相似三角形的性質(zhì)【十大題型】（人教版）

專題27.4相似三角形的性質(zhì)【十大題型】

【人教版】

【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】..........................................................2

【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】......................................................4

【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】..........................................................6

【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】..........................................................8

【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】.............................................10

【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】.......................................14

【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】................................................................19

【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】.................................................23

【題型9新定義中的相似三角形】...............................................................28

【題型10相似與函數(shù)綜合探究】.................................................................37

“印，二

——

【知識點1相似三角形的性質(zhì)】

①相似三角形的對應(yīng)角相等.

如圖，△ABCs/vnrC,則有

Z4=ZA',NB=NB',NC=NC'.

②相似三角形的對應(yīng)邊成比例.

如圖，△ABCs/WQC,則有ZA八

ABBCAC.,,工.、,1、

———k(k為相似比).(??

A'B"B'CA'C

③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成zAA

比例，都等于相似比.

如圖，4W、47和是△ABC中BC

邊上的中線、高線和角平分線，A'M\4H'和4。是

中邊上的中線、高線和角平分線，則有BMC/rM9c*

AB-CAC9AMA//AD

A'B'_B'C_A'C-‘一A'M'~A'H'~A'D'

Lzi

④相似三角形周長的比等于相似比.zL

如圖，ZVIBCs△"B'C,則有

AB__6T_AC_AB+8C+AC_卜

A//(*/r/

A'B'~B'C~A'C'~A'B'+B'C+AC~'

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方.

小d

如圖，△ABCs△4&C,則有

—BC,AHu

S△八"c2BCAAH/二

S4KByA.B'C-A!H'B'C'A'//'

2

【題型1利用相似三角形的性質(zhì)求角度】

【例1】（2022?湖南?永州柳子中學(xué)九年級期中）已知若國1=50。，0E=7O°,則團(tuán)產(chǎn)的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等求出財=團(tuán)。=50。，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：0AABC-A￡>EF,

BEL4=00=50°,

00F=180°-fflD-E）￡=180--50°-70°=60°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

【變式1-1］（2022?江蘇?常州市金壇良常初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，△ABC0AD4C,回8=31。，團(tuán)。=

117°,則（3BC￡>的度數(shù)是（）

A.32°B.48°C.64°D.86°

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ElD4C=?B=3r,0BAC=0D=117°,團(tuán)8cA=S4C￡）,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

計算即可.

【詳解】解：^SABCWDAC,回8=31°,120=117°,

00DAC=BB=31°,0BAC=B￡）=117O,135c4=0ACD,

038C￡）=回BC4+B4Cr）=2（180°-31°-l：17°）=64°,

故選：C.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個相似三角形AABC和△EDF,則

N4BC+N4cB的度數(shù)為（）

D

A

A.135°B.90°C.60°D.45°

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和等于180。，即可得出.

【詳解】解：^BABCWEDF,

^\BAC=S\DEF,

又E0DE尸=90°+45°=135°,

00BAC=135°,

團(tuán)乙4BC+乙1CB=18O。-/.BAC=180°-135°=45°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到相似三角形中的對應(yīng)關(guān)系.

【變式1-3］（2022?云南楚雄?九年級期末）如圖，點4、B、C、D四點共線,"BC是等邊三角形，當(dāng)4P4B?ADPC

時，44Po的度數(shù)為（）

A.120°B.100°C.110°D.125°

【答案】A

【分析】根據(jù)4PAB~4DPC得出=LDPC,根據(jù)4PBC是等邊三角形得出NPBC=乙BPC=60°,根據(jù)外

角的性質(zhì)得出乙4+乙4PB=4PBC=60。，可推出乙4PB+4DPC=60。，從而即可得到答案.

【詳解】?：APAB-ADPC

Z.A=乙DPC

?./P8C是等邊三角形

???LPBC=乙BPC=60°

Z.A+/.APB=乙PBC=60°

???AAPB+乙DPC=60°

￡.APD=/.APB+4PBC+乙DPC=120°

故選A.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解

題的關(guān)鍵.

【題型2利用相似三角形的性質(zhì)求線段長度】

【例2】（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，在EMBCD中，AB=10,AD=6,E是4。的中點，在CD上取

一點尸，使△CBFEkiABE,則DF的長是（）

A.8.2B.6.4C.5D.1.8

【答案】A

【分析】E是AD的中點可求得AE,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可得第=整，可得CF的長即可求解.

