浙江省溫州市十校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期溫州十校聯(lián)合體期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由作出判斷方程有一個根是1，且2一定不是它的根，從而代入，解得，再解得，滿足，從而可以計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以方程有一個根是1，且2一定不是它的根，則，解得，當(dāng)時，方程的根是1和，所以，滿足，即.故選：A.2.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則的值為A.2 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函數(shù)解析式，將x代入可得答案．【詳解】解：∵函數(shù)f（x）＝（a﹣3）?ax是指數(shù)函數(shù)，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的定義：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)，屬于考查基本概念．3.設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C.1 D.－1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，從而得到其共軛復(fù)數(shù)，再確定其虛部.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.故選：C4.已知非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得且，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)滿足，顯然，則，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解值.【詳解】.故選:B6.已知正方形ABCD的邊長為2，若將正方形ABCD沿對角線BD折疊成三棱錐則在折疊過程中，不可能出現(xiàn)（）A. B.C.三棱錐的體積為 D.平面平面BCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由線面垂直的性質(zhì)定理即可判斷AB，由三棱錐的體積公式即可判斷C，由二面角的定義即可判斷D.【詳解】對于A，若，因?yàn)椋鍭BC，所以，而，即直角邊長與斜邊長相等，顯然不對，故A錯；對于B，取BD中點(diǎn)O，因?yàn)?，AO所以面AOC，所以，故B對；對于C，當(dāng)折疊所成的二面角時，頂點(diǎn)A到底面BCD的距離為，此時，故C對；對于D，當(dāng)沿對角線折疊成直二面角時，有平面平面，故D對；故選:A7.一個袋子中裝有大小相同的5個小球，其中有3個白球，2個黑球，從中無放回地取出3個小球，摸到一個白球記2分，摸到一個黑球記1分，則總得分的數(shù)學(xué)期望等于（）A.5分 B.4.8分 C.4.6分 D.4.4分【答案】B【解析】【分析】按白球的個數(shù)分類，然后換算成得分可能性，計(jì)算相應(yīng)的概率，再用公式求出期望即可.【詳解】設(shè)三個白球編號，黑球編號為，表示取到個白球，則，所有取法為種，則，，，的可能取值為，所以，總得分的數(shù)學(xué)期望等于分，故選：B.8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷出，，然后根據(jù)作差法結(jié)合基本不等式比較.【詳解】由題意，，，，由換底公式，，，由于，根據(jù)基本不等式，，故，即，于是.故選：A二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則下列命題正確的是（）A. B.向量在向量上的投影向量為C. D.【答案】AB【解析】【分析】對于A：求得，結(jié)合模長公式分析判斷；對于B：先求，結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解；對于C：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示分析判斷；對于C：根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示分析判斷.【詳解】因?yàn)?，對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以向量在向量上的投影向量為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以不平行，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以不垂直，故D錯誤；故選：AB.10.下列命題中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量，則B.已知隨機(jī)變量，若函數(shù)為偶函數(shù)，則C.數(shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8D.樣本甲中有件樣品，其方差為，樣本乙中有件樣品，其方差為，則由甲乙組成總體樣本的方差為【答案】ABC【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式及方差性質(zhì)可判斷A，利用正態(tài)曲線的對稱性可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的求法可判斷C，利用兩組數(shù)據(jù)方差的特征可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，，A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，，所以區(qū)間和區(qū)間是關(guān)于的對稱區(qū)間，所以，B正確；對于C，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)第80百分位數(shù)是8，C正確；對于D，記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為，由甲乙組成總體樣本的方差為，D不正確.故選：ABC11.定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則使得在上恒成立的可以是（）A.1 B.2 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，一步步轉(zhuǎn)化到時，，則，作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可求出的最大值.【詳解】由題意可知，如圖所示當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值為.即.故選：ABC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12._______【答案】152【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理得到的展開式，求出相加得到答案.【詳解】，，故.故答案為：15213.一位射擊運(yùn)動員向一個目標(biāo)射擊二次，記事件“第次命中目標(biāo)”，，則______．【答案】##0.3125【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及對立事件概率公式，全概率公式求解即可.【詳解】由題意，，所以.又，所以，所以.故答案為：14.已知在三棱錐中，，點(diǎn)為三棱錐外接球上一點(diǎn)，則三棱錐的體積最大為______．