海南省海口市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

機(jī)密★啟用前海口市2023～2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若集合，，則（）A B. C. D.2.復(fù)數(shù)z=(其中i是虛數(shù)單位)，則z共軛復(fù)數(shù)=（）A. B. C. D.3.已知向量，，若與共線，則（）A.3 B. C. D.4.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.5.陀螺是中國(guó)民間較早娛樂(lè)工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，為圓錐的頂點(diǎn)，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，若圓錐的底面周長(zhǎng)為，高為3，圓柱的母線長(zhǎng)為4，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.6.已知，，則（）A. B. C. D.7.若函數(shù)，（，）圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且恒成立，則（）A. B. C. D.8.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，邊上的中線為，則的面積為（）A. B. C.3 D.4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.“綠水青山就是金山銀山”.?？谑惺冀K堅(jiān)持生態(tài)優(yōu)先，綠色低碳發(fā)展，空氣質(zhì)量長(zhǎng)期領(lǐng)“鮮”全國(guó).數(shù)據(jù)顯示，2023年海口市空氣質(zhì)量創(chuàng)歷史最高水平，位居全國(guó)168個(gè)重點(diǎn)城市之首.生活中常用空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）描述空氣質(zhì)量，AQI越小，表示空氣質(zhì)量越好.下表為2024年3月18日～3月24日一周內(nèi)?？谑泻屯瑸榭諝赓|(zhì)量排行榜前十的“某市”的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），這組數(shù)據(jù)中，以下表述正確的是（）A.?？谑羞@一周AQI的平均數(shù)為22B.“某市”這一周AQI的中位數(shù)為40C.兩市這一周AQI指數(shù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差可以反映出兩市空氣質(zhì)量變化的穩(wěn)定情況D.海口市這一周AQI指數(shù)的方差大于“某市”這一周AQI指數(shù)的方差10.設(shè)函數(shù)，，下列關(guān)于和的性質(zhì)，正確的是（）A.對(duì)任意的，，B.對(duì)任意的，且，C.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)D.函數(shù)在定義域上是增函數(shù)11.如圖，棱長(zhǎng)為1正方體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，與側(cè)面成角為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)所在軌跡長(zhǎng)為B.平面平面C.平面截正方體所得的截面圖形始終是四邊形D.點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等三、填空題：本題共3小題，每小題5分，第14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分，共15分.12.復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，，則______.13.平面向量，為單位向量，且，則______.14.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，與底面所成的角為，，，的面積為，所在的平面與球的交線長(zhǎng)為_(kāi)_____，球的表面積為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.為貫徹落實(shí)中央和省委相關(guān)部署要求，?？谑写罅﹂_(kāi)展人才引進(jìn)工作.現(xiàn)組織公開(kāi)招聘，共有100名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績(jī)都在內(nèi)，將筆試成績(jī)按照，，…，分組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的第75百分位數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）若計(jì)劃面試60人，請(qǐng)估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線（四舍五入取整數(shù)）.16.已知函數(shù)（），直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.17.已知函數(shù)，的最小值為.（1）求的值；（2）求的解集；（3）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.18.如圖，有一塊形如四棱錐的木料，平面，底面為菱形，，分別為和的中點(diǎn).（1）要經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和將木料鋸開(kāi)，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（在答題卡的圖中作出輔助線即可）指出與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）若，，，求二面角的大小；（3）試求切割開(kāi)的兩部分木料的體積之比.19.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中“”表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，又稱“的整數(shù)部分”.高斯函數(shù)在數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，我們記.（1）設(shè)方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解為與，且，求的值；（2）請(qǐng)確認(rèn)是否存在函數(shù)：，滿足對(duì)，都有：①；②同時(shí)成立.（3）求證：對(duì)，，.機(jī)密★啟用前?？谑?023～2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期末考試（數(shù)學(xué)）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】由，則，所以，又，所以.故選：C2.復(fù)數(shù)z=(其中i是虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，再由共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的求解，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量，，若與共線，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示，列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，與共線，所以，解得，故選：D.4.