專題17直角三角形（直通中考）（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（北師大版）

專題1.7直角三角形（直通中考）單選題1．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，的直角頂點A在直線a上，斜邊在直線b上，若，則（

）

A． B． C． D．2．（2015·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）下列四組線段中，能組成直角三角形的是（）A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=4，b=2，c=3C．a(chǎn)=4，b=2，c=5 D．a(chǎn)=4，b=5，c=33．（2014·海南·統(tǒng)考中考真題）在一個直角三角形中，有一個銳角等于60°，則另一個銳角的度數(shù)是（）A．120° B．90° C．60° D．30°4．（2012·吉林長春·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．D為邊CA延長線上的一點，DE∥AB，∠ADE=42°，則∠B的大小為（

）A．42° B．45° C．48° D．58°5．（2012·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖，CA⊥BE于點A，AD⊥BF于點D，則下列說法中正確的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的補角是∠DACC．∠α與∠ACF互補 D．∠α與∠ACF互余6．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角的大面小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與相等的角是（

）

A． B． C． D．7．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點A在直線a上，點B，C在直線b上，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．8．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，于點E．若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．9．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知，點在直線上，點在直線上，于點，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．10．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點距離最大的是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點11．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）的三邊長a，b，c滿足，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形12．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）在和中，．已知，則（

）A． B． C．或 D．或13．（2012·福建漳州·中考真題）將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠的度數(shù)是【】A．45° B．60° C．75° D．90°14．（2018·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米15．（2018·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在中，，于，平分交于，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．解答題16．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；（2）請寫出正確的證明過程．17．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

（1）直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．18．（2012·廣東肇慶·中考真題）如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．19．（2019·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，內(nèi)角所對的邊分別為．（1）若，請直接寫出與的和與的大小關(guān)系；（2）求證：的內(nèi)角和等于；（3）若，求證：是直角三角形．20．（2015·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設(shè)點P，Q運動的時間為t秒．（1）在運動過程中，求P，Q兩點間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形？若存在，求出此時的t值；若不存在，請說明理由（≈2．24，結(jié)果保留一位小數(shù)）21．（2014·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．填空題22．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則度．

23．（2021·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，某港口位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點，處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿方向航行．24．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點為端點的四條射線，，，分別過點，點，點，點，則（填“”“”“”中的一個）．25．（2017·湖南株洲·中考真題）如圖示在△ABC中∠B=．26．（2014·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線m∥n，Rt△ABC的頂點A在直線n上，∠C=90°，若∠1=25°，∠2=70°．則∠B=°．27．（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在中，為邊上的高，，，則是度．28．（2013·山東威?！ぶ锌颊骖}）將一副直角三角板如圖擺放，點C在EF上，AC經(jīng)過點D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，則∠CDF=．29．（2013·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=度．

30．（2011·江西·中考真題）一塊直角三角板放在兩平行直線上，如圖所示，∠1+∠2=度31．（2012·四川巴中·中考真題）已知a、b、c是△ABC三邊的長，且滿足關(guān)系式，則△ABC的形狀為．32．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結(jié)、、，過點的直線分別交線段、于點、，以下說法：①當(dāng)時，；②；③若，，，則；④當(dāng)直線時，點為線段的中點．正確的有．（填序號）

33．（2023·江蘇蘇州·一模）中，，點在射線上，且，連接，若，則___________．34．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，，，，則的長為．35．（2019·河南鄭州·?？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點P是邊AC上一動點，把△ABP沿直線BP折疊，使得點A落在圖中點A′處，當(dāng)△AA′C是直角三角形時，則線段CP的長是．36．（2020·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠A＝30°，點D為AC的中點，點E為邊AB上一個動點，連接DE，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點F處．當(dāng)直線EF與直線AC垂直時，則AE的長為．參考答案：1．C【分析】利用平行線的性質(zhì)及直角三角形兩內(nèi)角互余即可得解；解：，,又故選擇：C【點撥】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)求三角形中角的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵．2．D解：A．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；B．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；C．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；D．∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意．故選：D．3．D【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．解：∵直角三角形中，一個銳角等于60°，∴另一個銳角的度數(shù)=90°﹣60°=30°．故選D．【點撥】本題考查直角三角形兩銳角的關(guān)系．4．C解：∵DE∥AB，∠ADE=42°，∴∠CAB=∠ADE=42°．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B=90°－∠CAB=90°－42°=48°．故選C．5．C【分析】根據(jù)題意CA⊥BE于點A，AD⊥BF于點D，結(jié)合圖形可得∠α的余角與補角，逐項分析判斷即可求解．解：∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正確；∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正確；∵∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠α=90°，∴∠ACD=∠α，∵∠ACD+∠ACF=180°，∴∠ACF與α互補．故C正確，D不正確．故選C．【點撥】本題考查了垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，掌握余角與補角的定義是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：與互余，與互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．解：由示意圖可知：和都是直角三角形，，，，故選：B．【點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和為進行解題即可．解：∵，，∴，由題可知：，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】延長，與交于點，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出的度數(shù)，再直角三角形的兩銳角互余即可求出．解：延長，與交于點，

∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線和正確利用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余分析計算求解．解：∵，∴，∵，∴，故選：C．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余，掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及直角三角形兩銳角互余是解題關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運用勾股定理計算比較大小即可．解：∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴選B．【點撥】本題考查了幾何體的展開與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開圖與折疊的意義是解題的關(guān)鍵．11．D【分析】由等式可分別得到關(guān)于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由的關(guān)系，可推導(dǎo)得到為直角三角形．解：解∵又∵∴，∴解得，∴，且，∴為等腰直角三角形，故選：D．【點撥】本題考查了非負(fù)性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的和為0，每一個非負(fù)數(shù)均為0，和勾股定理逆定理．12．C【分析】過A作于點D，過作于點，求得，分兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解．解：過A作于點D，過作于點，∵，∴，當(dāng)在點D的兩側(cè)，在點的兩側(cè)時，如圖，

∵，，∴，∴；當(dāng)在點D的兩側(cè)，在點的同側(cè)時，如圖，

∵，，∴，∴，即；綜上，的值為或．故選：C．【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．13．C解：如圖，∵∠1=90°60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°．故選C．【點撥】本題考查了直角三角形中兩個銳角互余，外角的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵計算細致．14．A【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．解：∵52+122=132，∴三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故選A．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出三角形的形狀是解題關(guān)鍵．15．C分析：根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對等邊即可得出BC=BE，此題得解．解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故選C．【點撥】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、余角、角平分線的定義以及等腰三角形的判定，通過角的計算找出∠BEC=∠BCE是解題的關(guān)鍵．16．（1）二；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（1）；（2）證明見分析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）證明是等腰直角三角形即可.（1）解：（2）證明：連接，

