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文檔簡介
專題27.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】
【人教版】
【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】..........................................................2
【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】......................................................4
【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】..........................................................6
【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】..........................................................8
【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】.............................................10
【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】.......................................14
【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】................................................................19
【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】.................................................23
【題型9新定義中的相似三角形】...............................................................28
【題型10相似與函數(shù)綜合探究】.................................................................37
“印,二
——
【知識點1相似三角形的性質(zhì)】
①相似三角形的對應(yīng)角相等.
如圖,△ABCs/vnrC,則有
Z4=ZA',NB=NB',NC=NC'.
②相似三角形的對應(yīng)邊成比例.
如圖,△ABCs/WQC,則有ZA八
ABBCAC.,,工.、,1、
———k(k為相似比).(??
A'B"B'CA'C
③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線,高線和對應(yīng)角的平分線成zAA
比例,都等于相似比.
如圖,4W、47和是△ABC中BC
邊上的中線、高線和角平分線,A'M\4H'和4。是
中邊上的中線、高線和角平分線,則有BMC/rM9c*
AB-CAC9AMA//AD
A'B'_B'C_A'C-‘一A'M'~A'H'~A'D'
Lzi
④相似三角形周長的比等于相似比.zL
如圖,ZVIBCs△"B'C,則有
AB__6T_AC_AB+8C+AC_卜
A//(*/r/
A'B'~B'C~A'C'~A'B'+B'C+AC~'
⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方.
小d
如圖,△ABCs△4&C,則有
—BC,AHu
S△八"c2BCAAH/二
S4KByA.B'C-A!H'B'C'A'//'
2
【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】
【例1】(2022?湖南?永州柳子中學(xué)九年級期中)已知若國1=50。,0E=7O°,則團(tuán)產(chǎn)的度數(shù)為()
A.30°B.60°C.70°D.80°
【答案】B
【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等求出財=團(tuán)。=50。,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.
【詳解】解:0AABC-A£>EF,
BEL4=00=50°,
00F=180°-fflD-E)£=180--50°-70°=60°,
故選:B.
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),相似三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例.
【變式1-1](2022?江蘇?常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖,△ABC0AD4C,回8=31。,團(tuán)。=
117°,則(3BC£>的度數(shù)是()
A.32°B.48°C.64°D.86°
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ElD4C=?B=3r,0BAC=0D=117°,團(tuán)8cA=S4C£),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理
計算即可.
【詳解】解:^SABCWDAC,回8=31°,120=117°,
00DAC=BB=31°,0BAC=B£)=117O,135c4=0ACD,
038C£)=回BC4+B4Cr)=2(180°-31°-l:17°)=64°,
故選:C.
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
【變式1-2](2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖,在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形AABC和△EDF,則
N4BC+N4cB的度數(shù)為()
D
A
A.135°B.90°C.60°D.45°
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和等于180。,即可得出.
【詳解】解:^BABCWEDF,
^\BAC=S\DEF,
又E0DE尸=90°+45°=135°,
00BAC=135°,
團(tuán)乙4BC+乙1CB=18O。-/.BAC=180°-135°=45°.
故選:D.
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是找到相似三角形中的對應(yīng)關(guān)系.
【變式1-3](2022?云南楚雄?九年級期末)如圖,點4、B、C、D四點共線,"BC是等邊三角形,當(dāng)4P4B?ADPC
時,44Po的度數(shù)為()
A.120°B.100°C.110°D.125°
【答案】A
【分析】根據(jù)4PAB~4DPC得出=LDPC,根據(jù)4PBC是等邊三角形得出NPBC=乙BPC=60°,根據(jù)外
角的性質(zhì)得出乙4+乙4PB=4PBC=60。,可推出乙4PB+4DPC=60。,從而即可得到答案.
【詳解】?:APAB-ADPC
Z.A=乙DPC
?./P8C是等邊三角形
???LPBC=乙BPC=60°
Z.A+/.APB=乙PBC=60°
???AAPB+乙DPC=60°
£.APD=/.APB+4PBC+乙DPC=120°
故選A.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)定理是解
題的關(guān)鍵.
【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】
【例2】(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖,在EMBCD中,AB=10,AD=6,E是4。的中點,在CD上取
一點尸,使△CBFEkiABE,則DF的長是()
A.8.2B.6.4C.5D.1.8
【答案】A
【分析】E是AD的中點可求得AE,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得第=整,可得CF的長即可求解.
