數(shù)學(xué)自我小測：曲邊梯形面積與定積分

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．若eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(b,a)f(x)dx＝1,eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b，a）g(x)dx＝－3,則eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b，a)［2f（x）＋g（x）］dx＝（）A．2B．－3 C．－1D．2．設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)＞0,則當(dāng)a＜b時,定積分eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b，a）f(x)dx的符號()A．一定是正的B．一定是負(fù)的C．當(dāng)0＜a＜b時是正的，當(dāng)a＜b＜0時是負(fù)的D．以上結(jié)論都不正確3．下列等式成立的是(）A。eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（b,a)0dx＝b－aB。eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b，a)xdx＝eq\f(1，2) C。eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1，－1)｜x|dx＝2eq\x(\a\vs4\al（∫）\o\al（1，0))|x｜dxD。eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b,a)（x＋1)dx＝eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b,a）xdx4．由函數(shù)y＝－x的圖象，直線x＝1，x＝0，y＝0所圍成的圖形的面積可表示為（）A。eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1，0）（－x）dxB.eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（1，0)|－x｜dx C。eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（0，－1)xdxD．－eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1,0)xdx5．定積分eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(1,0)xdx與eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1，0）eq\r(x）dx的大小關(guān)系是(）A.eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(1,0）xdx＝eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（1，0）eq\r(x）dxB。eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1，0)xdx＞eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(1，0）eq\r（x）dx C.eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(1,0）xdx＜eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（1,0）eq\r(x）dxD．無法確定6．若eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1，0)［f（x)＋g(x）］dx＝5，eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(1，0)[f(x）－g（x）]dx＝3，則eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0）f(x)dx＝__________.7．用定積分表示下列陰影部分的面積(不要求計算）：（1）S1＝__________(圖①）;(2)S2＝__________（圖②）；（3）S3＝__________（圖③）．8．若cosxdx＝1，則由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx以及x軸所圍成的圖形的面積為__________．9．根據(jù)定積分的幾何意義,求eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(1，－1)|x｜dx的值．10．利用定積分的定義計算eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(1,0）（x2＋2）dx.參考答案1．解析：eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b，a）[2f(x)＋g（x）]dx＝2eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(b，a）f（x）dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（b，a)g(x)dx＝2×1－3＝－1.答案:C2．解析：eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b,a）f(x）dx的值應(yīng)該是f（x）與x＝a，x＝b以及x軸圍成圖形的面積．因?yàn)閒（x)＞0，所以所圍圖形在x軸的上方，故定積分的符號為正．答案：A3．解析:eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(b,a)0dx＝0，故A不成立；eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(b，a)xdx＝eq\f（1,2）（a＋b）（b－a）≠eq\f（1，2），故B不成立;eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(1，－1)｜x|dx＝eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(0,－1)｜x｜dx＋eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al(1,0)｜x|dx＝2eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（1，0）|x｜dx,故C成立；eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(b,a)（x＋1)dx＝eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al（b,a）xdx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(b,a）1dx≠eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（b，a）xdx,故D不成立．答案：C4．解析：由定積分的幾何意義可知所求圖形的面積為S＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(1,0)｜－x|dx.答案:B5．解析：由定積分的幾何意義結(jié)合下圖可知eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(1，0）xdx＜eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（1,0）eq\r（x）dx.答案：C6．解析：eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al（1,0）f（x）dx＝eq\f（1,2）［eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(1，0）[f（x)＋g（x)]dx＋eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)［f（x）－g(x）]dx］＝eq\f(1，2）(5＋3）＝4.答案：47．答案：(1)sinxdx（2)eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(2，－4）eq\f(1，2）x2dx（3)－eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al(9，4)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\a\vs4\al（－x\f（1,2)))）dx8．解析:由正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，知f(x）＝sinx，x∈［0，π］的圖象與x軸圍成的圖形的面積等于g（x）＝cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2）)）的圖象與x軸圍成的圖形的面積的2倍．所以答案應(yīng)為2。答案：29．解:如圖，eq\a\vs4\al（∫）eq\o\al(1,－1）|x|dx＝S1＋S2＝eq\a\vs4\al（∫)eq\o\al（0,-1）(-x）dx＋eq\a\vs4\al(∫）eq\o\al（1，0）xdx＝eq\f(1,2)×1×1＋eq\f（1，2)×1×1＝1。10．分析：按照由定義求定積分的步驟求解即可．解：把區(qū)間［0，1］分成n等份，分點(diǎn)和小區(qū)間的長度分別為xi＝eq\f（i,n)(i＝1，2，…，n－1)，Δxi＝eq\f（1，n）(i＝1，2，…，n),取ξi＝eq\f（i,n)(i＝1,2，…，n），作積分和eq\i\su（i＝1，n,f)(ξi）Δxi＝eq\i\su(i＝1，n,）（ξ2i＋2）Δxi＝eq\i\su(i＝1,n,）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（i，n)))2＋2)）·eq\f(1，n）＝eq\f（1,n3）eq\i\su(i＝1，n，i)2＋2＝eq\f(1，n3）·eq\f(1,6)n（n＋1）(2n＋1）＋2＝eq\f（1，6）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,n）))eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋\f（1，n)））＋2?！鄀q\a\vs4\al(∫）eq\o\al(1,0)（x2＋2)dx＝eq\o（lim，\s\do4（n→＋∞))eq\i\su（i＝0，n