132垂線（分層練習(xí)）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

13.2垂線（分層練習(xí)）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）在同一平面內(nèi)，若與的兩邊分別垂直，且比的3倍少40°，則的度數(shù)為（

）．A．20° B．55° C．20°或125° D．20°或55°【答案】C【分析】因?yàn)閮蓚€(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，又因比的3倍少，所以可設(shè)是x度，利用方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)是x度，根據(jù)題意，得①兩個(gè)角相等時(shí)，如圖1：，解得，，故，②兩個(gè)角互補(bǔ)時(shí)，如圖2：，所以，故的度數(shù)為：或故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線，本題需仔細(xì)分析題意，利用方程即可解決問(wèn)題．關(guān)鍵是得到與數(shù)量關(guān)系．2．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則表示點(diǎn)A到直線CD距離的是（）A．線段CD的長(zhǎng)度 B．線段AC的長(zhǎng)度 C．線段AD的長(zhǎng)度 D．線段BC的長(zhǎng)度【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度即為該點(diǎn)到這條直線的距離作答即可．【詳解】解：點(diǎn)A到CD的距離是線段AD的長(zhǎng)度．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并理解點(diǎn)到直線的距離的概念．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在三角形中，，，為垂足，則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng) B．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng) C．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng) D．點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離定義，對(duì)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：A、點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C、點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D、點(diǎn)到的距離是線段的長(zhǎng)，故該選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握點(diǎn)到直線的距離就是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)．4．（2021春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是直線外的一點(diǎn)，點(diǎn)、、在直線上，且，垂足是，，則下列不正確的語(yǔ)句是（

）A．線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離 B．、、三條線段中，最短C．線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離 D．線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離【答案】C【分析】利用點(diǎn)到直線的距離的定義、垂線段最短分析．【詳解】解：A、根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義：即點(diǎn)到這一直線的垂線段的長(zhǎng)度．故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、根據(jù)垂線段最短可知此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、線段AP的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到這一直線的垂線段的長(zhǎng)度．故此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，及垂線段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂線段最短的概念．5．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)P在直線外，，，則線段的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)連接從直線外一點(diǎn)到這條直線上的所有點(diǎn)的線段中，垂線段最短求解了可．【詳解】解：∵，∴于點(diǎn)B，∴，∴可能，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段最短，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在紙片上有一直線l，點(diǎn)A在直線l上，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過(guò)90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對(duì) B．只有淇淇對(duì)C．兩人都對(duì) D．兩人都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．【詳解】解：嘉嘉利用量角器畫(huà)90°角，可以畫(huà)垂線，方法正確；淇淇過(guò)點(diǎn)A將紙片折疊，使得以A為端點(diǎn)的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)P是直線a外的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語(yǔ)句是（