AEBA
【詳解】解:I3E是4D的中點,AD=6,
SAE=-AD=3,
2
X0ACBF0AABE,
.?.竺=些,即竺=2,
AEBA310
解得C尸=1.8,
DF=DC-CF=10-1.8=8.2,
故選:A.
【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì),掌握三角形相似的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.
【變式2-1](2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖,SABC^SDEF,相似比為1團(tuán)2,若BC=1,則EF的長是
BDE
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件得到警=;,即可得到EE=28C=2,問題得解.
EF2
【詳解】解:^ABC^DEF,相似比為1團(tuán)2,
度=工,
EF2
?EF=2BC=2.
故選:B
【點睛】本題考查了相似的性質(zhì),熟知相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
【變式2-2](2022?全國?九年級專題練習(xí))已知AABCs/iDEF,mABC的三邊長分別為V14,3,DEF
的其中的兩邊長分別為1和夕,則第三邊長為.
【答案】卓
【分析】先求得相似比,再列式計算求得
【詳解】設(shè)回。EF的第三邊長為x,
???△ABCsADEF且EIABC的三邊長分別為VI714,3,
回。所的其中的兩邊長分別為1和夜,
*畜/
2
00DEF的第三邊長為言
故答案為:
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),求出相似比是解題關(guān)鍵.
【變式2-3](2022?吉林?長春市赫行實驗學(xué)校二模)如圖所示,圖中x=—.
【答案】2V2
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù),由相似三角形的判定定理可判斷IlMABCsADEF,再根
據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答.
【詳解】解:TAABC中,44=45。,48=30。,
???ZC=180°-4A-NB=180°-45°-30°=105°,
Vz_E=Z-B=30°,zC=ZF,
???LABC?XDEF,
.BC_AC
??—=-,
EFDF
即2=它,
4x
X=2V2.
故答案為:2a.
【點睛】本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定及性質(zhì),比較簡單.
【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】
【例3】(2022?陜西渭南?九年級階段練習(xí))若△ABCOEF,△ABC與AOEF的面積比為25:36,則AABC
與ADE尸的對應(yīng)邊的比是()
A.5:6B.6:5C.25:36D.36:25
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方先求出0ABC與aDEF的相似比即可.
【詳解】解:皿48。,2\。后?且2\43(7與4。環(huán)的面積比為25:36
13它們的相似比為5:6.
故選:A.
【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)
鍵.
【變式3-1](2022?河南新鄉(xiāng)?九年級期末)△斐BC與△4CC,的位似比是1:2,已知△ABC的面積是3,則
△的面積是()
A.3B.6C.9D.12
【答案】D
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩個三角形的相似比,根據(jù)題意計算即可.
【詳解】解:aaABcaaAbc,相似比為i:2,
GBABC與財BC的面積比為1:4,
EEL48C的面積是3,
回0ABe的面積是12,
故選:D.
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.
【變式3-2](2022?河北石家莊?九年級期末)把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍,則它的面積擴大
為原來的倍.
【答案】9
【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出即可.
【詳解】解:團(tuán)把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍,
回面積擴大為原來的9倍,
故答案為:9.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,能正確運用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵,
注意:相似三角形的面積比等于相似比的平方,相似三角形的周長比等于相似比.
【變式3-3](2022?河南?鶴壁市淇濱中學(xué)九年級期中)如圖,在R/S4BC中,團(tuán)BAC=90。,AB=3,BC=5,
點。是線段BC上一動點,連結(jié)A。,以A。為邊作EL4OE,使她。比S45C,則的最小面積等于.
【答案】§
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4,當(dāng)AD03C時,的面積最小,根據(jù)三角形的面積公式得到AO=
竿=答=昔,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到由此三角形的面積公式即可得到結(jié)論.
DC555
【詳解】解:團(tuán)在4國48。中,團(tuán)B4C=90。,AB=3fBC=5,
MC=4,
^ADE^ABC,
—.ADAEunADAE
0—=—,即一=—
ABAC34
4
國AE=-AD
3f
2
BISAADE=^AD-AE=IAD,
13當(dāng)AQ08c時,0L4OE的面積最小,
13此時有S-8C=1AB-AC=^BC-AD
00AD£的最小面積=|x(y)2=||;
故答案為京
【點睛】本題考查了相似三角形的判定,勾股定理,垂線段最短,三角形的面積公式,正確的理解題意是
解題的關(guān)鍵.
【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】
【例4】(2022?湖南株洲?九年級期末)有一個直角三角形的邊長分別為3,4,5,另一個與它相似的直角
三角形的最小邊長為7,則另一個直角三角形的周長是()
A.—B.—C.21D.28
55
【答案】D
【分析】根據(jù)題意求出三角形的周長,根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比列式計算即可.
