【湖南卷】湖南省郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（郴州一模）（10.23-10.24）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

郴州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合解不等式求出取值范圍，再根據(jù)交集求公共部分求得結(jié)果.2}，故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()C.(-1,0)D.(0,-1)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘法及除法運(yùn)算求出z，再求出其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】依題意=-i，所以z=i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1).故選：AA.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B第2頁/共19頁【解析】【分析】利用是否推出關(guān)系來判斷充要關(guān)系即可.2-4=0，解得x=±2，故不是必要條故選：B.4.已知sinα+cosβ=，cosα=sA.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】sinα+cosβ=與cosα-sinβ=0分別平方相加，得到答案.sinα+cosβ=兩邊平方得sin2α+2sinαcosβ+cos2β=又cosα=sinβ,故cosα-sinβ=0，兩邊平方得cos2α-2cosαsinβ+sin2β=0②,式子①+②得，2+2(sinαcosβ-cosαsinβ)=故選：C5.函數(shù)f的圖象大致為()第3頁/共19頁A.C.B.D.【答案】C【解析】【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在(0,+∞)上函數(shù)值符號，即可得確定圖象.【詳解】由解析式，知f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)u(0,+∞)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以，在(0,+∞)上f(x)<0，結(jié)合各項(xiàng)函數(shù)圖象，知：C選項(xiàng)滿足要求.故選：CA.(-∞,0]B.[-1,0]【答案】D【解析】第4頁/共19頁【分析】分段函數(shù)單調(diào)遞減，需滿足每一段函數(shù)均單調(diào)遞減，且分段處左端點(diǎn)函數(shù)值大于等于右端點(diǎn)函數(shù)值，從而得到不等式，求出答案.顯然y=上單調(diào)遞減，故選：D7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F滿足則平面AEF截正方體ABCD-A1B1C1D1形成的截面圖形為()A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形【答案】B【解析】【分析】由題意，點(diǎn)E是線段BB1上靠近B1的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線段C1D1上靠近D1的三等分點(diǎn)，作出截面圖形可得結(jié)論.【詳解】如圖，點(diǎn)E是線段BB1上靠近B1的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線段C1D1上靠近D1的三等分點(diǎn)，延長AE,A1B1與交于點(diǎn)G，連接FG交B1C1于H，延長GF,A1D1交于點(diǎn)K，連接AK交DD1于I，連接IF,HE，第5頁/共19頁則五邊形AEHFI為所求截面圖形.故選：B.8.已知f(x)=memx-lnx(m≥0)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.B.D.【答案】A【解析】【分析】由同構(gòu)的思想可知，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則mxemx-xlnx=0(x>0)有兩個(gè)解，即mx=lnx有兩解，分離變量求導(dǎo)即可【詳解】解：由題意可知，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則f(x)=memx-lnx=0有兩個(gè)解，等價(jià)于mxemx-xlnx=0(x>0)有兩令g(t)=tlnt，原式等價(jià)于g(mx)=g(lnx)有兩個(gè)解，mx=x有兩個(gè)大于零的解.所以hx在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減圖像如圖：所以當(dāng)0<m<時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)可以構(gòu)造成相同的形式時(shí)，常用同構(gòu)的思想，構(gòu)造函數(shù)，將兩個(gè)函數(shù)看成自變量不同時(shí)的同一函數(shù)，若函數(shù)有交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為自變量有交點(diǎn)求解.第6頁/共19頁9.下列命題中正確的是()A.已知隨機(jī)變量B.已知隨機(jī)變量D.樣本甲中有m件樣品，其方差為s，樣本乙中有n件樣品，其方差為s，則由甲乙組成的總體樣本的方差為【答案】ABC【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式及期望性質(zhì)可判斷A，利用正態(tài)曲線的對稱性可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的求法可判斷C，利用兩組數(shù)據(jù)方差的特征可判斷D.