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義求出，，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以.故選：C5.陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂(lè)工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體，如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，為圓錐的頂點(diǎn)，，分別為圓柱上、下底面圓的圓心，若圓錐的底面周長(zhǎng)為，高為3，圓柱的母線長(zhǎng)為4，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐（圓柱）的底面圓的半徑為，圓錐的母線為，根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出，再由勾股定理求出，最后由表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)圓錐（圓柱）的底面圓的半徑為，圓錐的母線為，依題意可得，解得，所以，所以該幾何體的表面積.故選：A6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用切化弦的思想和兩角和差公式即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，又，所?故選：C.7.若函數(shù)，（，）圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，且恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)周期求出，再根據(jù)為最大值求出.【詳解】因?yàn)閳D象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，所以，即，又，所以，解得，所以，又恒成立，所以，解得，又，所以.故選：B8.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，，，邊上的中線為，則的面積為（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出，再用向量的方法表示中線，再由余弦定理可得的值，進(jìn)而求出該三角形的面積．【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由余弦定理可得，可得，而，可得，由余弦定理可得，即，①因?yàn)檫吷系闹芯€為，設(shè)中線為，則，兩邊平方可得，即，②②①可得，即，所以．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.“綠水青山就是金山銀山”.海口市始終堅(jiān)持生態(tài)優(yōu)先，綠色低碳發(fā)展，空氣質(zhì)量長(zhǎng)期領(lǐng)“鮮”全國(guó).數(shù)據(jù)顯示，2023年?？谑锌諝赓|(zhì)量創(chuàng)歷史最高水平，位居全國(guó)168個(gè)重點(diǎn)城市之首.生活中常用空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）描述空氣質(zhì)量，AQI越小，表示空氣質(zhì)量越好.下表為2024年3月18日～3月24日一周內(nèi)?？谑泻屯瑸榭諝赓|(zhì)量排行榜前十的“某市”的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），這組數(shù)據(jù)中，以下表述正確的是（）A.?？谑羞@一周AQI的平均數(shù)為22B.“某市”這一周AQI的中位數(shù)為40C.兩市這一周AQI指數(shù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差可以反映出兩市空氣質(zhì)量變化的穩(wěn)定情況D.?？谑羞@一周AQI指數(shù)的方差大于“某市”這一周AQI指數(shù)的方差【答案】AB【解析】【分析】由散點(diǎn)圖計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)判斷A、B;根據(jù)方差的意義和散點(diǎn)圖分析數(shù)值波動(dòng)程度可判定C、D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)散點(diǎn)圖分析可知，?？谑羞@一周AQI的平均數(shù)為，A正確對(duì)于B，觀察散點(diǎn)圖“某市”這一周AQI有，可知中位數(shù)為40，B正確；對(duì)于C，兩市這一周AQI指數(shù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差不能完全反映出兩市空氣質(zhì)量變化的穩(wěn)定情況，C錯(cuò)誤；對(duì)于D.根據(jù)散點(diǎn)圖觀察?？谑羞@一周AQI指數(shù)的波動(dòng)小于“某市”這一周AQI指數(shù)的波動(dòng)，所以海口市這一周AQI指數(shù)方差小于“某市”這一周AQI指數(shù)的方差，D錯(cuò)誤；故選:AB.10.設(shè)函數(shù)，，下列關(guān)于和的性質(zhì)，正確的是（）A.對(duì)任意的，，B.對(duì)任意的，且，C.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)D.函數(shù)在定義域上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析A，由基本不等式分析B，由函數(shù)奇偶性的判斷方法分析C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法分析D．【詳解】對(duì)于A：對(duì)任意的，，，故A正確；對(duì)于B：對(duì)任意的，且，，，由基本不等式，由于，且，，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，必有，解可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又由，即函?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)，易得在區(qū)間上為減函數(shù)，而在其定義域上為增函數(shù)，故函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，與側(cè)面成角為，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.動(dòng)點(diǎn)所在軌跡長(zhǎng)為B.平面平面C.平面截正方體所得的截面圖形始終是四邊形D.點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：得出點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓弧上，即可求解；對(duì)于B：通過(guò)條件證出平面，即可得證；對(duì)于C：通過(guò)條件得出平面截正方體的圖形還可以是五邊形，即可判斷；對(duì)于D：根據(jù)為中點(diǎn)，得到點(diǎn)和到平面的距離相等，即可判斷．