AEBA

【詳解】解：I3E是4D的中點，AD=6,

SAE=-AD=3,

2

X0ACBF0AABE,

.?.竺=些，即竺=2，

AEBA310

解得C尸=1.8,

DF=DC-CF=10-1.8=8.2,

故選:A.

【點睛】本題考查了三角形相似的性質(zhì)，掌握三角形相似的性質(zhì)對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，SABC^SDEF,相似比為1團(tuán)2,若BC=1,則EF的長是

BDE

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件得到警=；，即可得到EE=28C=2,問題得解.

EF2

【詳解】解：^ABC^DEF,相似比為1團(tuán)2,

度=工,

EF2

?EF=2BC=2.

故選：B

【點睛】本題考查了相似的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）已知AABCs/iDEF,mABC的三邊長分別為V14,3,DEF

的其中的兩邊長分別為1和夕，則第三邊長為.

【答案】卓

【分析】先求得相似比，再列式計算求得

【詳解】設(shè)回。EF的第三邊長為x,

???△ABCsADEF且EIABC的三邊長分別為VI714,3,

回。所的其中的兩邊長分別為1和夜，

*畜/

2

00DEF的第三邊長為言

故答案為：

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，求出相似比是解題關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?吉林?長春市赫行實驗學(xué)校二模）如圖所示，圖中x=—.

【答案】2V2

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NC的度數(shù)，由相似三角形的判定定理可判斷IlMABCsADEF,再根

據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可解答.

【詳解】解：TAABC中，44=45。，48=30。，

???ZC=180°-4A-NB=180°-45°-30°=105°,

Vz_E=Z-B=30°,zC=ZF,

???LABC?XDEF,

.BC_AC

??—=-,

EFDF

即2=它,

4x

X=2V2.

故答案為：2a.

【點睛】本題涉及到三角形內(nèi)角和定理、相似三角形的判定及性質(zhì)，比較簡單.

【題型3利用相似三角形的性質(zhì)求面積】

【例3】（2022?陜西渭南?九年級階段練習(xí)）若△ABCOEF,△ABC與AOEF的面積比為25:36,則AABC

與ADE尸的對應(yīng)邊的比是（）

A.5:6B.6:5C.25:36D.36:25

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方先求出0ABC與aDEF的相似比即可.

【詳解】解：皿48。，2\。后?且2\43（7與4。環(huán)的面積比為25:36

13它們的相似比為5：6.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)

鍵.

【變式3-1]（2022?河南新鄉(xiāng)?九年級期末）△斐BC與△4CC，的位似比是1:2,已知△ABC的面積是3,則

△的面積是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩個三角形的相似比，根據(jù)題意計算即可.

【詳解】解：aaABcaaAbc,相似比為i：2,

GBABC與財BC的面積比為1：4,

EEL48C的面積是3,

回0ABe的面積是12,

故選：D.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?河北石家莊?九年級期末）把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，則它的面積擴大

為原來的倍.

【答案】9

【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出即可.

【詳解】解：團(tuán)把一個三角形的各邊長擴大為原來的3倍，

回面積擴大為原來的9倍，

故答案為：9.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，

注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長比等于相似比.

【變式3-3］（2022?河南?鶴壁市淇濱中學(xué)九年級期中）如圖，在R/S4BC中，團(tuán)BAC=90。，AB=3,BC=5,

點。是線段BC上一動點，連結(jié)A。，以A。為邊作EL4OE,使她。比S45C,則的最小面積等于.

【答案】§

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4,當(dāng)AD03C時，的面積最小，根據(jù)三角形的面積公式得到AO=

竿=答=昔,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到由此三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

DC555

【詳解】解：團(tuán)在4國48。中，團(tuán)B4C=90。，AB=3fBC=5,

MC=4,

^ADE^ABC,

—.ADAEunADAE

0—=—,即一=—

ABAC34

4

國AE=-AD

3f

2

BISAADE=^AD-AE=IAD,

13當(dāng)AQ08c時，0L4OE的面積最小，

13此時有S-8C=1AB-AC=^BC-AD

00AD￡的最小面積=|x（y）2=||；

故答案為京

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，垂線段最短，三角形的面積公式，正確的理解題意是

解題的關(guān)鍵.

【題型4利用相似三角形的性質(zhì)求周長】

【例4】（2022?湖南株洲?九年級期末）有一個直角三角形的邊長分別為3,4,5,另一個與它相似的直角

三角形的最小邊長為7,則另一個直角三角形的周長是（）

A.—B.—C.21D.28

55

【答案】D

【分析】根據(jù)題意求出三角形的周長，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比列式計算即可.