【詳解】解:設(shè)另一個直角三角形的周長為X,
⑦三角形的邊長分別為3,4,5,
團(tuán)周長為:3+4+5=12,
回兩個三角形相似,
2=三,
X7
解得:x=28,故D正確.
故選:D.
【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.
【變式4-1](2022?重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末)如圖是一個邊長為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò),MBC與
S4/B/G都是格點三角形(頂點在網(wǎng)格交點處),并且MBCiaaA/B/C/,則S4BC與如1/8/G的周長之比是()
A.1:2B.1:4C.2:3D.4:9
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.
【詳解】解:WABCWAiBtCi,AB=2^^=3,
豳48c與EM/B/C/的周長之比笄=
故選C.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式4-2](2022?遼寧?阜新市第四中學(xué)九年級階段練習(xí))已知△ABCs^OEF,其中4B=12,BC=6,
CA=9,DE=3,那么AOEF的周長是.
【答案】
4
【分析】根據(jù)兩個三角形相似,相似三角形的周長比等于相似比,即可解出ADE尸的周長.
【詳解】0A/1BCfDEF
13相似三角形的周長比等于相似比
肥包型=殷=王
“DEFDE3
27
團(tuán)CgEF=~
故答案為:?
4
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握:相似三角形的周長比等于相似比.
【變式4-3](2022?遼寧鞍山?二模)已知AABCs△4'B'C',且AB=2A'B'.若△4BC的周長是18cm,那
么夕C’的周長是cm.
【答案】9
【分析】利用相似三角形的周長的比等于相似比求解即可.
【詳解】解:回△ABOM'B'C',
團(tuán)△ABC的周長:△4'8'C'的周長=AB:A'B'=2:1,
?△4BC的周長是18cm,
E1A4'8'C'的周長是9cm.
故答案為:9.
【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì),用到的知識點為:相似三角形周長的比等于相似比.
【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】
【例5】(2022?北京市第一五六中學(xué)九年級期中)如圖,已知AE平分團(tuán)B4C,空=空.
⑴求證:0E=0C;
(2)若4B=9,AD=5,DC=3,求BE的長.
【答案】(1)見解析
⑵BE=y
【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得NB4E=/04C,結(jié)合已知條件得出△BAESA/MC,根據(jù)相似三角
形的性質(zhì)即可得證;
(2)根據(jù)列出比例式,代入數(shù)據(jù)計算即可求解.
(1)
證明:HL4E平分團(tuán)BAC,
回乙BAE=Z.DAC,
TABAE
乂7麗=就,
0ABAEs&DACf
團(tuán)4E=zC;
(2)
0ABAEDACf
,:AB=9,AD=5,DC=3,
.9_BE
,,5-
解得BE=y.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定,掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.
【變式5-1](2022?上海?測試?編輯教研五八年級期末)如圖,在△ABC中,點0、點E分別在AC、48上,
點P是BD上的一點,聯(lián)結(jié)EP并延長交47于點F,J&Z/1=^EPB=^ECB.
⑴求證:BE?BA=BP?BD;
⑵若Z71CB=90。,求證:CP1BD.
【答案】⑴見解析
(2)見解析
【分析】(1)證明APBE和△4BD相似,即可證明.
(2)先證明△4BCI3ACBE,再證明△PBCEIACBD,得到NBPC=NBCD=90。,即可證明.
(1)
證明:vZX=/.EPB,乙PBE=AABD,
???△P5F0AABD,
灌=處
BDBA
???BEBA=BPBD.
(2)
證明:VZ/4=Z.ECB,Z.ABC=Z.CBE,
ABACBE,
BCBA
:.—=—,
BEBC
BE-BA=BC2,
XSBF-BA=BP-BD,
BC2=BP-BD,
BCBP
--=---,
BDBC
???乙PBC=乙CBD,
??.△PBC0ACBD,
?:乙ACB=90°,
???乙BPC=(BCD=90°,
???CP1BD.
【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比
例式,再經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫谋壤椒?兩邊成比例且夾角相等”的形式.
【變式5-2](2022?山東?東平縣江河國際實驗學(xué)校二模)如圖,點D,E分別在AABC的邊BC,AC上,連
接AD,DE.
(1)若回C=EIBAD,AB=5,求BD-BC的值;
(2)若點E是AC的中點,AD=V2AE,求證:(31=SC.
