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清單05垂徑定理的應(yīng)用(5種題型解讀(30題))【知識導(dǎo)圖】【知識清單】【考試題型1】直接利用勾股定理求線段長1.(2023上·甘肅慶陽·九年級??计谥校┤鐖D,在半徑為10的⊙O中,OC垂直弦AB于點(diǎn)D,AB=16,則CD的長是(
)A.3 B.4 C.6 D.82.(2023上·江蘇南京·九年級南京市金陵匯文學(xué)校??茧A段練習(xí))如圖,點(diǎn)E在y軸上,⊙E與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C、D,若C03.(2023上·河北石家莊·九年級校考階段練習(xí))圓O的半徑為5,AB,CD為兩條平行的弦,AB=8,CD=6.則這兩條平行弦之間的距離為.4.(2023上·江蘇·九年級期末)如圖,在⊙O中,直徑AB與弦MN相交于點(diǎn)P,∠NPB=45°,若AP=2,BP=6,則MN=.5.(2023上·廣東惠州·九年級??计谥校┤鐖D,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,OC=10cm,CD=166.(2023上·安徽淮南·九年級校考階段練習(xí))如圖,在⊙O中,AB、AC為互相垂直的兩條弦,OD⊥AB于點(diǎn)D,OE⊥AC于點(diǎn)E,若AB=4cm,AC=3cm,求【考試題型2】運(yùn)用單勾股列方程求線段長7.(2023上·江蘇常州·九年級校考期中)如圖,⊙O的半徑OF⊥弦AB于點(diǎn)E,C是⊙O上一點(diǎn),AB=6,CE的最大值為9,則EF的長為(
)A.1 B.2 C.3 D.48.(2023上·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中)把球放在長方體紙盒內(nèi),球的一部分露出盒外,其截面如圖所示,已知EF=CD=4cm,則球的半徑長是(
A.1cm B.2cm C.529.(2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十九中學(xué)校校考期中)如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為E,若AE=8,BE=2,則線段A.8 B.5 C.4 D.310.(2023·全國·九年級專題練習(xí))如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,CD=10,BE=2,則☉O的直徑為.11.(2023上·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓,如圖1.唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道“水能利物,輪乃曲成”.如圖2,已知圓心O在水面上方,且⊙O被水面截得弦AB長為8米,若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn),點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是2,則⊙O的半徑長為米.12.(2023上·山東濟(jì)寧·九年級校考期中)如圖,⊙O的弦AB與CD相交于點(diǎn)E,已知AE=BE,DE=3CE,且AB=8,若CD過圓心O,求⊙O的半徑.【考試題型3】運(yùn)用雙勾股列方程求線段長13.(2023上·浙江溫州·九年級溫州市第八中學(xué)??计谥校┤鐖D,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=10,以點(diǎn)C為圓心,AC為半徑的圓與AB,BC分別交于點(diǎn)E與點(diǎn)D,則BE的長為14.(2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中)如圖,AD是△ABC的高,以O(shè)為圓心的兩個同心圓,小圓經(jīng)過點(diǎn)A,D,大圓經(jīng)過點(diǎn)B,C,若小圓半徑為6,大圓半徑為10,則AB215.(2023上·黑龍江綏化·九年級校考期中)在半徑為13的⊙O中,弦AB∥CD,弦AB和CD間的距離為7,若AB=24,則CD的長為.16.(2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模)如圖,已知⊙O的半徑為7,AB是⊙O的弦,點(diǎn)P在弦AB上.若PA=4,PB=6,則OP的長為.
17.(2023上·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中)如圖這是一個殘缺的圓形部件,已知A,B,C是該部件圓弧上的三點(diǎn).(1)利用尺規(guī)作圖作出該部件的圓心;(保留作圖痕跡)(2)若△ABC是等腰三角形,底邊BC=16cm,腰AB=10cm,求該部件的半徑18.(2023上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期中)如圖,在直徑為20的⊙O中,AB與CD是互相垂直的兩條弦,垂足為點(diǎn)F.已知AB=CD=16,求OF的長.【考試題型4】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用19.(2023上·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期中)如圖,一座石橋的主橋拱是圓弧形,某時刻測得水面AB寬度為8米,拱高CD(弧的中點(diǎn)到水面的距離)為2米.(1)求主橋拱所在圓的半徑;(2)若水面下降1米,求此時水面的寬度(保留根號).20.(2023上·江西南昌·九年級南昌市心遠(yuǎn)中學(xué)??计谥校┤鐖D1,重慶特色的九宮格火鍋分九格:四角格、十字格、中心格(中心格一般為正方形).隔板的設(shè)計(jì)有以下兩種:①橫縱隔板兩兩垂直交于隔板的三等分點(diǎn)如圖2所示;②橫縱隔板兩兩垂直交于圓鍋邊緣(圓)八等分點(diǎn)如圖3所示.已知圓鍋直徑為40cm
(1)求圖2的中心格面積S1(2)求兩種設(shè)計(jì)的中心格面積S1與S21.(2023上·北京海淀·九年級北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí))“圓”是中國文化的一個重要精神元素,在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用,例如古典園林中的門洞.如圖1,其數(shù)學(xué)模型為如圖2所示.園林中的一個圓弧形門洞的地面跨徑AB=1米,D為圓上一點(diǎn),DC⊥AB于點(diǎn)C,且CD=BC=0.7米,則門洞的半徑是多少?【分析】過O作ON⊥AB于N,過D作DM⊥ON于M,由垂徑定理得AN=BN=12AB=________(米),再證四邊形DCNM是________,則MN=CD=______米,DM=CN=BC+BN=______(米),設(shè)該圓的半徑長為r米,然后由題意列出方程或方程組,解方程(組)可得22.(2023上·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中)某村為了促進(jìn)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展,建設(shè)了蔬菜基地,新建了一批蔬菜大棚.如圖是蔬菜大棚的截面,形狀為圓弧型,圓心為O,跨度AB(弧所對的弦)的長為8米,拱高CD(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為2米.