對于A，因?yàn)閄~B所以所以E(2X+1)=2E(X)+1=4，故A正確；對于B，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以f，故B正確； 對于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為x,y，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為w，則甲乙組成的總體樣本的方差為故D不正確.故選：ABC.10.已知曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1，θ∈(0,π)，則下列說法正確的是()A.若cosθ=0，則曲線C表示兩條直線B.若cosθ>0，則曲線C是橢圓C.若cosθ<0，則曲線C是雙曲線D.若cosθ=-sinθ,則曲線C的離心率為·第7頁/共19頁【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)cosθ、sinθ的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意，曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1，θ∈(0,π)，若cosθ=0，則sinθ=1，此時(shí)曲線C:y=±1，表示兩條直線，故A正確；若cosθ>0，又θ∈(0,π)，則sinθ>0，曲線C:x2cosθ+y2sinθ=1，可化為，cosθsinθ當(dāng)cosθ=sinθ時(shí)，則曲線C表示圓，當(dāng)cosθ≠sinθ時(shí)，則曲線C表示橢圓，故B錯(cuò)誤；若cosθ<0，又θ∈(0,π)，則sinθ>0，則曲線C表示雙曲線，故C正確；若cosθ=-sinθ,又θ∈(0,π)，22 則曲線C為等軸雙曲線，離心率為·2，故D正確.故選：ACD.11.在正三棱臺ABC-DEF中，AB=6，DE=2，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面ABC所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有() A.正三棱臺ABC-DEF的高為43B.正三棱臺ABC-DEF的體積為C.AD與平面ABC所成角的正切值為1D.正三棱臺ABC-DEF外接球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】將正棱臺補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐P-ABC，結(jié)合正棱臺、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征求臺體的高、體積及側(cè)棱第8頁/共19頁與底面夾角正切值，由確定棱臺外接球球心位置，建立等量關(guān)系求半徑，進(jìn)而求外接球表面積.【詳解】將正棱臺補(bǔ)全為一個(gè)正棱錐P-ABC，如下圖示，其中O1,O2分別為上下底面的中心，G,H為EF,BC的中點(diǎn)，易知PH丄BC,AH丄BC，則上PHA為等腰梯形所在的側(cè)面與底面ABC所成夾角，所以O(shè)A2=+12=故外接球表面積為，D對.故選：BCD【答案】48第9頁/共19頁【解析】【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)以及基本量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化S3+S7，再用a1,d表示19a3+a11，借助于兩者之間的關(guān)系計(jì)算結(jié)果.故答案為：4813.從數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為i(i=1,2,3,4)，再從數(shù)字1，?,i中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為3的概率是.【答案】【解析】【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.事件B為“第二次取到的數(shù)字為3”，由題意知A1,A2,A3,A4是兩兩互斥的事件，且A1UA2UA3UA4=Ω（樣本空間+P(A4)P(BA4)故答案為：. 14.已知拋物線y2=4x，從拋物線內(nèi)一點(diǎn)A(2,·2)發(fā)出平行于x軸的光線經(jīng)過扡物線上點(diǎn)B反射后交拋物線于點(diǎn)C，則VABC的面積為. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式與拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求解即可.【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線BC與x軸的交點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0)，故BC與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，第10頁/共19頁根據(jù)題意，畫出草圖，如下圖所示，所以BC方程為：y-0=∴VABC的AB邊上的高為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，充分了解拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從而得解.15.若銳角VABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且VABC的面積為（1）求B；（2）求的取值范圍.【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合三角形面積公式可得答案；（2）由題可得后由正弦定理可得后由正切函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】由余弦定理，a2+c2-b2=2accosB，又三角形面積為acsinB，a2+c2-b2)=.2accosB=acsinB→tanB=，又由題則【小問2詳解】由（1A+C=-A，又VABC為銳角三角形，由正弦定理的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.