專題925菱形（題型分類拓展）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.25菱形（題型分類拓展）【題型目錄】【題型1】菱形中的作圖題；【題型2】坐標(biāo)系中的菱形；【題型3】菱形中的折疊與重合問題；【題型4】菱形中的旋轉(zhuǎn)問題；【題型5】菱形中的最值問題；【題型6】菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題.單選題【題型1】菱形中的作圖題；1．（2024上·山西運(yùn)城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在菱形中，按如下步驟作圖：①分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圖心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，；②作直線，與交于點(diǎn)，連接，若，直線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2023上·福建漳州·九年級(jí)漳州三中校聯(lián)考期中）閱讀以下作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)N，M；（2）分別以N，M為圓心，以長為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)P；（3）作射線，連接，，如圖所示．根據(jù)以上作圖，不一定可以推得的結(jié)論是（

）A．平分 B．四邊形為菱形C． D．3．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，按以下步驟作圖：①以頂點(diǎn)B為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)E；②分別以D、E為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，作射線交于點(diǎn)G，連接，若，，則菱形的面積為（

）

A．16 B． C． D．12【題型2】坐標(biāo)系中的菱形；4．（2024上·甘肅白銀·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)D在x軸上，邊在y軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．5．（2023上·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是菱形的對(duì)角線的中點(diǎn)，軸且，，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．6．（2023上·山東棗莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一菱形且，點(diǎn)O，B在y軸上，，現(xiàn)在把菱形向右無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的落點(diǎn)依次為…，連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，則的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【題型3】菱形中的折疊與重合問題；7．（2024下·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示的是一個(gè)對(duì)角線長分別為6和8的菱形，為對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)所在的直線折疊菱形，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕是.若，則的長為（

）A．5 B．4 C．3 D．28．（2023上·遼寧朝陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，得到菱形．若，則的長為（

）A．1 B．2 C． D．9．（2023下·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，，，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊，將矩形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)C落在邊上點(diǎn)P處，連接，交于點(diǎn)Q，①；②四邊形是菱形；③P，A重合時(shí)，；④點(diǎn)C、M、G三點(diǎn)共線．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型4】菱形中的旋轉(zhuǎn)問題；10．（2023上·浙江杭州·九年級(jí)杭師大附中?？计谥校┪覀冎?，五邊形具有不穩(wěn)定性，正五邊形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，，固定邊，將正五邊形向右推，使點(diǎn)A，B，C共線，且點(diǎn)C落在y軸上，如圖2所示，此時(shí)邊旋轉(zhuǎn)度，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．11．（2022上·山西朔州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的邊長為8，，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)．如圖在點(diǎn)O處放置一個(gè)含角的三角板，把這個(gè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，斜邊與邊交于點(diǎn)F，直角邊與邊交于點(diǎn)E，若，則四邊形的面積是（

）A．隨著三角板的位置的變化而變化 B．C． D．12．（2019下·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)（即）與交于一點(diǎn)，（即）與交于一點(diǎn)時(shí)，給出以下結(jié)論：①；②；③；④的周長的最小值是.其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【題型5】菱形中的最值問題；13．（2023下·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，菱形的對(duì)邊、上分別有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N，若的最大值為，最小值為4，則菱形的面積為（

）A．18 B．28 C． D．14．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）如圖，在菱形中，，點(diǎn)P在上，點(diǎn)E為中點(diǎn)，且，則邊的最大值等于（

）A．2 B． C． D．15．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型6】菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題.16．（2023上·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，并且．點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，延長交于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過程中（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），則四邊形的形狀變化依次是（

）

A．平行四邊形矩形平行四邊形菱形平行四邊形B．平行四邊形矩形平行四邊形正方形平行四邊形C．平行四邊形菱形平行四邊形矩形平行四邊形D．平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形17．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，，分別為，的中點(diǎn)，連接，則（）

A． B． C． D．118．（2023下·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，，M是邊的中點(diǎn)，N是邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿所在的直線翻折得到，連接．對(duì)于結(jié)論I、Ⅱ，下列判斷正確的是（

