有限元講義-6-動(dòng)力分析有限元

《有限元》講義PAGEPAGE17第6章結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析有限元法此前述及的問題屬于靜力分析問題，即作用在結(jié)構(gòu)上的荷載是與時(shí)間無關(guān)的靜力。由此求得的位移、應(yīng)力等均與時(shí)間無關(guān)。實(shí)際工程中的大部分都可簡(jiǎn)化成靜力問題。但當(dāng)動(dòng)載與靜載相比不容忽略時(shí)，一般應(yīng)進(jìn)行動(dòng)力分析。如地震作用下的房屋建筑，風(fēng)荷載作用下的高層建筑等，都應(yīng)計(jì)算動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)。研究課題中以動(dòng)力問題為主。解決動(dòng)力問題有兩大工作要做：一是動(dòng)荷載的模擬和計(jì)算，二是結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析。本章將討論如何用有限元來解決動(dòng)力計(jì)算問題。6.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程一．單元的位移、速度和加速度函數(shù)設(shè)單元的位移函數(shù)為；6—1—1式中：?jiǎn)卧灰坪瘮?shù)列陣、結(jié)點(diǎn)位移函數(shù)列陣均是時(shí)間t的函數(shù)。由6-6—1—26—1—3二．單元的受力分析設(shè)圖示三角形單元，當(dāng)它處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，其上的荷載一般應(yīng)包括：?jiǎn)卧系暮奢d；單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的作用力,單元內(nèi)部單位體積的：慣性力：6—1—4阻尼力（設(shè)正比于運(yùn)動(dòng)速度）：6—1—5干擾力（已知的條件）：根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，上述四力將構(gòu)成一瞬時(shí)平衡力系，使單元處于動(dòng)平衡狀態(tài)。為此尋求四者之間的關(guān)系；三．結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移、速度和加速度之間的關(guān)系用虛功原理推導(dǎo)：令單元結(jié)點(diǎn)發(fā)生任意可能的虛位移，它滿足單元所定義的位移場(chǎng)，即虛位移場(chǎng)成立。作用在單元上的外力所作的外力虛功：?jiǎn)卧獌?nèi)部應(yīng)力在由于虛位移所引起的虛應(yīng)變上所做的內(nèi)力虛功：根據(jù)虛功原理（T=W），若將慣性力，阻尼力用上面的6—1—4，6—1—5代替，得：由于虛位移的任意性，可從等式兩邊各項(xiàng)中消去，得：簡(jiǎn)寫為：6—1—6式中：?jiǎn)蝿偅ǖ谝豁?xiàng)為彈性恢復(fù)力）單元阻尼矩陣（第二項(xiàng)為阻尼力）質(zhì)量矩陣（第三項(xiàng)為慣性力）包括由作用在單元上的干擾力轉(zhuǎn)化成的等效結(jié)點(diǎn)荷載6—1—6即為單元結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式。四、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程有了上述單元力關(guān)系式，象在靜力問題中對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)建立平衡方程一樣，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)建立動(dòng)平衡方程后，即可得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程組：6—1—7式中：分別為總質(zhì)量、總阻尼、總剛度矩陣。為外力（結(jié)點(diǎn)力），實(shí)為干擾力（當(dāng)不考慮靜載時(shí)）當(dāng)不計(jì)阻尼影響時(shí)，上式成為：6—1—8若干擾力為零，得：6—1—9即結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程組。由此可求得結(jié)構(gòu)的自振特性（頻率，振型）。由上可見，動(dòng)力問題首先要解決及的形成和方程組的求解問題，下面逐一加以討論。6.2單元質(zhì)量矩陣和單元阻尼矩陣由于單元質(zhì)量矩陣表達(dá)式中包含了推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)相同的形函數(shù)，因此常將按此式形成的稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（或一致質(zhì)量矩陣），下面對(duì)此討論。