【詳解】解：設(shè)另一個直角三角形的周長為X,

⑦三角形的邊長分別為3,4,5,

團(tuán)周長為：3+4+5=12,

回兩個三角形相似，

2=三，

X7

解得：x=28,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末）如圖是一個邊長為1的正方形組成的網(wǎng)絡(luò)，MBC與

S4/B/G都是格點三角形（頂點在網(wǎng)格交點處），并且MBCiaaA/B/C/,則S4BC與如1/8/G的周長之比是（）

A.1：2B.1：4C.2：3D.4：9

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：WABCWAiBtCi，AB=2^^=3,

豳48c與EM/B/C/的周長之比笄=

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?遼寧?阜新市第四中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知△ABCs^OEF,其中4B=12,BC=6,

CA=9,DE=3,那么AOEF的周長是.

【答案】

4

【分析】根據(jù)兩個三角形相似，相似三角形的周長比等于相似比，即可解出ADE尸的周長.

【詳解】0A/1BCfDEF

13相似三角形的周長比等于相似比

肥包型=殷=王

“DEFDE3

27

團(tuán)CgEF=~

故答案為：?

4

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：相似三角形的周長比等于相似比.

【變式4-3]（2022?遼寧鞍山?二模）已知AABCs△4'B'C',且AB=2A'B'.若△4BC的周長是18cm,那

么夕C’的周長是cm.

【答案】9

【分析】利用相似三角形的周長的比等于相似比求解即可.

【詳解】解：回△ABOM'B'C',

團(tuán)△ABC的周長：△4'8'C'的周長=AB:A'B'=2：1,

?△4BC的周長是18cm,

E1A4'8'C'的周長是9cm.

故答案為：9.

【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，用到的知識點為：相似三角形周長的比等于相似比.

【題型5利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明角度相等】

【例5】（2022?北京市第一五六中學(xué)九年級期中）如圖，已知AE平分團(tuán)B4C,空=空.

⑴求證：0E=0C；

（2）若4B=9,AD=5,DC=3,求BE的長.

【答案】（1）見解析

⑵BE=y

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得NB4E=/04C,結(jié)合已知條件得出△BAESA/MC,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可得證；

（2）根據(jù)列出比例式，代入數(shù)據(jù)計算即可求解.

（1）

證明：HL4E平分團(tuán)BAC,

回乙BAE=Z.DAC,

TABAE

乂7麗=就,

0ABAEs&DACf

團(tuán)4E=zC；

(2)

0ABAEDACf

,:AB=9,AD=5,DC=3,

.9_BE

，,5-

解得BE=y.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2022?上海?測試?編輯教研五八年級期末)如圖，在△ABC中，點0、點E分別在AC、48上,

點P是BD上的一點，聯(lián)結(jié)EP并延長交47于點F,J&Z/1=^EPB=^ECB.

⑴求證：BE?BA=BP?BD；

⑵若Z71CB=90。，求證：CP1BD.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)證明APBE和△4BD相似，即可證明.

(2)先證明△4BCI3ACBE,再證明△PBCEIACBD,得到NBPC=NBCD=90。，即可證明.

(1)

證明：vZX=/.EPB,乙PBE=AABD,

???△P5F0AABD,

灌=處

BDBA

???BEBA=BPBD.

(2)

證明：VZ/4=Z.ECB,Z.ABC=Z.CBE,

ABACBE,

BCBA

:.—=—,

BEBC

BE-BA=BC2,

XSBF-BA=BP-BD,

BC2=BP-BD,

BCBP

--=---，

BDBC

???乙PBC=乙CBD,

??.△PBC0ACBD,

?:乙ACB=90°,

???乙BPC=(BCD=90°,

???CP1BD.

【點睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比

例式，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫谋壤椒?兩邊成比例且夾角相等”的形式.

【變式5-2](2022?山東?東平縣江河國際實驗學(xué)校二模)如圖，點D,E分別在AABC的邊BC,AC上，連

接AD,DE.

(1)若回C=EIBAD,AB=5,求BD-BC的值；

(2)若點E是AC的中點，AD=V2AE,求證：(31=SC.