）

結(jié)論I：當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；結(jié)論Ⅱ：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的長度為A．I對(duì)Ⅱ不對(duì) B．I不對(duì)Ⅱ?qū)?C．I、Ⅱ都不對(duì) D．I、Ⅱ都對(duì)填空題【題型1】菱形中的作圖題；19．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，，取大于的長為半徑，分別以點(diǎn)，為圓心作弧相交于兩點(diǎn)，過此兩點(diǎn)的直線交邊于點(diǎn)（作圖痕跡如圖所示），連接，．則的度數(shù)為．

20．（2023上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，；②過點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)；③連接．若，則菱形的周長為．【題型2】坐標(biāo)系中的菱形；21．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？计谀┤绻c(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．這是小白在一本課外書上看到的一種求線段中點(diǎn)坐標(biāo)的方法，請(qǐng)你利用這種方法解決下面的問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，四邊形是菱形，D的坐標(biāo)為．若直線l把矩形和菱形組成的圖形的面積分成相等的兩部分，且直線l平分矩形的面積和菱形的面積，則直線l的解析式為．22．（2023下·湖南衡陽·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、．如果存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則m的值等于（任寫三個(gè)即可）【題型3】菱形中的折疊與重合問題；23．（2023上·遼寧鐵嶺·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是菱形邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿直線折疊得到，連接．已知，當(dāng)為直角三角形時(shí)，線段的長為．24．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校┝庑沃?，，E，F(xiàn)分別在，邊上，將菱形沿折疊，點(diǎn)A，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，且經(jīng)過B點(diǎn)，若，則．【題型4】菱形中的旋轉(zhuǎn)問題；25．（2023下·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為4的正方形紙片沿對(duì)折再展平，沿折痕剪開，得到矩形和矩形，再將矩形繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則圖②中陰影部分的周長為．

26．（2014下·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，⊿ACF經(jīng)旋轉(zhuǎn)后能與⊿ABE重合，且∠BAE＝20o，則∠FEC的度數(shù)是【題型5】菱形中的最值問題；27．（2023上·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)和分別是邊和上的動(dòng)點(diǎn)，線段的最大值是，最小值是，則這個(gè)菱形的邊長是．

28．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)分別在邊，上，連接，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段上，則的最大值為．【題型6】菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題.29．（2023上·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，，交于點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接并延長，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．30．（2023上·山西太原·九年級(jí)太原市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，連接．若是以為底的等腰三角形，則的長為．解答題【題型1】菱形中的作圖題；31．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，連接，．（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線交

于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接（不下結(jié)論、不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）所作圖中，證明四邊形為菱形，完成下列填空．證明：∵垂直平分．∴①，∴．∵∴，．∴．②∴．∴③；即．∵．∴．又∵④∴四邊形是⑤∵⑥∴四邊形為菱形．【題型2】坐標(biāo)系中的菱形；32．（2022下·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為，，，且、滿足．

（1）矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．（2）若是中點(diǎn)，沿折疊矩形，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為，連接并延長交軸于點(diǎn)．求證：四邊形是平行四邊形．（3）若點(diǎn)在軸上，則在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【題型3】菱形中的折疊與重合問題；33．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)課上，某興趣小組對(duì)“矩形的折疊”作了如下探究．將矩形紙片先沿折疊．【特例探究】（1）如圖1，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．四邊形的形狀為，請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，若點(diǎn)F為的中點(diǎn)，，，延長交于點(diǎn)P．求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【深入探究】（3）如圖3，若，，，連接，當(dāng)點(diǎn)E為的三等分點(diǎn)時(shí)，直接寫出的值．【題型4】菱形中的旋轉(zhuǎn)問題；34．（2023上·甘肅蘭州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形中，，，．對(duì)角線相交于點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交于點(diǎn)．【問題解決】（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，四邊形是平行四邊形；【類比探究】（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與總保持相等；【拓展應(yīng)用】（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