一、幾種常見的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣梁?jiǎn)卧ㄈ鐖D）設(shè)梁?jiǎn)卧灰坪瘮?shù)：式中形函數(shù)設(shè)單元的質(zhì)量沿梁的長度方向均勻分布，則有：6—2—1二、集中質(zhì)量矩陣從上可知，單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和單剛具有相同的階數(shù)，因此，從總質(zhì)量矩陣的階數(shù)也與總剛相同?；蛘哒f采用協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣后，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度和結(jié)構(gòu)的靜力自由度是相同的，動(dòng)力問題的這種做法，其求解是很費(fèi)時(shí)的：形成質(zhì)量矩陣的工作量等同于總剛特征值的求解但是工程實(shí)際和試驗(yàn)證明，在某種干擾力作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)是有明顯主次之分的。因?yàn)楣こ躺贤ǔ０褑卧姆植假|(zhì)量集中到各結(jié)點(diǎn)而成為集中推聚質(zhì)量，這樣可使問題得到很大簡(jiǎn)化，且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)表明，二者給出的計(jì)算精度相差無幾（如果小而重的物體放置在一個(gè)輕型結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)上集中質(zhì)量公式是近乎精確的）質(zhì)量集中按靜力等效原則，且常忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，上述各單元的質(zhì)量矩陣簡(jiǎn)化為：梁?jiǎn)卧撼?yīng)變?nèi)菃卧壕匦伪“鍐卧河纱丝梢?，采用集中質(zhì)時(shí)，集中質(zhì)量即采用“就近堆積”的原則。三、阻尼矩陣在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，較多采用的是粘滯阻尼理論，即假定阻尼力與速度成正比，由此得到單元的阻尼矩陣：①這樣做，可給方程組的求解帶來方便。但這個(gè)假定并不能很好的符合結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。因此在實(shí)際應(yīng)用中也常采用M和K的線性組合：②或③也可寫成更一般的形式：④當(dāng)取S=0、1兩項(xiàng)時(shí)，即為式②式中系數(shù)由下式假定：由于阻尼矩陣依賴于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，故可通過、而獲得。6.3結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)和特征值問題一、特征值方程這是一個(gè)大家都很熟悉的問題，故著重討論程序設(shè)計(jì)上的一些處理方法。結(jié)構(gòu)作無阻尼自由振動(dòng)的微分方程：6—1—9設(shè)結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：將其代回6—1—9得：求解特征方程6—3—1，即可獲得幾個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度所對(duì)應(yīng)的頻率和振型。還有另一種求特征值的頻率方程：由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，如果從質(zhì)點(diǎn)的位移方程出發(fā)，建立運(yùn)動(dòng)方程（柔度法）則n階自振方程：相應(yīng)頻率方程：6—3—2式中：—柔度矩陣；；—n階單位矩陣。解此方程亦得到上述相同結(jié)果。特征方程的解法很多（迭代法、雅可比、子空間），但無論哪種方法，也不管是6—3—1或6—3—2，對(duì)一個(gè)大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來說，如果它的的運(yùn)動(dòng)自由度與靜力自由度一致的話，其求解是很費(fèi)時(shí)的。工程實(shí)際應(yīng)用中，所要求的運(yùn)動(dòng)自由度遠(yuǎn)小于靜力自由度。二、特征值方程求解方法如圖示剛架，在水平地震力作用下，我們通常只取各樓層的水平位移為運(yùn)動(dòng)自由度，即對(duì)該結(jié)構(gòu)來說靜力自由度為72，而運(yùn)動(dòng)自由度僅6。在運(yùn)動(dòng)方程6—1—7里，如果只取與運(yùn)動(dòng)自由度有關(guān)的位移分量，則可使求解大為簡(jiǎn)化。此時(shí)。可將n階自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程改為：6—3—3式中小標(biāo)E代表只與振動(dòng)自由度有關(guān)的位移分量。