設(shè)小正方形邊長為1，則，，，為等腰直角三角形，∵，∴為等腰直角三角形，，故【點撥】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18．證明：（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC與△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根據(jù)HL得出△ABC≌△BAD，即可證出BC=AD．（2）根據(jù)△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，從而證出OA=OB，△OAB是等腰三角形．解：證明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC與△BAD是直角三角形，在△ABC和△BAD中，∵AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA=90°，∴△ABC≌△BAD（HL）∴BC=AD．（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．∴△OAB是等腰三角形．【點撥】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)；用到的知識點是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重點，本題是道基礎(chǔ)題，是對全等三角形的判定的訓(xùn)練．19．（1）；（2）證明見分析；（3）證明見分析【分析】（1）根據(jù)三角形中大角對大邊，即可得到結(jié)論；（2）畫出圖形，寫出已知，求證；過點A作直線MN∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；（3）化簡等式即可得到a2+c2=b2，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論解：在中，，；如圖，過點作，，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），（平角的定義），（等量代換），即：三角形三個內(nèi)角的和等于；（3），，，，是直角三角形．【點撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)證明過程運用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．20．（1）3；（2）S=或S=﹣+16t﹣40；（3）t=，t=，t=3.4時，△PQC為等腰三角形【分析】（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，由△ABC∽△AQE，得到比例式，求得PE=t，QE=t，根據(jù)勾股定理得到PQ2=QE2+PE2，求出PQ=t，當(dāng)Q與B重合時，PQ的值最大，于是得到當(dāng)t=5時，PQ的最大值=3；（2）由三角形的面積公式即可求得；（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，分三種情況①當(dāng)CQ=CP時，②當(dāng)PQ=CQ時，③當(dāng)PQ=PC時，列方程求解即可．解：試題分析：試題解析：（1）如圖1，過Q作QE⊥AC于E，連接PQ，∵∠C=90°，∴QE∥BC，∴△ABC∽△AQE，∴，∵AQ=2t，AP=t，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴，∴PE=t，QE=t，∴PQ2=QE2+PE2，∴PQ=t，當(dāng)Q與B重合時，PQ的值最大，∴當(dāng)t=5時，PQ的最大值=3；（2）如圖1，△ABC被直線PQ掃過的面積=S△AQP，當(dāng)Q在AB邊上時，S=AP?QE=t?t=，（0＜t≤5）當(dāng)Q在BC邊上時，△ABC被直線PQ掃過的面積=S四邊形ABQP，∴S四邊形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）?（16﹣2t）=﹣+16t﹣40，（5＜t≤8）；∴經(jīng)過t秒的運動，△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式：S=或S=﹣+16t﹣40．（3）存在，如圖2，連接CQ，PQ，由（1）知QE=t，CE=AC﹣AE=8﹣t，PQ=tt，∴CQ====2，①當(dāng)CQ=CP時，即：2=8﹣t，解得；t=，②當(dāng)PQ=CQ時，即；t=2，解得：t=，t=（不合題意舍去），③當(dāng)PQ=PC時，即t=8﹣t，解得：t=6﹣10≈3.4；綜上所述：當(dāng)t=，t=，t=3.4時，△PQC為等腰三角形．考點：相似形綜合題【點撥】本題考查了動點問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，特別是（3）要分類討論，不要漏解．21．（1）HL；（2）證明見分析；（3）作圖見分析；（4）∠B≥∠A．【分析】（1）根據(jù)直角三角形全等的方法“”證明；（2）過點作交的延長線于，過點作交的延長線于，根據(jù)等角的補角相等求出，再利用“角角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后利用“角角邊”證明和全等；（3）以點為圓心，以長為半徑畫弧，與相交于點，與重合，與重合，得到與不全等；（4）根據(jù)三種情況結(jié)論，不小于即可．解：（1）在和，，，，根據(jù)斜邊直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等可以知道，故答案為：斜邊直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等或HL．（2）如圖，過點作交的延長線于，過點作交的延長線于，，且、都是鈍角，，即，在和中，，，，在和中，，，，在和中，，；（3）如圖，和不全等；以點為圓心，以長為半徑畫弧，與相交于點，與重合，與重合，得到與不全等．（4）若，則，故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．22．//．【分析】根據(jù)矩、宣、欘的概念計算即可．解：由題意可知，矩，欘宣矩，，故答案為：．【點撥】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并正確計算．23．北偏東50°（或東偏北40°）【分析】由題意易得海里，PB=16海里，，則有，所以∠APB=90°，進而可得，然后問題可求解．解：由題意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，∴，∴∠APB=90°，∴，∴乙船沿北偏東50°（或東偏北40°）方向航行；故答案為北偏東50°（或東偏北40°）．【點撥】本題主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟練掌握勾股定理的逆定理及方位角是解題的關(guān)鍵．24．=【分析】連接DE，判斷△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．解：連接DE，如圖∵點，點，點，點，點，由勾股定理與網(wǎng)格問題，則，，∴△ABC是等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案為：=．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握掌握所學(xué)的知識，正確判斷△ABC和△ADE是等腰直角三角形．25．25°解：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；故答案為25°．26．45．【分析】首先運用平行線的性質(zhì)和角度計算可以求出∠∠BAC=45°，再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求解即可解：∵m∥n，∠2=70°，∴∠BAN=70°．∵∠1=25°，∴∠BAC=45°．∵∠C=90°，∴∠B=45°．故答案為：45．【點撥】本題主要考查了1．平行線的性質(zhì)；2．直角三角形兩銳角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能正確計算，注意細節(jié)．27．40或80/80或40【分析】根據(jù)題意，由于類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．解：根據(jù)題意，分三種情況討論：①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；②高在三角形邊上，如圖所示：可知，，故此種情況不存在，舍棄；③高在三角形外部，如圖所示：在中，為邊上的高，，，，；綜上所述：或，故答案為：或．【點撥】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．28．25°【分析】先根據(jù)等邊對等角算出∠ACB=∠B=45°，再根據(jù)直角三角形中兩個銳角互余算出∠F=60°，最后根據(jù)外角的性質(zhì)求解即可．解：∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°．∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°．∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要合理的運用外角和計算的時候要細致認(rèn)真．29．135解：試題分析：如圖，連接EE′，∵將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．∴EE′=2，∠BE′E=45°．∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．30．90【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠1=∠3，∠2=∠4，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答．解：如圖，∠1=∠3，∠2=∠4（對頂角相等），∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°．故答案為：9031．等腰直角三角形解：∵，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理，得△ABC為直角三角形．又由a－b=0得a=b，∴△ABC為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．32．①②④【分析】①當(dāng)時，是等邊三角形，根據(jù)等角對等邊，以及三角形的內(nèi)角和定理即可得出，進而判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷②；作直線于點，過點作于點，過點作于點，證明，，，即可得是的中點，故④正確，證明，可得，在中，，在中，，得出，在中，勾股定理即可求解．解：①當(dāng)時，是等邊三角形，∴∴∵等腰直角、，∴∴∴；故①正確；②∵等腰直角、，∴，∴∴∴；故②正確；④如圖所示，作直線于點，過點作于點，過點作于點，

∵，∴，又，∴又∵，∴同理得，，∴，，，∵，，，∴，∴，即是的中點，故④正確，∴，設(shè)，則在中，在中，∴∴解得：∴，∴，∴∴在中，∴,故③錯誤故答案為：①②④．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．33．，，【分析】分三種情形：①如圖1中，當(dāng)在線段上時，作于，．②如圖2中，當(dāng)在的延長線上時，作于，于．③如圖3中，當(dāng)是鈍角時，在的延長線上時，作作于，于．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．解：①如圖1中，在線段上時，作于，于．，，，，，，，又，，，，，．②如圖2中，當(dāng)在的延長線上時，作于，于．同法