【答案】(1)25;(2)見解析
【分析】(1)由EIC=13BAD、0ABD=I3CBA可得出0ABD03CBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出黑=骼進(jìn)而
BCAB
即可得到結(jié)論;
(2)由點E是AC的中點、AD=V2AE,可得出絲=啜,結(jié)合E1DAE=I3CAD可證出I3DAE甌CAD,再根據(jù)相
ACAD
似三角形的性質(zhì)可證出E11WC.
【詳解】解:(1)00C=0BAD,回B=I3B,
B
團(tuán)AABD?ACBA
櫻的
BCAB
0AB=5
&BD?BC=AB2=25.
(2)團(tuán)點E是AC的中點,
0AC=2AE.
0AD=V2AE.
mAD42AEV2
AC2AE2
AE_4E_J__V2
AD.\f2AE一夜一2,,
櫻=絲.,
ACAD
又E)DAE=EICAD(公共角).,
00DAE00CAD,
S01=0C.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出等積式;(2)
由邊與邊之間的關(guān)系找出兩邊對應(yīng)成比例,結(jié)合夾角相等證明三角形相似
【變式5-3](2022?湖北恩施?二模)如圖,在E1ABC中,D、E、尸分別是邊AC,AB,BC上的點,DE\\BC,
DF\\AB.
(1)求證:SB=SEDF.
⑵若CF=;BC,求衿區(qū)的值.
3S“ED
【答案】(1)證明見解析
⑵;
【分析1(1)證明四邊形BEDF為平行四邊形,從而得到NB=/EDF:
(2)證明ADFCs△力ED,利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解.
⑴
證明:?:DE//BC,DF//AB,
???四邊形BEDF是平行四邊形,
???Z.B=Z.EDF.
⑵
解:1??CF=^BC,
2
???BF=-BC.
3
??,四邊形8EDF是平行四邊形,
2
???ED=BF=-BC.
3
vDE“BC,DF//ABt
'?zC=Z-ADEf乙CDF=
:.△DFCAED,
...辿£=(竺)2=亦一
S&AED\2)4
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定,相似三角形的性質(zhì)與判定,解決本題的關(guān)鍵是將相似三角
形的面積之比轉(zhuǎn)化為相似比的平方.
【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】
【例6】(2022?全國?九年級課時練習(xí))如圖,已知△力DE的頂點E在AABC的邊BC上,OE與AB相交于
點F,Z-FEA=乙B,Z,DAF=乙EAC.
D
/
C
BE
⑴若4F=BF=4,求AE;
(2)求證:g=g
【答案】⑴見詳解
⑵見詳解
【分析】(1)根據(jù)NFEA=4氏^BAE=LEAF,證明ABAE“AE4F,然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例
得到4盾=AF-AB,即可得到結(jié)論;
(2)首先由NQ4F=4C4E,得到4ZME=NCAF,然后進(jìn)?步證明AZME“ACAB,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊
成比例和對應(yīng)角相等得到器=緣,ZD=ZC,然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明AZMFsAEE,得到襄=吟,然
BCACECAC
后根據(jù)線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明出差=段
DECB
(1)
解:^Z.FEA=ZF,Z.BAE=Z-EAFf
0ABAE~△EAF,
造="
AFAE
團(tuán)AE2=AF-AB,
財F=BF=4,
團(tuán)4E2=4(4+4)=32,
團(tuán)AE=4V2;
(2)
證明:^Z.DAF=Z-CAE,Z.FAE=Z.FAE,
團(tuán)乙
DAE=Z.CAFf
⑦乙FEA=乙B,
(?]△DAE?△CAB,
噴=笫2。=",
胤血4F=乙EAC,
0ADAF^△CAE,
爛=也,
ECAC
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法.相
似三角形性質(zhì):相似三角形對應(yīng)邊成比例,對應(yīng)角相等.相似三角形的判定方法:①兩組角對應(yīng)相等的兩
個三角形相似;②兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似;③三組邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相
似.
【變式6-1](2022?江蘇?九年級專題練習(xí))已知矩形ABCO的一條邊4力=8,將矩形488折疊,使得頂
點8落在CQ邊上的P點處.如圖,已知折痕與邊BC交于點。,連接AP、OP、OA.
(1)求證:—=—;
PDAP
(2)若OP與孫的比為1:2,求邊AB的長.
【答案】(1)見解析;(2)10
【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NAP。=NB=90。,根據(jù)相似三角形的判定定理證明40cps4PD4,
進(jìn)而解答即可;
(2)根據(jù)相似三角形的相似比得出PC=?4D,再利用勾股定理求解.