【題型5】菱形中的最值問題；35．（2021下·廣東廣州·八年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕為PQ．過點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．（1）求證：四邊形PBFE為菱形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)．①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖2），求菱形PBFE的邊長；②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動(dòng)，菱形PBFE的面積有最值嗎？若有，請(qǐng)寫出，若沒有，填“無”．最大值為；最小值為．【題型6】菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題.36．（2023上·吉林白城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為等邊三角形，點(diǎn)D為直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以為邊作菱形（A、D、E、F逆時(shí)針排列），使，連接．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊上時(shí)，求證：①；②；（2）如圖2，點(diǎn)D在的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．參考答案：1．D【分析】本題考查線段垂直平分線的作法，菱形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)作圖得出是線段的垂直平分線，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再用勾股定理解求出，解求出．解：四邊形是菱形，，，由作圖過程可知是線段的垂直平分線，，，，，菱形中，，，故選D．2．C【分析】本題考查的是角平分線的作圖，菱形的判定與性質(zhì)，掌握作角平分線的方法是解本題的關(guān)鍵；由作圖可得，，再逐一分析可得答案．解：由作圖可得：，，∴平分，四邊形為菱形，∴，而不一定成立，故A，B，D不符合題意；C符合題意；故選C3．B【分析】由作圖可知：，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而可得，然后設(shè)，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理求出的長，再利用菱形的面積公式進(jìn)行求解即可．解：由作圖可知：，四邊形是菱形，，，設(shè)，在中，，，，在中，，即，解得（負(fù)值已舍去），即：，∴，∴，∴菱形的面積為；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、基本作圖—作垂線、含30度角的直角三角形，勾股定理，通過作圖方法，得到，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，在中，利用勾股定理求出即可解決問題．解：∵，，∵四邊形是菱形，，在中，，．故選：B．5．D【分析】根據(jù)題意得出是等邊三角形，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可求解．解：如圖所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴是等邊三角形，則，∵是菱形的對(duì)角線的中點(diǎn)，∴∵軸，則，∴∴，，∴∵關(guān)于對(duì)稱，∴,故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】連接交y軸于點(diǎn)D，根據(jù)條件可以求出，畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4．由于，因此點(diǎn)向右平移1348（即）到點(diǎn)，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：連接交y軸于點(diǎn)D，如圖所示，∵四邊形是菱形，∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，畫出第5次?第6次?第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，由圖可知:每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4，∵，∴點(diǎn)向右平移1348（即）到點(diǎn)，，∵的坐標(biāo)為，∴的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律探索，菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了操作、探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力．發(fā)現(xiàn)“每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4”是解決本題的關(guān)鍵．7．B【解析】略8．D【分析】根據(jù)菱形及矩形的性質(zhì)可得到的度數(shù)，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得的長．解：四邊形為菱形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，又，，在中，，又，，，，中，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊以及菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)特殊角，根據(jù)的直角三角形中各邊之間的關(guān)系求得的長．9．C【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設(shè)，得，進(jìn)而得，這個(gè)不一定成立，判斷①錯(cuò)誤；點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，進(jìn)而用勾股定理求得，判斷出③正確；結(jié)合矩形的性質(zhì)可知，進(jìn)而可證明，即可判斷④．解：，，由翻折可知：，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，故②正確；，，，，若，則，，這個(gè)不一定成立，故①錯(cuò)誤；點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2，