【答案】(1)25；(2)見解析

【分析】(1)由EIC=13BAD、0ABD=I3CBA可得出0ABD03CBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出黑=骼進(jìn)而

BCAB

即可得到結(jié)論；

(2)由點E是AC的中點、AD=V2AE,可得出絲=啜，結(jié)合E1DAE=I3CAD可證出I3DAE甌CAD,再根據(jù)相

ACAD

似三角形的性質(zhì)可證出E11WC.

【詳解】解：(1)00C=0BAD,回B=I3B,

B

團(tuán)AABD?ACBA

櫻的

BCAB

0AB=5

&BD?BC=AB2=25.

(2)團(tuán)點E是AC的中點,

0AC=2AE.

0AD=V2AE.

mAD42AEV2

AC2AE2

AE_4E_J__V2

AD.\f2AE一夜一2，，

櫻=絲.，

ACAD

又E)DAE=EICAD(公共角).，

00DAE00CAD,

S01=0C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出等積式；（2）

由邊與邊之間的關(guān)系找出兩邊對應(yīng)成比例，結(jié)合夾角相等證明三角形相似

【變式5-3］（2022?湖北恩施?二模）如圖，在E1ABC中，D、E、尸分別是邊AC,AB,BC上的點，DE\\BC,

DF\\AB.

（1）求證：SB=SEDF.

⑵若CF=；BC,求衿區(qū)的值.

3S“ED

【答案】（1）證明見解析

⑵;

【分析1（1）證明四邊形BEDF為平行四邊形，從而得到NB=/EDF：

（2）證明ADFCs△力ED,利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方求解.

⑴

證明：?：DE//BC,DF//AB,

???四邊形BEDF是平行四邊形，

???Z.B=Z.EDF.

⑵

解：1??CF=^BC,

2

???BF=-BC.

3

??,四邊形8EDF是平行四邊形，

2

???ED=BF=-BC.

3

vDE“BC,DF//ABt

'?zC=Z-ADEf乙CDF=

:.△DFCAED,

...辿￡=（竺）2=亦一

S&AED\2）4

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是將相似三角

形的面積之比轉(zhuǎn)化為相似比的平方.

【題型6利用相似三角形的判定與性質(zhì)證明對應(yīng)線段成比例】

【例6】（2022?全國?九年級課時練習(xí)）如圖，已知△力DE的頂點E在AABC的邊BC上，OE與AB相交于

點F,Z-FEA=乙B,Z,DAF=乙EAC.

D

/

C

BE

⑴若4F=BF=4,求AE；

(2)求證：g=g

【答案】⑴見詳解

⑵見詳解

【分析】(1)根據(jù)NFEA=4氏^BAE=LEAF,證明ABAE“AE4F,然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例

得到4盾=AF-AB,即可得到結(jié)論；

(2)首先由NQ4F=4C4E,得到4ZME=NCAF,然后進(jìn)?步證明AZME“ACAB,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊

成比例和對應(yīng)角相等得到器=緣，ZD=ZC,然后根據(jù)兩角對應(yīng)相等證明AZMFsAEE,得到襄=吟，然

BCACECAC

后根據(jù)線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明出差=段

DECB

(1)

解：^Z.FEA=ZF,Z.BAE=Z-EAFf

0ABAE~△EAF,

造="

AFAE

團(tuán)AE2=AF-AB,

財F=BF=4,

團(tuán)4E2=4(4+4)=32,

團(tuán)AE=4V2；

(2)

證明：^Z.DAF=Z-CAE,Z.FAE=Z.FAE,

團(tuán)乙

DAE=Z.CAFf

⑦乙FEA=乙B,

(?]△DAE?△CAB,

噴=笫2。="，

胤血4F=乙EAC,

0ADAF^△CAE,

爛=也，

ECAC

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定方法.相

似三角形性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.相似三角形的判定方法：①兩組角對應(yīng)相等的兩

個三角形相似；②兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③三組邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相

似.

【變式6-1］（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）已知矩形ABCO的一條邊4力=8,將矩形488折疊，使得頂

點8落在CQ邊上的P點處.如圖，已知折痕與邊BC交于點。，連接AP、OP、OA.

（1）求證：—=—；

PDAP

（2）若OP與孫的比為1：2,求邊AB的長.

【答案】（1）見解析；（2）10

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到NAP。=NB=90。，根據(jù)相似三角形的判定定理證明40cps4PD4,

進(jìn)而解答即可；

（2）根據(jù)相似三角形的相似比得出PC=?4D，再利用勾股定理求解.