【詳解】證明:(1)由折疊的性質(zhì)可知,乙4P。==90。,
^APD+乙OPC=90°,MPOC+乙OPC=90°,
JLAPD=乙POC,又ND=ZC=90°,
AOCPsAPDA,
???一OC=一OP;
PDAP
(2)???OP與孫的比為1:2,
???PC=-AD=4,
2
設(shè)AB=%,則。C=%,AP=x,DP=x—4,
在RtAAPD中,AP2=AD2+PD2,即/=8?+Q-4尸,
解得,x=10,即AB=10.
【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一
種軸對稱,折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等.
【變式6-2](2022?全國?九年級專題練習(xí))如圖,在zMBC中,AB=AC,。是邊BC的延長線上一點,E是
邊4C上一點,且NEBC=m
【答案】見解析
【分析】由力B=4C可知乙4BC=AACB,結(jié)合NEBC=4D,判定△BCDDBA即可得證.
【詳解】證明:???AB=4C,
???Z-ABC=乙ACB,
^Z.ABD=乙ECB,
v乙EBC=乙D,
BCDDBA?
CE_BC
AB~BD
【點睛】本題考查三角形的相似性質(zhì)和判定,等相關(guān)知識點,牢記知識點是解題關(guān)鍵.
【變式6-3](2022?湖南益陽?九年級期末)如圖,在I34BC中,0SAC=9O°,A。是8c邊上的高,E是BC
邊上的一個動點(不與8,C重合),EF^AB,EGSAC,垂足分別為F,G.
A
⑴求P*證、T*:石EG=布CG;
(2)FD與0G是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由;
【答案】⑴見解析
(2)FC與。G垂直,證明見解析
【分析】(1)由比例線段可知,我們需要證明△ACC?AEGC,由兩個角對應(yīng)相等即可證得.
(1)由矩形的判定定理可知,四邊形4FEG為矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到A/IFD?
△CGD,從而不難得到結(jié)論.
⑴
在財。C和ELEGC中,
WADC=^EGC,0C=0C,
EEL4DO30EGC.
0^=—.
ADCD
(2)
與OG垂直.
證明如下:
在四邊形AFEG中,
03/^G=EL4FE=a4GE=9O°,
13四邊形4FEG為矩形.
SAF=EG.
彥=絲,
ADCD
造=竺.
ADCD
又0a4BC為直角三角形,ADfflBC,
00MD=[3C=9OO-回。AC,
S0AFD00CGD.
WADF=^CDG.
WCDG+&ADG=90°,
0I2WDF+I?L4DG=9O°.即?FDG=90°.
SFDSDG.
【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),①如果兩個三角形的兩組對應(yīng)角相等,那么這兩個三角形
相似;②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等,且夾角相等,那么這兩個三角形相似.
【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】
【例7】(2022?山東煙臺?八年級期末)尺規(guī)作圖:如圖,已知A/IBC,且(只保留作圖痕跡,
不要求寫出作法)
⑴在4B邊上求作點D,使DB=DC;
(2)在4c邊上求作點E,使
【答案】⑴見解析
(2)見解析
【分析】(1)根據(jù)題意作出BC垂直平分線交4B于點。,即可求解;
(2)作乙4DE=即可求解.
(1)
如圖所示,作出8C垂直平分線交48于點。,D點即為所求:
如圖所示,作〃OE=NACB交ACF點E,點E即為所求.
畝乙A=Z-A,JLACB-乙ADE,
[?]△ADEACB.
【點睛】本題考查了作垂直平分線,作一個角等于已知角,掌握垂直平分線的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)以
及基本作圖是解題的關(guān)鍵.
【變式7-1](2022?山東濟寧?二模)如圖,在AABC中,NB4C=90。,8。平分乙4BC.
隊
ADc
⑴求作ACDE使點E在BC上,且ACOESACB。;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,若氏4=次,乙4BC=60。,求CE長.
【答案】(1)見解析
(2)CE的長為苧
【分析】(1)根據(jù)作一個角等于已知角進(jìn)行作圖即可;
(2)先求出I3C=3O。,團(tuán)CBZ)=30°,再求出CZ)與8c的長,再由△CCE,△CBD列出比例式竽=
再求解即可
(1)
作圖如下:
⑵
0ZB/4C=90°,4ABC=60°,
03C=3O°,
M。平分乙4BC.
mABD=^CBD=30°,
13在RdABC中,BA=V3,團(tuán)C=3O°,
S\AC=痘AB=3,BC=2AB=2V3,
團(tuán)在RfZVlB。中,BA=V3,EL4BD=30°,
團(tuán)AD=^V348=1,
3
團(tuán)0)=2,
OACDECBD,
修=2
CDCB
畔=品
解得:CE吟
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定及直角三角形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角
形的性質(zhì).
