2024-2025學(xué)年大理州民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷及答案解析

-2025學(xué)年大理州民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.2.已知集合，，則（）A.B.C. D.3.已知直線和兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4.某單位職工參加某APP推出的“二十大知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽”活動(dòng)，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，該單位從職工中隨機(jī)抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據(jù)圖，估計(jì)該單位職工答題情況，則下列說(shuō)法正確的是（）A.該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差D.該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差5.設(shè)x，y∈R，向量，且，則（）A B. C.3 D.6.魏晉南北期時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約為，和真正的值相比，誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才給打破.已知的近似值還可以表示成，則的值為（）A. B. C.8 D.167.奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若、則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A.[) B.[] C.[) D.[]二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為4”，事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)小于4”，事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，則（）A.與互斥 B.與互斥C.與對(duì)立 D.與對(duì)立10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.在上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱11.已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（）A.三棱錐外接球表面積為B.三棱錐外接球的表面積為C.三棱錐內(nèi)切球的半徑為D.三棱錐內(nèi)切球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.正方形邊長(zhǎng)為，以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為_(kāi)______．13.已知，則的最小值為_(kāi)___________．14.如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，，，．若方向上的單位向量為，則在向量方向上的投影向量為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟．15.如圖，在三棱柱中，D，E分別為和AB的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用表示向量；（2）若，，，求.16.已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．17.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角：（2）若，角的平分線交于點(diǎn)，且滿足，求的面積.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱為的一個(gè)“Ω區(qū)間”.性質(zhì)1：對(duì)任意，均有；性質(zhì)2：對(duì)任意，均有.（1）分別判斷說(shuō)明區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”；；.若是函數(shù)“Ω區(qū)間”，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年大理州民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)已知等式，再由共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的關(guān)系求出共軛復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)即可.【詳解】由已知可得，所以，所以，故選：A.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式確定集合的元素，再利用集合的并集運(yùn)算即可求解.【詳解】由，解得，所以，因?yàn)?，得，所以，?故選:C．3.已知直線和兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則可能與平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則可能與平行或者在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則可能平行或者相交，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由面面平行以及線面垂直的性質(zhì)可知，D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.某單位職工參加某APP推出“二十大知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽”活動(dòng)，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，該單位從職工中隨機(jī)抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據(jù)圖，估計(jì)該單位職工答題情況，則下列說(shuō)法正確的是（）A.該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差D.該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給出統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)，分別計(jì)算出三次作答的平均分、正確率、極差、標(biāo)準(zhǔn)差，即可作出判斷．【詳解】由題可得，該單位抽取的10位員工三次作答的得分分別為：1號(hào)員工2號(hào)員工3號(hào)員工4號(hào)員工5號(hào)員工6號(hào)員工7號(hào)員工8號(hào)員工9號(hào)員工10號(hào)員工第一次作答65808580909090859090第二次作答80859090959095909595第三次作答8590959510010010095100100對(duì)于A：第一次作答的平均分為：，第二次作答的平均分：，第三次作答的平均分：，故該單位職工一天中各次作答的平均分不一致，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：第一次作答的正確率：，第二次作答的正確率：，第三次作答的正確率：，故該單位職工一天中各次作答的正確率不一致，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：該單位職工一天中第三次作答得分的極差：，該單位職工一天中第二次作答得分的極差：，故該單位職工一天中第三次作答得分的極差等于第二次的極差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差：，該單位職工一天中第一次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差：，故該單位職工一天中第三次作答得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于第一次的標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確，故選：D．5.設(shè)x，y∈R，向量，且，則（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運(yùn)用向量的數(shù)乘及加法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合向量的模計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】解：向量，且，∴，解得∴，∴，選項(xiàng)B正確.故選：B．6.魏晉南北期時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約為，和真正的值相比，誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才給打破.