(1)求該圓弧所在圓的半徑;(2)在修建過程中,在距蔬菜大棚的一端(點(diǎn)B)1米處將豎立支撐桿EF,求支撐桿EF的高度.23.(2023上·河北唐山·九年級統(tǒng)考期中)如圖1,裝有水的水槽放置在水平桌面上,其橫截面是以AB為直徑的半圓O,AB=52cm,MN為水面截線,MN=48cm
(1)作OC⊥MN于點(diǎn)C,求OC的長;(2)將圖中的水倒出一部分得到圖2,發(fā)現(xiàn)水面高度下降了14cm24.(2023上·九年級課時練習(xí))某公路上有一隧道,頂部是圓弧形拱頂,圓心為O,隧道的水平寬AB為24m,AB離地面的高度AE=10m,拱頂最高處C離地面的高度CD為18m,在拱頂?shù)腗,N處安裝照明燈,且M,N離地面的高度相等都等于17
25.(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)問題情境:筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(如圖①).假定在水流量穩(wěn)定的情況下,筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運(yùn)動,每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒.問題設(shè)置:把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O.如圖②,OM始終垂直于水平面,設(shè)筒車半徑為2米.當(dāng)t=0時,某盛水筒恰好位于水面A處,此時∠AOM=30°,經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動到點(diǎn)B處.(參考數(shù)據(jù),2≈1.414
問題解決:(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時,∠BOM的度數(shù);(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時,它到水面的距離.(結(jié)果精確到0.1米)【考試題型5】垂徑定理應(yīng)用的綜合題26.(2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模)在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°;(1)如圖1,已知∠D=30°,直接寫出∠A+∠C的度數(shù);(2)如圖2,已知∠ADC=30°,AD=3,CD=4,連接BD,求BD的長度;(3)如圖3,已知∠ADC=75°,BD=6,請判斷四邊形ABCD的面積是否有最小值?如果有,請求出它的最小值;如果沒有,請說明理由.27.(2023·陜西西安·??级#締栴}提出】(1)如圖①,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,△ACD為等邊三角形,AD=4,則線段BD的長為___________;【問題解決】(2)如圖②,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,BC=AB=2,以AC為直徑作半圓O,點(diǎn)D為AC上一動點(diǎn),求點(diǎn)B、D之間的最大距離;【問題探究】(3)一次手工制作課程中,老師要求小明和小麗組制作一種特殊的部件,部件的要求如圖③,部件是由直角△ABC以及弓形BDC組成,其中∠B=90°,AB=4,BC=6.4,DE=2.4,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),DE⊥BC,這時候小明和小麗在討論這個部件,其中小麗說點(diǎn)A到BC的最大距離是點(diǎn)A、D之間的距離,小明說不對,你認(rèn)為誰的說法正確?請說明理由,并求出點(diǎn)A到BC的最大距離.28.(2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模)圖1是某種型號圓形車載支架,由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成.圖2是它的正面示意圖,滑動桿AB的兩端都在圓O上,A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動,支撐桿CD的底端C固定在圓O上,另一端D是滑動桿AB的中點(diǎn),(即當(dāng)支架水平放置時直線AB平行于水平線,支撐桿CD垂直于水平線),通過滑動A、B可以調(diào)節(jié)CD的高度.當(dāng)AB經(jīng)過圓心O時,它的寬度達(dá)到最大值10cm,在支架水平放置的狀態(tài)下:(1)當(dāng)滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時,求此時支撐桿CD的高度.(2)如圖3,當(dāng)某被支架鎖住時,鎖住高度與寬度恰好相等(AE=AB),求該的寬度.29.(2023·北京延慶·統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的半徑為2.對于線段AB和點(diǎn)C(點(diǎn)C不在直線AB上),給出如下定義:過點(diǎn)C作直線AB的平行線l,如果線段AB關(guān)于直線l的對稱線段A'B'是⊙O的弦,那么線段AB稱為⊙O(1)如圖,D(-2,6),E(2,6),F(xiàn)(-3,1),G(-1,3),H(0,3),在線段(2)等邊△ABC的邊長為1,點(diǎn)C(0,t),若線段AB是⊙O的點(diǎn)C對稱弦,求(3)點(diǎn)M在直線y=3x上,⊙M的半徑為1,過點(diǎn)M作直線y=3x的垂線,交⊙M于點(diǎn)P,Q.若點(diǎn)N在⊙M上,且線段PQ是⊙O的點(diǎn)N對稱弦,直接寫出點(diǎn)30.(2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模)【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第85頁的部分內(nèi)容.先觀察下圖,直線l1∥l2,點(diǎn)A,B在直
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