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，連接，則即為與側(cè)面成角，所以，則，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧長(zhǎng)為，故A正確；對(duì)于B，在正方形內(nèi)，，，又，所以，所以，又平面，平面，所以，，平面，，所以平面，平面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，連接，則有，，，，四點(diǎn)共面，即平面截正方體的圖形是四邊形，如下圖：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在平面內(nèi)作直線，交的延長(zhǎng)線于，交于，連接，因?yàn)?，所以，，，四點(diǎn)共面，平面，，即平面截正方體的圖形是五邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)和到平面的距離相等，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于A關(guān)鍵是確定線面角，從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，對(duì)于C，關(guān)鍵是分類討論要全面.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，第14題第一問(wèn)2分，第二問(wèn)3分，共15分.12.復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算可得.【詳解】復(fù)數(shù)（）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以，又，解得（舍去）或.故答案為：13.平面向量，為單位向量，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則和性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，為單位向量，所以因?yàn)?，所以，所以；所以；?故答案為：.14.已知三棱錐的頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，與底面所成的角為，，，的面積為，所在的平面與球的交線長(zhǎng)為_(kāi)_____，球的表面積為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理得出三角形外接圓半徑為，再利用勾股定理求出球半徑，即可求解．【詳解】平面，平面，所以，又與底面所成的角為，即，，，，又因?yàn)?，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，設(shè)三角形外接圓半徑為，則，解得，所以所在平面與球的交線長(zhǎng)即為外接圓周長(zhǎng)，即，設(shè)球到平面的距離為，則有，解得，從而球半徑為，所以球的表面積為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.為貫徹落實(shí)中央和省委相關(guān)部署要求，?？谑写罅﹂_(kāi)展人才引進(jìn)工作.現(xiàn)組織公開(kāi)招聘，共有100名應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績(jī)都在內(nèi)，將筆試成績(jī)按照，，…，分組，得到如圖所示頻率分布直方圖.（1）求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的第75百分位數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）若計(jì)劃面試60人，請(qǐng)估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線（四舍五入取整數(shù)）.【答案】（1）第百分位數(shù)為，平均數(shù)為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)及平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）設(shè)最低分?jǐn)?shù)線定為，首先判斷，從而得到方程，解得即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以第百分位?shù)位于，設(shè)為，則，解得，所以第百分位數(shù)為，平均數(shù)；【小問(wèn)2詳解】設(shè)最低分?jǐn)?shù)線定為，由頻率分布直方圖可得，分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人；分?jǐn)?shù)在的人數(shù)為人；所以，則，解得，所以可估計(jì)參加面試最低分?jǐn)?shù)線分.16.已知函數(shù)（），直線是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性求出，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，所以，解得，又，所以，所以，所以函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即在上的值域?yàn)?17.已知函數(shù)，的最小值為.（1）求的值；（2）求的解集；（3）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，求出最小值，建立關(guān)于的方程，解方程得解；（2）解三角函數(shù)方程可得或，最后寫成集合形式得解；（3）求周長(zhǎng)范圍轉(zhuǎn)化為求的范圍，然后利用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求得取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈淖钚≈禐椋援?dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，即，所以或，解得或，，的解集為：或.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)樵阡J角中，，，，所以，即所以，所以，設(shè)的外接圓半徑為R，則有所以所以又所以，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為18.如圖，有一塊形如四棱錐的木料，平面，底面為菱形，，分別為和的中點(diǎn).（1）要經(jīng)過(guò)點(diǎn)，和將木料鋸開(kāi)，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（在答題卡的圖中作出輔助線即可）指出與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）若，，，求二面角的大?。唬?）試求切割開(kāi)的兩部分木料的體積之比.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，平面，證明見(jiàn)解析（2）（3）（或）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，再證明四邊形為平行四邊形，從而得到，即可證明平面；（2）首先證明平面，過(guò)點(diǎn)作，連接，則為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得；（3）依題意可得，不妨設(shè)，則，連接，求出，即可得解.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接、、，作圖