河南省多校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

絕密★啟用前試卷類型：A2023—2024學(xué)年（下）高一年級期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.2.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是長為4，寬為2的矩形，則該圓柱的軸截面的面積為（）A.32B.C.D.3.若在已知和的條件下，有兩個(gè)解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.4.如圖所示，水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖為，其中，，那么為（）A.等邊三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.三邊互不相等的三角形5.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.6.在中，邊上的中線為，點(diǎn)滿足，則（）A.B.C.D.7.一個(gè)高為的圓錐形容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)部能完全容納的最大球的半徑為，若，則這個(gè)圓錐的體積與這個(gè)最大球的體積之比為（）A.B.C.D.8.在中，已知為銳角，，若的最小值為，則（）A.B.C.D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.存在只有三個(gè)面的多面體B.平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形C.長方體是直四棱柱D.棱臺的側(cè)面都是梯形10.如圖，已知長方形中，，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)時(shí)，與的夾角余弦值為C.當(dāng)時(shí)，D.對任意的11.已知銳角三角形的內(nèi)角所對的邊分別是，且的外接圓半徑為，，則（）A.B.C.D.面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長為1，高為，則該正四棱錐的表面積為__________.13.已知復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.14.如圖，在多面體中，已知是邊長為2的正方形，且均為正三角形，則該多面體的體積為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）（1）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，且，求；（2）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.（15分）如圖，已知在中，是邊的中點(diǎn)，且，設(shè)與交于點(diǎn).記，（1）用表示向量；（2）若，且，求.17.（15分）如圖（1）所示，四邊形為水平放置的四邊形的斜二測直觀圖，其中.（1）在圖（2）所示的直角坐標(biāo)系中畫出四邊形，并求四邊形的面積；（2）若將四邊形以直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.18.（17分）如圖，已知四面體的棱長均為6，棱的中點(diǎn)分別為，用平面截四面體，得到三棱臺.（1）求三棱臺的體積；（2）若為棱上的動點(diǎn)，求的最小值，并求取最小值時(shí)線段的長度.19.（17分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求的外接圓面積；（2）若為的內(nèi)心，求周長的最大值.2023—2024學(xué)年（下）高一年級期中考試數(shù)學(xué)（A卷）答案一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.答案A命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.解析.2.答案D命題意圖本題考查圓柱的基本性質(zhì).解析若4為底面周長，則圓柱的高為2，此時(shí)圓柱的底面直徑為，其軸截面的面積為；若2為底面周長，則圓柱的高為4，此時(shí)圓柱的底面直徑為，其軸截面的面積為.3.答案C命題意圖本題考查解三角形的應(yīng)用.解析因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，所以，所以，即.4.答案B命題意圖本題考查斜二測畫法的概念.解析根據(jù)斜二測畫法還原，則，且，所以為等腰直角三角形.5.答案A命題意圖本題考查平面向量的投影向量以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算.解析因?yàn)?，所以，所以在上的投影向量?6.答案A命題意圖本題考查平面向量的線性運(yùn)算.解析為的中點(diǎn)，7.答案D命題意圖本題考查球與圓錐的基本結(jié)構(gòu)和相關(guān)計(jì)算.解析作圓錐的軸截面，如圖，由題可知，圓錐的底面半徑，則，所以8.答案C命題意圖本題考查平面向量的綜合運(yùn)算.解析設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，則，所以，又為銳角，故.因?yàn)?，所以，所以，所以，所?二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案BCD命題意圖本題考查空間幾何體的相關(guān)概念.解析面數(shù)最少的多面體是三棱錐，它有四個(gè)面，故A錯(cuò)誤；由平行六面體的定義知，平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，故B正確；長方體的側(cè)棱都和底面垂直，所以是直四棱柱，故C正確；由棱臺的結(jié)構(gòu)特征知，棱臺的側(cè)面都是梯形，故D正確.10.答案AC命題意圖本題考查平面向量的綜合運(yùn)算.解析以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量的方向?yàn)檩S的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則.對于，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，有最小值，且最小值為2，故A正確；對于，當(dāng)時(shí)，與的夾角余弦值為，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，而，故C正確；對于，當(dāng)時(shí)，有最小值，且最小值為，當(dāng)或1時(shí)，的值為1，所以對任意的，故D錯(cuò)誤.11.答案BC命題意圖本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用.解析由正弦定理可得，又，所以，結(jié)合條件可知，故C正確.因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故錯(cuò)誤，正確.由余弦定理，得，所以，又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，則面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案4命題意圖本題考查棱錐的基本結(jié)構(gòu).解析如圖，四棱錐為正四棱錐，高，底面邊長.過點(diǎn)作，垂足為，連接，則斜高.所以正四棱錐的表面積.13.答案8命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和四則運(yùn)算.解析因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以且，得.14.答案命題意圖本題考查簡單的組合體的體積計(jì)算.解析如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則平面將多面體分成兩個(gè)同樣的三棱錐和一個(gè)直三棱柱，容易求得，取的中點(diǎn)，連接，易得多面體的體積四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.命題意圖本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算?幾何意義.解析（1）設(shè)，由題意得解得.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，..（2），依題意可得解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.命題意圖本題考查平面向量在幾何問題中的應(yīng)用.解析（1），，.（2）三點(diǎn)共線，由得，，即，，.另解：.17.命題意圖本題考查斜二測畫法的概念以及旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算.解析（1）在直觀圖中，則在四邊形中，所以四邊形如圖所示：由圖可知，四邊形為直角梯形，所以面積為.（2）直角梯形以直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體可以看成圓柱加上一個(gè)同底的圓錐，由（1）可知幾何體的底面圓半徑，圓柱的高，圓錐的高，母線長.所以該幾何體的體積.表面積.18.命題意圖本題考查棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征以及相關(guān)計(jì)算.解析（1）作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，連接.根據(jù)題意可知，是等邊三角形的中心，則，，即四面體的高為.所以，所以.（2）如圖所示，將平面與展開到同一平面，可知.在中，，由余弦定理得，即.由已知得點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍，所以，所以，在中，設(shè)，由