【詳解】證明：（1）由折疊的性質(zhì)可知，乙4P。==90。，

^APD+乙OPC=90°,MPOC+乙OPC=90°,

JLAPD=乙POC,又ND=ZC=90°,

AOCPsAPDA,

???一OC=一OP;

PDAP

（2）???OP與孫的比為1：2,

???PC=-AD=4,

2

設(shè)AB=%,則。C=%,AP=x,DP=x—4,

在RtAAPD中，AP2=AD2+PD2,即/=8?+Q-4尸,

解得，x=10,即AB=10.

【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊是一

種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等.

【變式6-2］（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在zMBC中，AB=AC,。是邊BC的延長線上一點，E是

邊4C上一點，且NEBC=m

【答案】見解析

【分析】由力B=4C可知乙4BC=AACB,結(jié)合NEBC=4D,判定△BCDDBA即可得證.

【詳解】證明：???AB=4C,

???Z-ABC=乙ACB,

^Z.ABD=乙ECB,

v乙EBC=乙D,

BCDDBA?

CE_BC

AB~BD

【點睛】本題考查三角形的相似性質(zhì)和判定，等相關(guān)知識點，牢記知識點是解題關(guān)鍵.

【變式6-3］（2022?湖南益陽?九年級期末）如圖，在I34BC中，0SAC=9O°,A。是8c邊上的高，E是BC

邊上的一個動點（不與8,C重合），EF^AB,EGSAC,垂足分別為F,G.

A

⑴求P*證、T*：石EG=布CG;

(2)FD與0G是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；

【答案】⑴見解析

(2)FC與。G垂直，證明見解析

【分析】(1)由比例線段可知，我們需要證明△ACC?AEGC,由兩個角對應(yīng)相等即可證得.

(1)由矩形的判定定理可知，四邊形4FEG為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定可得到A/IFD?

△CGD,從而不難得到結(jié)論.

⑴

在財。C和ELEGC中，

WADC=^EGC,0C=0C,

EEL4DO30EGC.

0^=—.

ADCD

(2)

與OG垂直.

證明如下：

在四邊形AFEG中，

03/^G=EL4FE=a4GE=9O°,

13四邊形4FEG為矩形.

SAF=EG.

彥=絲，

ADCD

造=竺.

ADCD

又0a4BC為直角三角形，ADfflBC,

00MD=[3C=9OO-回。AC,

S0AFD00CGD.

WADF=^CDG.

WCDG+&ADG=90°,

0I2WDF+I?L4DG=9O°.即?FDG=90°.

SFDSDG.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個三角形的兩組對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形

相似;②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

【題型7尺規(guī)作圖作相似三角形】

【例7】(2022?山東煙臺?八年級期末)尺規(guī)作圖：如圖，已知A/IBC,且(只保留作圖痕跡，

不要求寫出作法)

⑴在4B邊上求作點D,使DB=DC；

(2)在4c邊上求作點E,使

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)題意作出BC垂直平分線交4B于點。，即可求解;

(2)作乙4DE=即可求解.

(1)

如圖所示，作出8C垂直平分線交48于點。，D點即為所求：

如圖所示，作〃OE=NACB交ACF點E,點E即為所求.

畝乙A=Z-A,JLACB-乙ADE,

[?]△ADEACB.

【點睛】本題考查了作垂直平分線，作一個角等于已知角，掌握垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以

及基本作圖是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2022?山東濟寧?二模）如圖，在AABC中，NB4C=90。,8。平分乙4BC.

隊

ADc

⑴求作ACDE使點E在BC上，且ACOESACB。；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，若氏4=次,乙4BC=60。，求CE長.

【答案】（1）見解析

（2）CE的長為苧

【分析】（1）根據(jù)作一個角等于已知角進(jìn)行作圖即可;

（2）先求出I3C=3O。，團(tuán)CBZ）=30°,再求出CZ）與8c的長，再由△CCE，△CBD列出比例式竽=

再求解即可

（1）

作圖如下:

⑵

0ZB/4C=90°,4ABC=60°,

03C=3O°,

M。平分乙4BC.

mABD=^CBD=30°,

13在RdABC中，BA=V3,團(tuán)C=3O°,

S\AC=痘AB=3,BC=2AB=2V3,

團(tuán)在RfZVlB。中，BA=V3,EL4BD=30°,

團(tuán)AD=^V348=1,

3

團(tuán)0)=2,

OACDECBD,

修=2

CDCB

畔=品

解得：CE吟

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定及直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的性質(zhì).