【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，得到，得出點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，求得外接球的半徑為，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離為時，此時的體積最大，利用體積公式，即可求解.【詳解】在三棱錐中，由且，可得，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋傻?，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，其中為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，可得，當(dāng)點(diǎn)到平面的距離為時，此時三棱錐的體積最大，體積的最大值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且（1）若，求的值；（2）若，且的面積為，求和的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將角化邊得到，從而得到，再由面積公式求出，解得即可【小問1詳解】因，，所以，所以；【小問2詳解】由，由正弦定理得，又，所以，又，因?yàn)?，所以，所以，解得（?fù)值已舍去）.16.已知四棱錐，⊥面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：面；（2）求直線與面所成的角．【答案】（1）證明見解析（2）30°【解析】【分析】（1）由線面垂直得到⊥，結(jié)合⊥，得到線面垂直，⊥，結(jié)合三線合一得到的，證明出線面垂直；（2）方法1：證明線面平行，得到點(diǎn)B到面的距離就是點(diǎn)到面距離，且結(jié)合（1）得點(diǎn)A到面距離為．從而求出直線與面所成角的正弦值，得到答案；方法2：利用等體積法求出點(diǎn)B到面的距離，進(jìn)而得到直線與面所成角的正弦值，得到答案；方法3：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量夾角的余弦值得到線面角的正弦值，得到答案：方法4：作出輔助線，并得到面，故為直線與面所成的角，記為，根據(jù)邊長關(guān)系得到，求出答案.【小問1詳解】因?yàn)槊?，平面，所以⊥，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以⊥，又，平面，故⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，又，故，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋矫妫势矫妫弧拘?詳解】方法1：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，點(diǎn)B到面的距離就是點(diǎn)到面距離，由勾股定理得，又，由（1）得點(diǎn)A到面距離為．記直線與面所成角為，故，故；方法2：設(shè)，則，，故，且，因?yàn)?，所以，，記直線與面所成角為，，；方法3：設(shè)，以為軸，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，記直線與面所成角為，，．方法4：將四棱錐還原為立方體，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，故，由?）知，平面，故面，為直線與面所成的角，記為，且，故，.17.已知的最小正周期為，（1）求的值；（2）若在上恰有個極值點(diǎn)和個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再結(jié)合周期求出，即可得到函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得；（2）首先得到解析式，再根據(jù)的范圍求出的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由函?shù)的最小正周期為且，即，解得，所以，所以．【小問2詳解】由（1）可得，因?yàn)?，所以，要使在上恰有個極值點(diǎn)和個零點(diǎn)，則需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍.18.為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成績（y分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．編號12345學(xué)習(xí)時間3040506070數(shù)學(xué)成績65788599108（1）求數(shù)學(xué)成績與學(xué)習(xí)時間的相關(guān)系數(shù)（精確到0.001）；（2）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，并求出關(guān)于的回歸直線方程，并由此預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間為100分鐘時的數(shù)學(xué)成績（參考數(shù)據(jù)：，的方差為200（3）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)．經(jīng)過一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生．按照是否參與周末在校自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”是否有關(guān)．

沒有進(jìn)步有進(jìn)步合計(jì)參與周末在校自主學(xué)習(xí)35130165未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)253055合計(jì)60160220附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）0.996（2），140.5分（3）可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)公式計(jì)算即可；（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再令即可得解；（3）根據(jù)公式求出，再對照臨界值表即可得解.【小問1詳解】，，又的方差為，；【小問2詳解】由（1）知接近1，故與之間具有極強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸直線方程模型進(jìn)行擬合，，，故，當(dāng)時，，故預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間達(dá)到100分鐘時的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分；【小問3詳解】零假設(shè)為：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步無關(guān)．根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：因?yàn)椋砸罁?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)．19.已知（1）當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的值；（3）當(dāng)時，的最大值，最小值為，若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）將代入，然后取消絕對值解不等式即可；（2）先根據(jù)題意取消絕對值，然后判斷的單調(diào)性，由，有兩個零點(diǎn)可得，進(jìn)而求的值，從而利用求即可.（3）先取消絕對值寫出單調(diào)性，易得，，然后對進(jìn)行分類，分別求最大值和最小值為的值，從而由解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，或，所以或于是不等式的解集為.【小問2詳解】，當(dāng)時，的