從包含運(yùn)動(dòng)全部自由度的運(yùn)動(dòng)方程6—1—7中分離出只包含運(yùn)動(dòng)自由度的運(yùn)動(dòng)方程6—3—3，常稱為凝聚或縮減。凝聚可采用多種辦法：自由度編號(hào)分塊法（王志楷《高等結(jié)構(gòu)力學(xué)》）在形成總剛時(shí)，人為地將與運(yùn)動(dòng)自由度相應(yīng)的位移分量排在一起，而將其余自由度另放一起，設(shè)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)自由度有關(guān)的位移分量為，則總剛可寫成如下分塊形式：①②因，由①得③將③代入②得簡(jiǎn)寫為式中在房屋建筑結(jié)構(gòu)抗震問題中又稱為抗側(cè)剛度矩陣（只含樓層水平位移）此法缺點(diǎn)，帶寬大（近乎滿陣），存多個(gè)矩陣，多矩陣乘，甚大。故只適宜于小問題，研究性問題。書：ConceptsandApplicationsofFiniteElementAnalysisR.D.cook86.21R.D.3分塊有程序，并言可不分別編號(hào)亦能凝聚2.根據(jù)質(zhì)量矩陣中主元為零的信息，在解方程中直接加以處理（特殊的解頻率方程的方法，通常只用于自由振動(dòng)）3．模態(tài)綜合法（子結(jié)構(gòu)法用于動(dòng)力計(jì)算）4．直接形成與相應(yīng)的柔度矩陣這是較好的一種方法，在結(jié)構(gòu)抗震的彈性分析中較多采用。其思路是，根據(jù)柔度中柔度系數(shù)的物理意義（單位力作用下的位移）可分別在各質(zhì)點(diǎn)加水平單位力，逐一求出其與運(yùn)動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)的位移，從而獲得。仍以上例為例，其為：式中表示當(dāng)質(zhì)點(diǎn)j作用一單位水平力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)i所在結(jié)點(diǎn)的水平位移。由于求時(shí)，總剛已經(jīng)分解，將每個(gè)單位力作為一組獨(dú)立工況，可很快解出其位移列陣。從中挑出與質(zhì)點(diǎn)水平位移有關(guān)的分量即可組成。計(jì)算工作量小，不需附加數(shù)組，程序簡(jiǎn)單，見subroutineDZL()?？捎芍苯哟腩l率方程求解，也可對(duì)求逆得出抗側(cè)總剛形成柔度矩陣的程序段：DO30I=1,MA動(dòng)力自由度數(shù)DO10J=1,NN 未知量總數(shù)10P（J）＝0 右端項(xiàng)P（JW（I））＝1只分解加相應(yīng)單位力CALLJFC（NN，LD，2）解方程DO20J＝1，MA20A（J，I）＝P（JW（I））柔度矩陣30CONTINUE6.4地震反應(yīng)分析的計(jì)算機(jī)方法——振型分解反應(yīng)譜法上節(jié)介紹的求解結(jié)構(gòu)自振特性是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中很重要的一步。但在工程應(yīng)用中常需動(dòng)力反應(yīng)分析。如地震反應(yīng)分析。地震反應(yīng)分析通常采用兩種方法：反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法（直接積分法）。我國抗震規(guī)范提供了三種計(jì)算動(dòng)力反應(yīng)的方法：底部剪力法、振型分解反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法。底部剪力法是一種簡(jiǎn)化的手算方法。故本次課介紹兩種方法。－、振型分解法概念振型分解法是利用振型的正交性，將原來的n階聯(lián)立方程①6-4-1李P264~35分解成相互獨(dú)立的振動(dòng)方程，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)，分解成按各個(gè)振型的獨(dú)立振動(dòng)的疊加，也可理解成把結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列矢量表達(dá)成：②6-4-2式中為上節(jié)求得的振型矩陣，稱為振型坐標(biāo)，或廣義坐標(biāo)。將②代入①并利用振型的正交條件：（阻尼亦滿足正交條件）便可將式①化為n個(gè)獨(dú)立非耦聯(lián)的微分方程：③6-4-3若引入記號(hào)：第j振型的廣義質(zhì)量…………廣義剛度系數(shù)………廣義阻尼系數(shù)則可化成一般形式的單質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)力方程：④6-4-4李P78式中為第j振型的振型參與系數(shù)為第j振型阻尼比省去上式中的下標(biāo)j，并將右端項(xiàng)換成，便得常見單質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)微分方程形式。⑤它的解可用杜哈美積分表示：6-4-5>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>二．