【變式7-2］（2022?陜西寶雞?一模）如圖，在等腰0ABe中，AB=AC,點。是AC邊上一定點.請用尺規(guī)

作圖法在BC上求作一點P,使得048cH3PC￡）.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析

【分析】由和AB=4C,可以推導(dǎo)出I3PC。為等腰三角形，即可知點P在線段CO的中垂線上.

［詳解］解：^ABC^PCD,

甌PCD是以尸為頂點的等腰三角形，及P在線段CO的中垂線上,

如圖，點尸即為所求.

【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用、尺規(guī)作圖，通過相似找到線段關(guān)系，準(zhǔn)確畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2022?江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ABC。中，EL4=0B.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：

①過點。作A8的平行線交于點F；

②P為A8邊上的一點，且同D4P!3I3PBC,請找出所有滿足條件的點；

⑵在（1）的條件下，若AO=2,BC=3,AB=6,則AP=.

【答案】⑴見解析；

（2）3+百或3一8

【分析】（1）延長AD,作自即尸=&4,則此時。尸||48；先作OC的垂直平分線，過點。作AB的垂線交A8

于點以C為頂點，CD為角的一條邊，作I3OCO=A￡>M,交C。的垂直平分線于一點。，以。為圓心，以

0C為半徑作圓，與AB的交點即為所求作的點P；

（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊相等，列出關(guān)于AP的關(guān)系式，求解即可.

⑴

如圖所示：

。尸即為所求作的平行線;

如圖所示,

符合條件的點尸共有兩個;

(2)

WDAPWPHC,

igAP=x,貝i]8P=6-x,

即x(6—x)=6,

—x2+6x—6=0,

解得：刈=3+6，x2=3-V3,

即AP=3+百或3-b.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，三角形相似的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作一個角等于已知角，線段的垂直

平分線，是解決本題的關(guān)鍵.

【題型8在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形】

【例8】(2022?安徽合肥?二模)如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，4B、C、D四點均在正方形網(wǎng)

格的格點上，線段A8、CD相交于點。.

D

C

⑴請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段（不添加另外的字母），構(gòu)成一對相似三角形，并用緡'符號寫出這對相似三

角形：

（2）線段A。的長為.

【答案】⑴見解析，△40C-A80D

【分析】（1）如圖，連接BD,AC即可，可得△AOCs/iB。。.

（2）利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

（1）

如圖，連接AC,BD,

由格點圖可得8DMC,

田AAOC?&BOD,

(2)

AOCs&BOD,

回。8=“2+12=72,AC=y/32+32=3vLAB^22+22=2VL

脛=平=3,

OBV2

附。二3。8,

EL4O=-AB=-X2V2=-V2.

442

故答案為：當(dāng)

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計，三角形的三邊關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式8-1］（2022?河南南陽?九年級期末）（1）如圖，姐8。的三個頂點都在方格紙的格點上.在方格紙

內(nèi)畫△4B，C',使A8C,相似比為2:1,且頂點都在格點上.

（2）△4'B'C'的面積是.

C

【答案】（1）答案見解析；（2）12

【分析】（1）根據(jù)相似比為2:1先確定對應(yīng)點的位置，再連接即可得到答案；

（2）先求出根據(jù)△A8C的面積，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△4'）的面積.

【詳解】（1）如圖，△ABC為所求作圖形；（答案不唯一）

（2）由題意得，S^ABC=|x3x2=3

???AA'B'C'^hABC,相似比為2:1

.SAAWC，_4

SAABC1

SAAEC'=12

故答案為：12.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理，涉及作圖，熟練掌握知識是解題關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022?浙江溫州?九年級專題練習(xí)）請在如圖所示的網(wǎng)格中，運用無刻度直尺作圖（保留作圖

痕跡）

圖1圖2

（1）在圖1中畫出線段4B的中垂線

（2）如圖2,在線段48上找出點C,使4C:CB=1:2.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）取格點E,F,作直線E尸即可；

（2）將點4沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M,將點8沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N,連接MN交48于點C,

則點C即為所求.

(1)

如圖所示，利用網(wǎng)格線確定中點，然后使二者垂直即可:

將點力沿網(wǎng)格向下移動2個小格到點M,將點B沿網(wǎng)格向上移動4個小格到點N,連接MN交AB于點C,

AM-.BN=1:2,

???△ACMFBCN,

AM_AC_1

BN-BC_2,

【點睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，相似三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問

題.

【變式8-3］（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，在8x8的方格中，AABC的三個頂點都在小方格的頂點

上，按要求畫一個三角形，使它的頂點在方格的頂點上.

