8=(1,2],BCA,

m>2,

...實數(shù)/?的取值范圍為[2,+8).

故答案為：[2,+8）.

15.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a^R},若集合A有且僅有兩個子集，則a的值是.

【答案】0或±1

因為A有且僅有兩個子集，所以A僅有一個元素，即方程ax2+2x+a=0僅有一根，當a=0時，方程化為2x=0,

A={0}，符合題意；當*0時，4=4-4〃=0,解得。=±1.此時A={-1}或{1},符合題意.綜上所述a=0或a=±l.

故答案為：0或±1.

16.已知集合4={可依2—3工+2=0},若A=0,則實數(shù)O的取值范圍為—.

9

【答案】（—8,—].

8

22

當a=0時，方程℃2一3%+2=0化為一3%+2=0,解得x=§,此時4={]}。0,滿足題意,

,9

當時，要使Ax0,則△=（一3）2-4。義220,解得且

9

所以使AW0的實數(shù)。的取值范圍為（一8,—].

8

9

故答案為：（-°0,-]

17.已知集合4={。,瓦2},B={2,b2,2a},若A=8,求實數(shù)。，匕的值.

1

a=—

a=04

【答案】〈或v

b-\

b=-

2

a=2aa=b2

解：由己知A=6,得《（1）或《.(2)

b=h~h=2a

a=0a=0

解（1）得〈,八或<

b=06=1

a=()4

解⑵得<,八或.

b=()]_

b

2

又由集合中元素的互異性

1

ci———

〃二04

得《或I

b=\

b=-

2

18.已知A={1,1+a,l+2a},B={1,b,b2},若A=8,求a,b.

31

【答案】。=一一,b=---

42

因為A=B,則b=l+a,b2=l+2a,或b=l+2a,b2=l+a

①若b=l+a,b2=l+2a,

，(l+o)2=l+2a,

.'.a=0.

此時A中三個都是1,不符合集合元素的互異性.

②若b=l+2a,b2=l+a,

：.(l+2a)2=1+。,

/.4a2+3a=0,

由①知a=0不成立,

31

.,.a=---,b=l+2a=---

42

2

19.已知4={-l,1},8={x|x-ax+b=O}f若8M,求實數(shù)。，b的值.

【答案】。=2,b=l.或a=-2,b=l.或a=0,b=-1gKo2-4b<0.

因為8={x|x2-ax+b=0},且8UA,

①當B中有一個元素時，8={1}或8={-1}

A=(-ay-4b=0

當8={1}時，＜,解得a=2,b=l；

l-a+b=O

△=(_。)2_4)=0

當8={-1}時，＜，解得a=-2,b=l；

l+Q+b=O

F

-T

②當B中有兩個元素時，B