【變式7-2](2022?陜西寶雞?一模)如圖,在等腰0ABe中,AB=AC,點。是AC邊上一定點.請用尺規(guī)
作圖法在BC上求作一點P,使得048cH3PC£).(保留作圖痕跡,不寫作法)
【答案】見解析
【分析】由和AB=4C,可以推導(dǎo)出I3PC。為等腰三角形,即可知點P在線段CO的中垂線上.
[詳解]解:^ABC^PCD,
甌PCD是以尸為頂點的等腰三角形,及P在線段CO的中垂線上,
如圖,點尸即為所求.
【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、尺規(guī)作圖,通過相似找到線段關(guān)系,準(zhǔn)確畫出圖像是解題的關(guān)鍵.
【變式7-3](2022?江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測)如圖,在四邊形ABC。中,EL4=0B.
⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡):
①過點。作A8的平行線交于點F;
②P為A8邊上的一點,且同D4P!3I3PBC,請找出所有滿足條件的點;
⑵在(1)的條件下,若AO=2,BC=3,AB=6,則AP=.
【答案】⑴見解析;
(2)3+百或3一8
【分析】(1)延長AD,作自即尸=&4,則此時。尸||48;先作OC的垂直平分線,過點。作AB的垂線交A8
于點以C為頂點,CD為角的一條邊,作I3OCO=A£>M,交C。的垂直平分線于一點。,以。為圓心,以
0C為半徑作圓,與AB的交點即為所求作的點P;
(2)根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊相等,列出關(guān)于AP的關(guān)系式,求解即可.
⑴
如圖所示:
。尸即為所求作的平行線;
如圖所示,
符合條件的點尸共有兩個;
(2)
WDAPWPHC,
igAP=x,貝i]8P=6-x,
即x(6—x)=6,
—x2+6x—6=0,
解得:刈=3+6,x2=3-V3,
即AP=3+百或3-b.
【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖,三角形相似的性質(zhì),熟練掌握尺規(guī)作一個角等于已知角,線段的垂直
平分線,是解決本題的關(guān)鍵.
【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】
【例8】(2022?安徽合肥?二模)如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格,4B、C、D四點均在正方形網(wǎng)
格的格點上,線段A8、CD相交于點。.
D
C
⑴請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段(不添加另外的字母),構(gòu)成一對相似三角形,并用緡'符號寫出這對相似三
角形:
(2)線段A。的長為.
【答案】⑴見解析,△40C-A80D
【分析】(1)如圖,連接BD,AC即可,可得△AOCs/iB。。.
(2)利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.
(1)
如圖,連接AC,BD,
由格點圖可得8DMC,
田AAOC?&BOD,
(2)
AOCs&BOD,
回。8=“2+12=72,AC=y/32+32=3vLAB^22+22=2VL
脛=平=3,
OBV2
附。二3。8,
EL4O=-AB=-X2V2=-V2.
442
故答案為:當(dāng)
【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計,三角形的三邊關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是
靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考??碱}型.
【變式8-1](2022?河南南陽?九年級期末)(1)如圖,姐8。的三個頂點都在方格紙的格點上.在方格紙
內(nèi)畫△4B,C',使A8C,相似比為2:1,且頂點都在格點上.
(2)△4'B'C'的面積是.
C
【答案】(1)答案見解析;(2)12
【分析】(1)根據(jù)相似比為2:1先確定對應(yīng)點的位置,再連接即可得到答案;
(2)先求出根據(jù)△A8C的面積,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△4')的面積.
【詳解】(1)如圖,△ABC為所求作圖形;(答案不唯一)
(2)由題意得,S^ABC=|x3x2=3
???AA'B'C'^hABC,相似比為2:1
.SAAWC,_4
SAABC1
SAAEC'=12
故答案為:12.
【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理,涉及作圖,熟練掌握知識是解題關(guān)鍵.
【變式8-2](2022?浙江溫州?九年級專題練習(xí))請在如圖所示的網(wǎng)格中,運用無刻度直尺作圖(保留作圖
痕跡)
圖1圖2
(1)在圖1中畫出線段4B的中垂線
(2)如圖2,在線段48上找出點C,使4C:CB=1:2.
【答案】(1)見解析
⑵見解析
【分析】(1)取格點E,F,作直線E尸即可;
(2)將點4沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M,將點8沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N,連接MN交48于點C,
則點C即為所求.