地震反應(yīng)譜概念（思路）反應(yīng)譜理論創(chuàng)立于1940年代，它考慮了結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性與地震動(dòng)特性之間的動(dòng)力關(guān)系。通過反應(yīng)譜來計(jì)算由結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性（周期、振型和阻尼）所產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)。反應(yīng)譜方法基于以下假定（水平振動(dòng)）假定地震時(shí)建筑物的地基只作平行于地面的剛體運(yùn)動(dòng)；假定地面運(yùn)動(dòng)過程可以用強(qiáng)震儀記錄來表示；假定建筑物是彈性體系。這樣，就可以利用儀器所記錄的地面加速度時(shí)程曲線，按振型分解的方法將建筑物在地震作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)化為一系列單自由度體系問題。由6-4-5式，通過數(shù)值積分方法便可計(jì)算出任何一個(gè)頻率為，阻尼比為的單質(zhì)點(diǎn)體系在給定加速度影響下的相對(duì)位移反應(yīng)曲線。在相同作用下，不同的單質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)各不相同，即各自反應(yīng)曲線的峰值和頻率特性也各不相同，取哪一條呢？好在設(shè)計(jì)中最關(guān)心的往往是最大反應(yīng)。阻尼比一定時(shí)，對(duì)于不同的自振周期T（頻率）都可以找出相應(yīng)最大位移反應(yīng)。于是，對(duì)于每一個(gè)地震加速度記錄（）都可以算出一組以為參數(shù)的與周期T之間的關(guān)系曲線，這就是我們常說的位移反應(yīng)譜。工程設(shè)計(jì)中，一般都采用地震作用（荷載）的概念也就是通過荷載來計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。為了計(jì)算地震荷載，還要涉及到速度和加速度反應(yīng)譜，以及這些反應(yīng)譜之間的關(guān)系。最后我們便可以計(jì)算出地震作用時(shí)在單質(zhì)點(diǎn)體系上的最大慣性力，即地震作用力。式中：，地震系數(shù)，即以重力加速度g為單位的地面運(yùn)動(dòng)最大加速度。，動(dòng)力系數(shù)，即以地面最大加速度為單位的加速度反應(yīng)譜。，地震影響系數(shù)。我國抗震規(guī)范提供了地震影響系數(shù)曲線。規(guī)范規(guī)定，與自振周期、場(chǎng)地類別等有關(guān)（見下面圖）對(duì)于多自由度體系，即可利用反應(yīng)譜，查得對(duì)應(yīng)于各振型的絕對(duì)最大值的地震反應(yīng)，得到簡(jiǎn)化的地震作用計(jì)算公式。>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..直線下降段的下斜率調(diào)整系數(shù)。且阻尼調(diào)整系數(shù)且阻尼比，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05?！?.1.5條。特征周期。按表5.1.4-2取值特征周期值（s）設(shè)計(jì)地震分組場(chǎng)地類別ⅠⅡⅢⅣ第一組第二組第三組0.250.300.350.350.400.450.450.550.650.650.750.90原分近、遠(yuǎn)震三．地震作用計(jì)算對(duì)于多自由度體系，即可利用反應(yīng)譜，查得對(duì)應(yīng)于各振型的絕對(duì)最大值的地震反應(yīng)，從而得到簡(jiǎn)化的地震作用計(jì)算公式（規(guī)范公式）規(guī)范給出第j振型i質(zhì)點(diǎn)上的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值抗規(guī)P31式中：地震影響系數(shù)；震型參與系數(shù)；比照P2式振型向量中的元素i（j振型i質(zhì)點(diǎn)的水平相對(duì)位移）質(zhì)點(diǎn)i的重量（重力荷載代表值P27§5.1.3條）對(duì)于第j振型對(duì)結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)，可將當(dāng)作一組靜載施加于結(jié)構(gòu)，計(jì)算其內(nèi)力、位移（量值）對(duì)于各振型的總作用效應(yīng)：上式稱為平方和開方法（SRSS法），適用于平面問題的計(jì)算，當(dāng)用振型分解反應(yīng)譜法對(duì)結(jié)構(gòu)物體作空間分析，也即考慮結(jié)構(gòu)物的空間扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時(shí)，采用完整二次項(xiàng)組合法（COC法）eq\o\ac(○,2)單項(xiàng)地震的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)：（規(guī)P33）抗規(guī)P33(5.2.3-5)式中：：地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)；、：分別為j、k振型地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的效應(yīng)，可取前9～15個(gè)振型；、：分別為j、k振型的阻尼比；：第j振型與k振型的耦聯(lián)系數(shù)；：k振型與j振型自振周期比；采用COC法應(yīng)組合前9～15個(gè)振型?？