已知的近似值還可以表示成，則的值為（）A. B. C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】利用的近似值是代入化簡(jiǎn)，即得結(jié)果.【詳解】由已知的近似值是代入得，.故選：B.7.奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得：，解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且，所以；又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，有，即，解得.故選：D8.如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若、則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A.[) B.[] C.[) D.[]【答案】A【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得參數(shù)之間的關(guān)系，并建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，求其值域即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，故，因?yàn)?，故可得，則，由可得，又，故,故當(dāng)時(shí)，取得最小值；又當(dāng)時(shí)，，但無(wú)法取到，則無(wú)法取到；綜上，線段DF長(zhǎng)度的取值范圍為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為4”，事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件“點(diǎn)數(shù)小于4”，事件“點(diǎn)數(shù)大于3”，則（）A.與互斥 B.與互斥C.與對(duì)立 D.與對(duì)立【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件和對(duì)立事件的概念求解.【詳解】事件“點(diǎn)數(shù)為4”與“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”不能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，A正確.事件“點(diǎn)數(shù)為4”與“點(diǎn)數(shù)小于4”不能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，B正確.事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”的對(duì)立事件是“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，不是“點(diǎn)數(shù)大于3”，C錯(cuò)誤.事件“點(diǎn)數(shù)小于4”的對(duì)立事件是“點(diǎn)數(shù)不小于4”，即“點(diǎn)數(shù)大于3”，與對(duì)立，D正確.故選：ABD.10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對(duì)稱軸C.在上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算的值可判斷B選項(xiàng)；由，在的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)；利用奇函數(shù)的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象.對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，，在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（）A.三棱錐外接球的表面積為B.三棱錐外接球的表面積為C.三棱錐內(nèi)切球的半徑為D.三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長(zhǎng)方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.【詳解】由題意可知，，兩兩垂直，則三棱錐外接球的半徑滿足，從而三棱錐外接球的表面積為，故A正確，B錯(cuò)誤.由題意可得三棱錐的體積，三棱錐的表面積.設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)閂=1所以，則C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.正方形邊長(zhǎng)為，以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為_(kāi)______．【答案】【分析】得到的幾何體為圓柱，從而可求圓柱的側(cè)面積.【詳解】邊長(zhǎng)為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，則所得幾何體的側(cè)面積為：，故答案：.13.已知，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】3【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立故答案為：314.如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，，，．若方向上的單位向量為，則在向量方向上的投影向量為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得，，結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，可得平面，且平面，則，又因?yàn)槠矫?，平面，則，故在方向上的投影向量為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟．15.如圖，在三棱柱中，D，E分別為和AB的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用表示向量；（2）若，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用空間向量的運(yùn)算法則即可求解；（2）由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可得；【小問(wèn)2詳解】易知，且，顯然，；所以.16.已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）.【解析】【分析】（1）以所在直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積證明線面垂直，繼而可證明結(jié)論.（2）利用向量法求得平面的法向量，根據(jù)距離的向量求法求點(diǎn)到平面的距離．【小問(wèn)1詳解】證明：平面，為正方形，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．由已知可得，，，，為的中點(diǎn)，，所以，，，所以，所以，又點(diǎn)為中點(diǎn)，，所以，，平面，平面，又因?yàn)槠矫?故平面平面．【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，則令，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d，,點(diǎn)到平面的距離為．17.在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角：（2）若，角的平分線交于點(diǎn)，且滿足，求的面積.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正弦定理、三角恒等變換分析求解；（2）由角平分線性質(zhì)可得，利用余弦定理解得，，結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，整理得，由正弦定理可得：，且，則，可得，即，且，可得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，則，即，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），則，所以的面積.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)M，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；【解析】【分析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出到平面的距離從而確定的位置，利用棱錐的體積求出到平面的距離，根據(jù)勾股定理計(jì)算，則即為所求角的正弦值．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，由，，可得是等腰直角三角形，即，∵平面，∴，又平面PAC,∴平面，∴．【小問(wèn)2詳解】(方法1)過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，則，∵平面，∴平面