第12頁/共19頁（1）證明：PQ//平面BCD；【答案】（1）證明見解析【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理可證AD丄平面BCD，即可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可證明；（2）由二面角的向量求法，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】2所以AD2+CD2=AC2，即AD丄CD，又AD丄DB，且BD∩CD=D，BD,CD平面BCD，所以AD丄平面 以D為原點(diǎn)，分別以為x,y,z軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，又M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)第13頁/共19頁則PQ//平面BCD.【小問2詳解】設(shè)平面PCM的法向量為=(a,b,C)，，設(shè)二面角APCM為θ,顯然θ為銳角，則cosθ=cos,所以二面角A一PCM20 17.已知橢圓E的離心率為，橢圓E上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離的最小值為V2一1.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，且OM丄ON，求△OMN面積的取值范圍.第14頁/共19頁【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，由離心率及最小距離求出a,b,c即可.（2）按直線OM是否垂直于坐標(biāo)軸分類，求出|OM|,|ON|，進(jìn)而表示出三角形面積，再借助二次函數(shù)求出范圍即可.【小問1詳解】依題意，設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為半焦距為c，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.【小問2詳解】當(dāng)直線OM不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，直線OM的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y=kx(k≠0)，第15頁/共19頁所以△OMN面積的取值范圍是.18.已知函數(shù)=2alnx+x，其中a為常數(shù).（1）當(dāng)a>0時(shí)，試討論f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2，（i）求a的取值范圍；【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)并討論參數(shù)a的范圍研究導(dǎo)數(shù)的符號，即可判斷單調(diào)性；（2i）結(jié)合（1）的單調(diào)性判斷f(2)、f(a)的符號，排除a≥0，再在a<0的情況下研究f(x)的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；2，分析法將問題化為證明f(4x1)<f(x1)，進(jìn)而構(gòu)造h(x)=f(4x)f(x)并利用導(dǎo)數(shù)研究其符號，即可證結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)0<a<2時(shí)，在(0,a)上f,(x)>0，在(a,2)上f,(x)<0，在(2,+∞)上f,(x)>0，第16頁/共19頁所以，在(0,a)、(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，在(a,2)上f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)a=2時(shí)，在(0,+∞)上f(x)≥0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，在(0,2)上f(x)>0，在(2,a)上f(x)<0，在(a,+∞)上f(x)>0，所以，在(0,2)、(a,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，在(2,a)上f(x)單調(diào)遞減.【小問2詳解】若a>0時(shí)，f(a)=2alna+所以f(a)<0，結(jié)合（1）中f(x)的單調(diào)性，易知a>0不可能出現(xiàn)兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，又a=0時(shí)，f(x)=x2一2x在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足，所以a<0，此時(shí)，在(0,2)上f(x)<0，在(2,+∞)上f(x)>0，故在(0,2)上f(x)單調(diào)遞減，在(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，則f(x)min=f(2)=2(aln2一a一1)，又x趨向于0或負(fù)無窮時(shí)，f(x)趨向正無窮，只需g(a)=a(ln2一1)一1<0成立，（ii）由（i在ln1<a<0時(shí)，f(x)存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1,x2，由（i）知：在(2,+∞)上f(x)單調(diào)遞增，只需證f(4一x1)<f(x2)=f(x1)=0，第17頁/共19頁則hx=2a(x24x2anx.所以h(x)<h(2)=2aln22aln24a+4a=0，即f(4x1)<f(x1)=f(x2)成立，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，首先利用第一問及其零點(diǎn)個(gè)數(shù)將參數(shù)范圍限定在a<0，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究其最值求范圍，再令0<x1<2<x2，將問題轉(zhuǎn)化為證f(4—x1)<f(x1)是關(guān)鍵.都有akak1=2或3，則稱An為H數(shù)列（1）列出所有H數(shù)列A5的情形；（2）寫出一個(gè)滿足a5k=5k(k=1,2,…,405)的H數(shù)列A2025的通項(xiàng)公式；（3）在H數(shù)列A2025中