⑴請在圖1中畫一個三角形，使它與AABC相似，且相似比為2：1

⑵請在圖2中畫一個三角形，使它與AABC相似，且面積比為2：1

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）已知AABC的三邊長分別為48=，22+22=2dLAC=V12+22=V5,BC=3,則△4/?

的三邊長分別為=4&,46=2后，/G=6,在圖中畫出zVliBiG即可；

（2）已知A48C的三邊長分別為A8=V22+22=2&,AC=V12+22=V5,8c=3,則4心口2c2的三邊

長分別為4%=4,A2C2=V10,82c2=3立，在圖中畫出△々BzG即可.

（1）

解：如圖1所示：△4/B/G即為所求;

圖2

【點睛】此題主要考查了相似變換，正確得出相似三角形的邊長是解題關(guān)鍵.

【題型9新定義中的相似三角形】

【例9】（2022?陜西渭南?九年級期末）四邊形的一條對角線把這個四邊形分成兩個三角形，如果這兩個三

角形相似（不全等），我們就把這條對角線稱為這個四邊形的"理想對角線

⑴如圖1,在四邊形4BC0中，LABC=70°,AB=AD,AD||BC,當(dāng)N4DC=145。時.求證：對角線BD是

四邊形4BC。的“理想對角線”；

(2)如圖2,四邊形A8CD中，CA平分4BCD,BC=3,CD=2,對角線4c是四邊形4BCD的“理想對角線”,

求4C的長.

【答案】⑴證明見解析；

(2)76

【分析】(1)利用兩角對應(yīng)相等證明△4B。s/iDBC,可得結(jié)論：

(2)利用"理想對角線"的定義可得△力BC與AC4C相似，先找到對應(yīng)角(分兩種情況)，再利用相似三角

形的性質(zhì)即可求解.

(1)

證明：如圖1中，

HL4B=ADJ

⑦乙ABD=Z.ADB,

^AD||BC,/.ABC=70°,

團(tuán)乙ADB=乙DBC,

&Z.ABD=Z.DBC=-/.ABC=35°,

2

國ADIIBC,Z.ADC=145°,

0zC=180°-Z,ADC=180°-145°=35°,

⑦乙ABD=Z.DBC=Z.ADB=zC=35°,

?AABDDBC,

團(tuán)對角線8。是四邊形48CD的“理想對角線〃.

圖1

(2)

解：如圖2中，

團(tuán)C4平分48CD,

團(tuán)NBC4=ZL4CD,

團(tuán)對角線AC是四邊形ABC。的“理想對角線”,

0A4BC與AZMC相彳以，

①若乙48c=4DAC,貝必ABC，△DAC,

牌=生，^AC2=BC-DC,

BCAC

田BC=3,CD=2,

SAC2=BC-DC=3x2=6,

解得：AC^=V6>AC2=—V6（不合題意，舍去）

②若ZB4c=ADAC,

S/1C=AC,Z.BCA=Z.ACD,

回△4BC三△￡）",與四邊形的"理想對角線”的定義矛盾,

EINB4C與ND/C不相等，即第二種情況不存在.

綜上所述，4c的長為口.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的"理想對角線”的定義，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，

角平分線的性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質(zhì).

【變式9-1］（2022?福建?廈門市第五中學(xué)八年級期中）定義：若一個三角形最長邊是最短邊的2倍，我們

把這樣的三角形叫做"和諧三角形在MBC中，點尸在邊AC上，。是邊BC上的一點，AB=BD,息A,

。關(guān)于直線/對稱，且直線/經(jīng)過點尸.

（1）如圖1,求作點小（用直尺和圓規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）如圖2,a48c是"和諧三角形"，三邊長8C,AC,AB分別a,b,c,且滿足下列兩個條件：a#2b,和

a2+4c2=4ac+a-b-1.

①求”，6之間的等量關(guān)系：

②若4E是她B。的中線.求證：MCE是"和諧三角形

AA

圖1圖2

【答案】（1）見解析（2）①“%+1②見解析

【分析】（1）作的垂直平分線，交AC于F點即可;

（2）①根據(jù)題意得到。=2c,聯(lián)立。2+4/=4在+。-b-1即可求解;

②證明MBfaacBA,得到雪=%故可求解.

【詳解】（1）如圖，點尸為所求;

(2)①團(tuán)B45C是“和諧三角形”

0a=2c

又/+4，=4a+〃-b-1.