）A．線段PB的長(zhǎng)是點(diǎn)P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短C．線段AP的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離 D．線段AP的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義，垂線段最短的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】A.PB⊥a，線段PB的長(zhǎng)是點(diǎn)P到直線a的距離，故該選項(xiàng)正確，符合題意；B.PA、PB、PC三條線段中，PB最短，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.PA⊥PC，線段AP的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線PC的距離，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.PA⊥PC，線段CP的長(zhǎng)是點(diǎn)C到直線PA的距離，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，垂線段最短的性質(zhì)，理解點(diǎn)到直線的距離的定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2021春·上海金山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，EF⊥AB于點(diǎn)O，∠COE=50°，那么∠BOD=________．【答案】##40度【分析】根據(jù)EF⊥AB，即得出，從而可根據(jù)求解．【詳解】∵EF⊥AB于點(diǎn)O，∴．∵∠COE=50°，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂線的定義和角的運(yùn)算．確定出是解題關(guān)鍵．9．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，OC⊥OB，如果∠AOC：∠AOB=1：4，那么∠AOB=___度．【答案】120【分析】根據(jù)垂直的定義以及角度的比，可求出∠AOC，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，又∵∠AOC：∠AOB=1：4，∴∠AOC：∠BOC=1：3，∴∠AOC=×90°=30°，∴∠AOB=90°+30°=120°，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查垂線，角的計(jì)算，理解垂直的定義以及角的和差關(guān)系是正確解答的前提．10．（2021春·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，AE是中BC邊上的高，D在BC邊上，且，那么圖中表示點(diǎn)到直線距離的線段有______條．【答案】6【分析】根據(jù)題干中的垂直關(guān)系找到對(duì)應(yīng)的垂線段即可．【詳解】解：因?yàn)锳E是高，，所以：AE表示點(diǎn)A到BC的距離；CE表示點(diǎn)C到AE的距離．BE表示點(diǎn)B到AE的距離；AD表示點(diǎn)D到AC的距離．AC表示點(diǎn)C到AD的距離；DE表示點(diǎn)D到AE的距離．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段的應(yīng)用，在找垂線段時(shí)不要出現(xiàn)漏數(shù)或多數(shù)的情況，熟知垂線段的定義是解決本題的關(guān)鍵．11．（2021春·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ABC中，CD⊥AB，點(diǎn)B到CD邊的距離是線段__________的長(zhǎng)；【答案】BD【分析】點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長(zhǎng)度．【詳解】解：點(diǎn)B到直線CD的垂線段是BD，所以點(diǎn)B到CD邊的距離是線段BD的長(zhǎng)度．故答案是：BD．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義．注意距離是線段的長(zhǎng)度，不是線段．12．（2019春·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）兩條相交直線所成的一個(gè)角為140°，則它們的夾角是__________.【答案】40°【分析】根據(jù)兩直線相交的特點(diǎn)，可求出另一個(gè)角為，然后即可求得它們的夾角（一般為較小的一個(gè)角）.【詳解】另一個(gè)角為180°140°=40°，則它們的夾角（一般為較小的一個(gè)角）為40°.故答案為40°.13．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）平面內(nèi)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)且垂直于已知直線的直線共有_______條【答案】1【分析】根據(jù)垂線的性質(zhì)：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作已知直線的垂線，這一點(diǎn)有可能在直線上，也可能在直線外，但是無(wú)論是這一點(diǎn)在直線上還是在直線外都只能做一條直線與已知直線垂直．【點(diǎn)睛】本題考查垂線的性質(zhì)．熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，在△ABC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，那么點(diǎn)B到直線AD的距離是線段_____的長(zhǎng)度．【答案】BD##DB【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念進(jìn)行判斷，直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．【詳解】解：∵AD⊥BD于D，∴點(diǎn)B到直線AD的距離是線段BD的長(zhǎng)，故答案為：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，解題時(shí)注意：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段．15．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線AC與直線DE相交于點(diǎn)O，若，，垂足為O，則______°．【答案】55【分析】先根據(jù)垂直的定義求出，再由對(duì)頂角相等求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：55．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的定義，對(duì)頂角相等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（2022春·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖，已知于O，，那么_________．【答案】30°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠AOB＝90°，結(jié)合圖形找到相關(guān)角間的和差關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】∵AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∵∠BOD＝120°，∴∠AOD＝∠BOD?∠AOB＝120°?90°＝30°，故答案是：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，如果兩個(gè)角的和等于90°，兩個(gè)角互為余角．17．（2020春·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB和CD交于O點(diǎn)，EO⊥CD，∠EOB=50°，則∠AOC=_____．【答案】40°【分析】根據(jù)垂直的性質(zhì)即可求出∠AOC的值．【詳解】∵EO⊥CD，∴∠COE=90°，∴∠AOC=180°﹣∠BOE﹣∠COE=180°﹣50°﹣90°=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．三、解答題18．（2021春·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖：直線AB和CD相交于點(diǎn)O，，且，求：的度數(shù)解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（_____________）又∵∴（___________________）∵（已知）∴__________（等量代換）∴___________(等式性質(zhì))∴_______（等式性質(zhì)）【答案】；對(duì)頂角相等；；等量代換；；；．【分析】根據(jù)垂直定義，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換求解即可．【詳解】解：∵（已知）∴（垂直定義）∵（對(duì)頂角相等）又∵∴（等量代換）∵（已知）∴（等量代換）∴(等式性質(zhì))∴（等式性質(zhì)）．【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度計(jì)算，垂直定義，對(duì)頂角性質(zhì)，等量代換概念，關(guān)鍵是要熟記定義和性質(zhì)．【能力提升】一、單選題1．（2022春·上海·七年級(jí)階段練習(xí)）下列語(yǔ)句中錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)B．0.087用科學(xué)記數(shù)法可表示為8.7×10﹣2C．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．點(diǎn)到直線的距離就是這點(diǎn)到這條直線的垂線段【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸，科學(xué)記數(shù)法﹣表示較小的數(shù)，垂線，點(diǎn)到直線的距離定義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．?dāng)?shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，正確；B.0.087用科學(xué)記數(shù)法可表示為8.7×10﹣2，正確；C．在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，正確；D．點(diǎn)到直線的距離就是這點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，科學(xué)記數(shù)法﹣表示較小的數(shù)，垂線，點(diǎn)到直線的距離，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)的方法，垂線的性質(zhì)定理，點(diǎn)到直線的距離定義．2．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）觀察如圖圖形，并閱讀相關(guān)文字：那么10條直線相交，最多交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．10 B．20 C．36 D．45【答案】D【分析】根據(jù)直線的條數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)寫(xiě)出關(guān)系式，然后把10代入關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】2條直線相交，只有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，…，n條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn)，n=10時(shí)，45．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段，寫(xiě)出直線條數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，OD⊥OC，那么∠AOD＝_____°．【答案】54【分析】根據(jù)∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，可求出∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，再根據(jù)OD⊥OC，得出∠COD＝90°，最后根據(jù)互余求出答案．【詳解】解：∵∠AOB＝72°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°，又∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線，垂直，理解角平分線和垂直的意義是正確計(jì)算的前提．4．（2022春·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則點(diǎn)A到直線BC的距離是線段_____的長(zhǎng)度．【答案】AD##DA【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離及線段的長(zhǎng)的意義可求出答案．【詳解】解：∵AD⊥BC，垂足為D，∴點(diǎn)A到直線BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度．故答案為：AD．【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)到直線的距離及線段的長(zhǎng)的意義．5．（2022春·上海松江·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線、交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，則的度數(shù)為_(kāi)_________．【答案】35°【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠CEF=90°，根據(jù)求出∠AEC=35°，再根據(jù)對(duì)頂角相等求出的度數(shù).【詳解】∵，∴∠CEF=90°，∴∠AEC+∠AEF=90°，∵，∴∠AEC=35°，∴=∠AEC=35°，故答案為：35°.【點(diǎn)睛】此題考查垂直的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握?qǐng)D形中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6．（2020春·七年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，已知AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．（1）點(diǎn)A到直線BC的距離是線段_______的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)D到直線AF的距離是線段_______的長(zhǎng)；（3）線段AF的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線_______距離；（4）線段CE的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到直線_______距離；（5）線段BE的長(zhǎng)表示點(diǎn)_______到直線______距離；（6）線段CF的長(zhǎng)表示點(diǎn)_______到直線______距離；【答案】