設(shè)，則，在中，，即，解得，，，，，，故③正確；由折疊可知：，，四邊形是菱形，，，，，三點(diǎn)一定在同一直線上，故④正確，綜上所述：正確的結(jié)論有②③④，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)撥】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理、勾股定理是解本題的關(guān)鍵．10．A【分析】先利用正方形多邊形的性質(zhì)求出正五邊形變形前度數(shù)，再在變形后的圖形中，連接．證明是等邊三角形，四邊形是菱形，利用等邊三角形和菱形的性質(zhì)求出變形后的度數(shù)，然后用變形后度數(shù)變形前的度數(shù)求解．解：在圖1中，∵正五邊形∴在圖2中，連接．∵正五邊形，，∵，∴，，∴是等邊三角形，四邊形是菱形，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查正多邊的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，菱的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．D【分析】取AD的中點(diǎn)H，利用菱形的性質(zhì)即可證明，四邊形的面積與三角形ODH的面積相等，按三角形的面積公式求出面積即可．解：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接OH，∵四邊形ABCD是菱形，BD為對(duì)角線，∴BD平分，，∵，∴,∴，∴為等邊三角形，∵菱形的邊長為8，∴,∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，∴，∴為等邊三角形，∴，,∵,∴,即，在與中，，∴，∴四邊形的面積與的面積相等，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，∴，根據(jù)勾股定理，，，∴四邊形的面積為，故選D．【點(diǎn)撥】本題是菱形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，對(duì)角線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握菱形的性質(zhì)，全等三角形的證明是本題的解題關(guān)鍵．12．B【分析】根據(jù)題意可證△ABE≌△BDF，可判斷①②③，由△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，則當(dāng)EF最小時(shí)△DEF的周長最小，根據(jù)垂線段最短，可得BE⊥AD時(shí)，BE最小，即EF最小，即可求此時(shí)△BDE周長最小值．解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°∴△ABD，△BCD為等邊三角形，∴∠A=∠BDC=60°，∵將△BCD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°，故①正確，③錯(cuò)誤；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°，故②正確∵△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴當(dāng)EF最小時(shí)，∵△DEF的周長最?。摺螮BF=60°，BE=BF，∴△BEF是等邊三角形，∴EF=BE，∴當(dāng)BE⊥AD時(shí)，BE長度最小，即EF長度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=，∴△DEF的周長最小值為4+，故④正確，綜上所述：①②④說法正確，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，最短路徑問題，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．13．D【分析】過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)的最值分別得到，，利用勾股定理求出，設(shè)，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再利用面積公式計(jì)算．解：如圖，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，最大，∴，當(dāng)時(shí)，最小，∴，∴，在菱形中，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，即，∴菱形的面積為，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．14．B【分析】首先連接由已知條件可以得出（當(dāng)P是與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），再利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出長的最大值．解：連接根據(jù)四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，設(shè)，則，由勾股定理得：，∴，所以，即長的最大值是，故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，得出是等邊三角形，是解決問題的關(guān)鍵．15．A【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，垂線段最短，連接，由菱形的性質(zhì)得，，，利用勾股定理可以求得的長為，又因?yàn)?，，可證四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，最短，再利用面積法求出的長即可求解的最小值，熟練掌握矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，，又∵，，∴，∴四邊形為矩形，∴，當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，，∴，∴的最小值為，故選：．16．C【分析】本題主要考查平行四邊形，矩形，菱形的判定的應(yīng)用，熟練掌握行四邊形，矩形，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．先判斷出點(diǎn)在移動(dòng)過程中，四邊形始終是平行四邊形，再得出當(dāng)，是菱形，當(dāng)時(shí)，是矩形，即可得到結(jié)論．解：對(duì)角線、交于點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當(dāng)時(shí)，，，，四邊形是菱形，當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，，，，即當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過程中（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），則四邊形的形狀變化依次是平行四邊形菱形平行四邊形矩形平行四邊形．故選：C．17．B【分析】連接，利用三角形中位線定理，可知，求出的最小值即可解決問題．解：連接，如圖所示：四邊形是菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，是的中位線，，當(dāng)時(shí)，最小，得到最小值，則，，是等腰直角三角形，，，即的最小值為，故選：B．

【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．18．D【分析】按照“四條邊相等的四邊形為菱形”定理判斷；連接，過點(diǎn)C作，根據(jù)勾股定理求出即可求出的長度.解：由折疊可知，，，若，∵，∴，∴，即四邊形是菱形，故結(jié)論I正確；連接，過點(diǎn)C作，如下圖所示，