聯(lián)立化簡得到〃》+1；

②田七點是8Q中點

^BE=2-B2D=-AB

由①得到A3=]BC

曜=些=三

BCAB2

XEL4BE=0CBA

mABE^CBA

故朋CE是〃和諧三角形〃.

【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知垂直平分線的做法.

【變式9-2］（2022?江蘇常州?九年級期末）如果經(jīng)過一個三角形某個頂點的直線將這個三角形分成兩部分,

其中一部分與原三角形相似，那么稱這條直線被原三角形截得的線段為這個三角形的"形似線段

圖3

⑴在EL4BC中，04=30.

①如圖1,若回8=100。，請過頂點C畫出0A8C的"形似線段"CM,并標(biāo)注必要度數(shù)；

②如圖2,若用8=90。，BC=1,則EL4BC的"形似線段"的長是.

（2）如圖3,在QEF中，DE=4,EF=6,DF=8,若EG是。EF的"形似線段"，求EG的長.

【答案】⑴①見解析；②當(dāng)或不

(2)3

【分析】（1）①使NBCM=30唧可，②利用三角形相似求解，分論討論，當(dāng)乙CBD=30。時，當(dāng)乙CDB=60°

時，結(jié)合勾股定理求解：

（2）進(jìn)行分類討論，若△OEGSACFE,若4FEGMFDE,結(jié)合DE=4,EF=6,CF=8進(jìn)行求解.

（1）

①如圖所示，

圖1

②分論討論如下:

當(dāng)NCBO=30。時，如卜圖:

A

圖2

DC=-2B2C=-,

??Z.A=30°,

:.Z.C=60°,

22

BD=yjBC-DC=2

當(dāng)NCO8=60。時，如下圖:

(2x)2=%2+1,

解得：x=Y，

DC=.，

3

則財BC的"形似線段"的長是?或不,

故答案為：苧或平.

⑵

解：①若△DEGfDFE,

vDE=4,EF—6,DF—8,

???EG—3.

（2）^AFEGFFDE,

E

DG

VDE=4,EF=6,DF=8,

??.EG=3.

綜上，EG=3.

【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定及性質(zhì)，

及利用分論討論的思想進(jìn)行求解.

【變式9-3](2022?安徽合肥?二模)定義：如果一個三角形中有一個角是另一個角的2倍，那么我們稱這

樣的三角形為倍角三角形.根據(jù)上述定義可知倍角三角形中有一個角是另一個角的2倍，所以我們就可以

通過作出其中的2倍角的角平分線，得出一對相似三角形，再利用我們學(xué)過的相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)

問題.請通過這種方法解答下列問題：

⑴如圖1,EL4BC中，AO是角平分線，且AB2=BO-BC,求證：EL4BC是倍角三角形;

⑵如圖2,已知EL4BC是倍角三角形，且41=24C,AB=8,BC=10,求AC的長；

⑶如圖3,已知0ABC中，乙4=3z_C,AB=8,BC=10,求AC的長.

【答案】⑴見解析

(2MC=4.5

(3MC=3

【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定可證0ABDI苑C84,進(jìn)而由相似三角形的性質(zhì)可得SB4CM3C,角平分

線的性質(zhì)可得團(tuán)BAC=20BAQ,等量代換即可求證結(jié)論；

(2)作的角平分線A￡),根據(jù)角平分線的性質(zhì)易得ELBAC=203AC=213CAD,進(jìn)而可證M8D0回CBA,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=進(jìn)而可得8。、CD,由等角對等邊可得4D=CZ)=3.6,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)可得空=黑，代入數(shù)據(jù)即可求解；

(3)過點A作MAC的三等分角,AO,AE,分別交BC于點、D,E,根據(jù)三等分線的性質(zhì)可知:/B4C=3^BAD=

3Z.DAE=3Z.CAE,進(jìn)而可證△4BD?△CBA,由相似三角形的性質(zhì)可得：AB2=BD-BC,進(jìn)而可得BO、

CD,根據(jù)外角的性質(zhì)和等量代換可得4BAE=NBEA=2NC,進(jìn)而由等角對等邊可得BE=AB=8,進(jìn)而可

得△4DE-ACZM,由相似三角形的性質(zhì)可得：AD2=DECD,代入數(shù)據(jù)求得：AD=2.4,由相似三角形

的性質(zhì)可得翌=整，代入數(shù)據(jù)即可求解.

ACAD

(1)

SAB2=BD-BC,