AE

DF

CD

AE

B

AE

C

AF【分析】點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長(zhǎng)度，兩點(diǎn)間的距離是連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度．【詳解】（1）點(diǎn)A到直線BC的距離是線段AE的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)D到直線AF的距離是線段DF的長(zhǎng)；（3）線段AF的長(zhǎng)表示點(diǎn)A到直線CD距離；（4）線段CE的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到直線AE距離；（5）線段BE的長(zhǎng)表示點(diǎn)B到直線AE距離；（6）線段CF的長(zhǎng)表示點(diǎn)C到直線AF距離；故答案為：(1).AE

(2).DF

(3).CD

(4).AE

(5).B

(6).AE

(7).C

(8).AF【點(diǎn)睛】此題考查點(diǎn)到直線的距離的定義，兩點(diǎn)間的距離的定義，解題關(guān)鍵在于掌握其定義.7．（2020春·七年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，已知AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，BC=8，AC=6，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6．則：（1）點(diǎn)A到直線CD的距離為_(kāi)________；（2）點(diǎn)A到直線BC的距離為_(kāi)________；（3）點(diǎn)B到直線CD的距離為_(kāi)________；（4）點(diǎn)B到直線AC的距離為_(kāi)________；（5）點(diǎn)C到直線AB的距離為_(kāi)________．【答案】

AD

AC

BD

BC

CD【分析】點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長(zhǎng)度，兩點(diǎn)間的距離是連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度．【詳解】（1）點(diǎn)A到直線CD的垂線段是AD；（2）點(diǎn)A到直線BC的垂線段是AC；（3）點(diǎn)B到直線CD的垂線段是BD；（4）點(diǎn)B到直線AC的