(1)
如圖所示,利用網(wǎng)格線確定中點,然后使二者垂直即可:
將點力沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M,將點B沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N,連接MN交AB于點C,
AM-.BN=1:2,
???△ACMFBCN,
AM_AC_1
BN-BC_2,
【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖,相似三角形的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問
題.
【變式8-3](2022?浙江溫州?九年級期中)如圖,在8x8的方格中,AABC的三個頂點都在小方格的頂點
上,按要求畫一個三角形,使它的頂點在方格的頂點上.
⑴請在圖1中畫一個三角形,使它與AABC相似,且相似比為2:1
⑵請在圖2中畫一個三角形,使它與AABC相似,且面積比為2:1
【答案】⑴見解析
⑵見解析
【分析】(1)已知AABC的三邊長分別為48=,22+22=2dLAC=V12+22=V5,BC=3,則△4/?
的三邊長分別為=4&,46=2后,/G=6,在圖中畫出zVliBiG即可;
(2)已知A48C的三邊長分別為A8=V22+22=2&,AC=V12+22=V5,8c=3,則4心口2c2的三邊
長分別為4%=4,A2C2=V10,82c2=3立,在圖中畫出△々BzG即可.
(1)
解:如圖1所示:△4/B/G即為所求;
圖2
【點睛】此題主要考查了相似變換,正確得出相似三角形的邊長是解題關(guān)鍵.
【題型9新定義中的相似三角形】
【例9】(2022?陜西渭南?九年級期末)四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形,如果這兩個三
角形相似(不全等),我們就把這條對角線稱為這個四邊形的"理想對角線
⑴如圖1,在四邊形4BC0中,LABC=70°,AB=AD,AD||BC,當(dāng)N4DC=145。時.求證:對角線BD是
四邊形4BC。的“理想對角線”;
(2)如圖2,四邊形A8CD中,CA平分4BCD,BC=3,CD=2,對角線4c是四邊形4BCD的“理想對角線”,
求4C的長.
【答案】⑴證明見解析;
(2)76
【分析】(1)利用兩角對應(yīng)相等證明△4B。s/iDBC,可得結(jié)論:
(2)利用"理想對角線"的定義可得△力BC與AC4C相似,先找到對應(yīng)角(分兩種情況),再利用相似三角
形的性質(zhì)即可求解.
(1)
證明:如圖1中,
HL4B=ADJ
⑦乙ABD=Z.ADB,
^AD||BC,/.ABC=70°,
團(tuán)乙ADB=乙DBC,
&Z.ABD=Z.DBC=-/.ABC=35°,
2
國ADIIBC,Z.ADC=145°,
0zC=180°-Z,ADC=180°-145°=35°,
⑦乙ABD=Z.DBC=Z.ADB=zC=35°,
?AABDDBC,
團(tuán)對角線8。是四邊形48CD的“理想對角線〃.
圖1
(2)
解:如圖2中,
團(tuán)C4平分48CD,
團(tuán)NBC4=ZL4CD,
團(tuán)對角線AC是四邊形ABC。的“理想對角線”,
0A4BC與AZMC相彳以,
①若乙48c=4DAC,貝必ABC,△DAC,
牌=生,^AC2=BC-DC,
BCAC
田BC=3,CD=2,
SAC2=BC-DC=3x2=6,
解得:AC^=V6>AC2=—V6(不合題意,舍去)
②若ZB4c=ADAC,
S/1C=AC,Z.BCA=Z.ACD,
回△4BC三△£)",與四邊形的"理想對角線”的定義矛盾,
EINB4C與ND/C不相等,即第二種情況不存在.
綜上所述,4c的長為口.
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì),四邊形的"理想對角線”的定義,等邊對等角,平行線的性質(zhì),
角平分線的性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質(zhì).
【變式9-1](2022?福建?廈門市第五中學(xué)八年級期中)定義:若一個三角形最長邊是最短邊的2倍,我們
把這樣的三角形叫做"和諧三角形在MBC中,點尸在邊AC上,。是邊BC上的一點,AB=BD,息A,
。關(guān)于直線/對稱,且直線/經(jīng)過點尸.
(1)如圖1,求作點小(用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)如圖2,a48c是"和諧三角形",三邊長8C,AC,AB分別a,b,c,且滿足下列兩個條件:a#2b,和
a2+4c2=4ac+a-b-1.
①求”,6之間的等量關(guān)系:
②若4E是她B。的中線.求證:MCE是"和諧三角形
AA
圖1圖2
【答案】(1)見解析(2)①“%+1②見解析
【分析】(1)作的垂直平分線,交AC于F點即可;
(2)①根據(jù)題意得到。=2c,聯(lián)立。2+4/=4在+。-b-1即可求解;
②證明MBfaacBA,得到雪=%故可求解.