∵是平行四邊形，，∴，∴，∴又∵M(jìn)是邊的中點(diǎn)，∴在中，，由勾股定理得，，∵，∴的長度為，∴Ⅱ正確，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，掌握判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.19．【分析】由菱形，可得，從而得到，再根據(jù)題意可得所作直線為的垂直平分線，即可得，故可得，故可得的度數(shù)．解：四邊形為菱形，，，根據(jù)題意可得所作直線為的垂直平分線，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握上述性質(zhì)進(jìn)行角度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．【分析】根據(jù)作圖可得是的中點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得周長．解：根據(jù)作圖可知是的垂直平分線，∴是的中點(diǎn)，∵菱形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴菱形的周長為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了作線段垂直平分線，菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．21．【分析】本題主要考查了矩形和菱形的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)求解函數(shù)解析式的方法和步驟；連接，令中點(diǎn)為點(diǎn)M，中點(diǎn)為點(diǎn)N，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出M和N的坐標(biāo)，根據(jù)題意可得直線l經(jīng)過點(diǎn)M和點(diǎn)N，再用待定系數(shù)法即可求出l的解析式．解：∵矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，連接，令中點(diǎn)為點(diǎn)M，中點(diǎn)為點(diǎn)N，∵，，，∴，，即，∵直線l平分矩形的面積和菱形的面積，∴直線l經(jīng)過點(diǎn)M和點(diǎn)N，設(shè)直線l的解析式為，把代入得：，解得：，∴直線l的解析式為，故答案為：．22．3或或2或（任寫3個(gè)即可）【分析】根據(jù)題意分為菱形的邊和為菱形的對(duì)角線兩種情況討論，然后利用菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)系的特點(diǎn)，結(jié)合勾股定理求解即可．解：如圖所示，當(dāng)為菱形的邊時(shí)，

∵四邊形是菱形∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，在y軸上∵∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴m的值等于3；如圖所示，當(dāng)為菱形的邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸時(shí)，

∵，∴，∴∵四邊形是菱形∴∵∴C點(diǎn)坐標(biāo)為∴m的值等于；如圖所示，當(dāng)為菱形的邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在x軸的正半軸時(shí)，

∵四邊形是菱形∴∵∴C點(diǎn)坐標(biāo)為∴m的值等于2；如圖所示，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，

∵，，∵四邊形是菱形∴，即∴解得；綜上所述，m的值等于3或或2或．故答案為：3或或2或（任寫3個(gè)即可）．【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．23．2或【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，含角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等．分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)兩種情況討論求解即可．解：如圖1所示，當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)H，連接，∴，∵四邊形是菱形，E為中點(diǎn)，∴，，，由折疊的性質(zhì)可知，，∴，連接，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵由三角形三邊的關(guān)系可知，當(dāng)點(diǎn)不在線段上時(shí)，必有，這與矛盾，∴E、、H三點(diǎn)共線，∴，∴為等邊三角形，∴；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，連接，，過點(diǎn)F作于G，∵，四邊形是菱形，∴，，∴是等邊三角形，∵E是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴此時(shí)D、、E三點(diǎn)共線，由翻折的性質(zhì)可得，∵，，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴．故答案為：2或．24．【分析】延長交的延長線于點(diǎn)H，作交的延長線于點(diǎn)G，由菱形的性質(zhì)得，則，所以，由，得，則，所以四邊形是矩形，由折疊得，，所以，，則，設(shè)則可求得，所以則，，所以，可求得則即可求得，于是得到問題的答案．解：延長交的延長線于點(diǎn)H，作交的延長線于點(diǎn)G，則，

∵四邊形是菱形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，由折疊得，，∴，∴F，∴設(shè)則∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．25．10【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出，得到，，然后可設(shè)的長度為x，則，根據(jù)勾股定理列方程可解出x，最后證明陰影部分是菱形后，即可求出其周長．解：如圖，設(shè)交于G，旋轉(zhuǎn)后交于點(diǎn)H，

由題意知，，，又∵，∴，∴，，設(shè)，則，在中，，解得：，∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴為菱形，∴陰影部分的周長為：，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是勾股定理以及菱形的判定．26．20°．解：試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AC=AB，AE=AF，∠BAE=∠CAF=20°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AC=AB，∴△ACB是等邊三角形，∴∠CAB=∠B=60°，∵∠BAE=∠CAF=20°，∴∠EAF=∠BAC=60°，∴△AEF是等邊三角形；∵∠BAE=20°，∠B=60°，∴∠AEC=∠BAE+∠B=80°，∵△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEC﹣∠AEF=20°．故答案是20°．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)．27．【分析】當(dāng)點(diǎn)與重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段的最大值是，當(dāng)時(shí)，最小值是，如圖所示（見詳解），過點(diǎn)作延長線于，在，中，根據(jù)勾股定理即可求解．解：四邊形是菱形，點(diǎn)和分別是邊和上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段的最大值是，當(dāng)時(shí)，最小值是，如圖所示，過點(diǎn)作延長線于，∵四邊形是菱形，∴，當(dāng)點(diǎn)與重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段的最大值是，即，當(dāng)時(shí)，最小值是，∴（是邊上的高），且，∴在中，，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與菱形，直角三角形勾股定理的綜合，理解動(dòng)點(diǎn)中線段最大值與最小值，菱形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．28．【分析】如圖所示，作于點(diǎn)，連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，在中可求出的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得是的垂直平分線，可得，當(dāng)時(shí)，的值最小，則的值最大，由此即可求解．解：如圖所示，作于點(diǎn)，則，連接、，

∵四邊形是菱形，，∴，∵，，∴在中，，∴，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段上，∴垂直平分，∴，∵由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，∴的最小值為，∵當(dāng)最小時(shí)，最大，∴的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的綜合，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．29．/【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線，由菱形的性質(zhì)可得，，，由勾股定理計(jì)算出，由三角形中位線定理可得，，證明可得，再由，即可得到答案，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．解：∵四邊形是菱形，，，，，在中，由勾股定理，得，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中位線，，，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，故答案為：．30．/【分析】如圖所示，作的垂直平分線分別交于M，交延長線于F，過點(diǎn)B作于H，則時(shí)是以為底的等腰三角形，，先證明四邊形是矩形，得到，，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得答案．解：如圖所示，作的垂直平分線分別交于M，交延長線于F，過點(diǎn)B作于H，∴此時(shí)是以為底的等腰三角形，，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線，通過構(gòu)造矩形是解題的掛機(jī)．31．（1）畫圖見分析（2）①；②；③；④；⑤平行四邊形；⑥【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法作圖即可；（2）先證明，再證，得到，再證明，接著證明四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是菱形．（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵垂直平分，，，即∵∴四邊形是平行四邊形．∵．∴四邊形為菱形．故答案為：①；②；③；④；⑤平行四邊形；⑥．【點(diǎn)撥】本題主要考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，直角三角形兩銳角互余等等，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)與作圖方法是解題的關(guān)鍵．32．（1）（2）見分析（3）【分析】（1）由題意可求得和的值，再將其代入的坐標(biāo)即可求得；（2）由折疊的性質(zhì)可得，，由三角形外角性質(zhì)可得，可得，即可證明四邊形是平行四邊形；（3）分別以，為圓心，長為半徑畫圓和的線段垂直平分線與軸交點(diǎn)得出點(diǎn)的可能性，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)．（1）解：且，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，故答案為：；（2）證明：是中點(diǎn)，，折疊，，，，，，，，且四邊形是平行四邊形；（3）解：、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，分別以，為圓心，長為半徑畫圓和的線段垂直平分線與軸交點(diǎn)得出點(diǎn)，如圖所示：

，，【點(diǎn)撥】本題是四邊形的綜合題，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．33．（1）菱形，理由見分析；（2），理由見分析；（3）或【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)菱形的判定即可得；（2）連接，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得；（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理求解即可得．解：（1）四邊形的形狀為菱形，理由如下：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，∴四邊形的形狀為菱形，故答案為：菱形；（2）如圖，連接，四邊形是矩形，，由折疊的性質(zhì)可知