【詳解】(1)如圖,點尸為所求;
(2)①團(tuán)B45C是“和諧三角形”
0a=2c
又/+4,=4a+〃-b-1.
聯(lián)立化簡得到〃》+1;
②田七點是8Q中點
^BE=2-B2D=-AB
由①得到A3=]BC
曜=些=三
BCAB2
XEL4BE=0CBA
mABE^CBA
故朋CE是〃和諧三角形〃.
【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法.
【變式9-2](2022?江蘇常州?九年級期末)如果經(jīng)過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分,
其中一部分與原三角形相似,那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的"形似線段
圖3
⑴在EL4BC中,04=30.
①如圖1,若回8=100。,請過頂點C畫出0A8C的"形似線段"CM,并標(biāo)注必要度數(shù);
②如圖2,若用8=90。,BC=1,則EL4BC的"形似線段"的長是.
(2)如圖3,在QEF中,DE=4,EF=6,DF=8,若EG是。EF的"形似線段",求EG的長.
【答案】⑴①見解析;②當(dāng)或不
(2)3
【分析】(1)①使NBCM=30唧可,②利用三角形相似求解,分論討論,當(dāng)乙CBD=30。時,當(dāng)乙CDB=60°
時,結(jié)合勾股定理求解:
(2)進(jìn)行分類討論,若△OEGSACFE,若4FEGMFDE,結(jié)合DE=4,EF=6,CF=8進(jìn)行求解.
(1)
①如圖所示,
圖1
②分論討論如下:
當(dāng)NCBO=30。時,如卜圖:
A
圖2
DC=-2B2C=-,
??Z.A=30°,
:.Z.C=60°,
22
BD=yjBC-DC=2
當(dāng)NCO8=60。時,如下圖:
(2x)2=%2+1,
解得:x=Y,
DC=.,
3
則財BC的"形似線段"的長是?或不,
故答案為:苧或平.
⑵
解:①若△DEGfDFE,
vDE=4,EF—6,DF—8,
???EG—3.
(2)^AFEGFFDE,
E
DG
VDE=4,EF=6,DF=8,
??.EG=3.
綜上,EG=3.
【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定及性質(zhì),
及利用分論討論的思想進(jìn)行求解.
【變式9-3](2022?安徽合肥?二模)定義:如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍,那么我們稱這
樣的三角形為倍角三角形.根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍,所以我們就可以
通過作出其中的2倍角的角平分線,得出一對相似三角形,再利用我們學(xué)過的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)
問題.請通過這種方法解答下列問題:
⑴如圖1,EL4BC中,AO是角平分線,且AB2=BO-BC,求證:EL4BC是倍角三角形;
⑵如圖2,已知EL4BC是倍角三角形,且41=24C,AB=8,BC=10,求AC的長;
⑶如圖3,已知0ABC中,乙4=3z_C,AB=8,BC=10,求AC的長.
【答案】⑴見解析
(2MC=4.5
(3MC=3
【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定可證0ABDI苑C84,進(jìn)而由相似三角形的性質(zhì)可得SB4CM3C,角平分
線的性質(zhì)可得團(tuán)BAC=20BAQ,等量代換即可求證結(jié)論;
(2)作的角平分線A£),根據(jù)角平分線的性質(zhì)易得ELBAC=203AC=213CAD,進(jìn)而可證M8D0回CBA,根
據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=進(jìn)而可得8。、CD,由等角對等邊可得4D=CZ)=3.6,根據(jù)相似
三角形的性質(zhì)可得空=黑,代入數(shù)據(jù)即可求解;
(3)過點A作MAC的三等分角,AO,AE,分別交BC于點、D,E,根據(jù)三等分線的性質(zhì)可知:/B4C=3^BAD=
3Z.DAE=3Z.CAE,進(jìn)而可證△4BD?△CBA,由相似三角形的性質(zhì)可得:AB2=BD-BC,進(jìn)而可得BO、
CD,根據(jù)外角的性質(zhì)和等量代換可得4BAE=NBEA=2NC,進(jìn)而由等角對等邊可得BE=AB=8,進(jìn)而可
得△4DE-ACZM,由相似三角形的性質(zhì)可得:AD2=DECD,代入數(shù)據(jù)求得:AD=2.4,由相似三角形
的性質(zhì)可得翌=整,代入數(shù)據(jù)即可求解.
ACAD
(1)
SAB2=BD-BC,
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