蛇M(jìn)一步解釋扭轉(zhuǎn)振型的特點(diǎn)。eq\o\ac(○,3)雙向水平地震的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)按扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)振型分解法計(jì)算，可取兩個(gè)正交水平位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角，共三個(gè)自由度計(jì)算：式中：、、：分別為j振型i層的小方向、y方向和轉(zhuǎn)角方向的地震作用標(biāo)準(zhǔn)值；、：分別為j振型i層質(zhì)心在x、y方向的水平相對(duì)位移；：j振型i層的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角；：i層轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，可取i層繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量除以該層質(zhì)量的商的正二次方根；：計(jì)入扭轉(zhuǎn)的j振型的參與系數(shù)；6.5時(shí)程分析法（直接積分法、步步積分、逐步積分）DirectIntegrationMethodsstepbystep前面介紹的反應(yīng)譜理論盡管考慮了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，然而它仍然是把地震慣性力當(dāng)作靜力來對(duì)待，所求的是一個(gè)綜合的最大值，所以還只是一種準(zhǔn)動(dòng)力方法。時(shí)程分析法是采用地震加速度時(shí)程曲線作為輸入?yún)?shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)的時(shí)間歷程分析，是一種完整的動(dòng)力分析方法。優(yōu)點(diǎn)：eq\o\ac(○,1)全面考慮了強(qiáng)震中震動(dòng)的振幅、頻譜和持時(shí)三要素。eq\o\ac(○,2)全面考慮了長周期分量對(duì)高層的不利影響。eq\o\ac(○,3)可了解到地震過程中結(jié)構(gòu)物的屈服機(jī)制和較準(zhǔn)確地找出結(jié)構(gòu)的薄弱部位。基本思想：將本來應(yīng)在任何時(shí)刻大都應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程的位移矢量簡(jiǎn)化為只要在時(shí)間離散點(diǎn)上滿足方程。而在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)位移、速度、加速度的關(guān)系則采用某種假定。依所取假定不同而有各種不同的積分方法。如假定在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)加速度按線性變化的線加速度法，以線加速度法為基礎(chǔ)的法，以及Newmark法等。以下介紹法。一．線加速度法的基本原理因?yàn)榉ㄊ且跃€加速度法為基礎(chǔ)的，故首先介紹其基本原理。在時(shí)刻ti到ti+1（ti+1=ti＋Δt）之間，假定ti時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)的地震響應(yīng)（）是已知的，ti＋1時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)的地震響應(yīng)（）是待求量。線加速度法假定在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的加速度呈線性變化。因此，位移對(duì)時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為常數(shù)，即：（a）將位移反應(yīng)y（即前面的D）在時(shí)刻開始時(shí)展開成泰勒級(jí)數(shù)：（b）將式（a）代入式（b）得：（c）對(duì)求導(dǎo)得：（d）當(dāng)時(shí)，即時(shí)程由變化到時(shí)，由式（c）得：或?qū)懗桑海╡）由式（d）得：或?qū)懗桑海╢）由式（e）得：（g）將式（g）代入式（f）可得：（h）從式（g）和式（h）可看出，速度增量，加速度增量都可以通過位移增量算出，為了求，我們先討論單自由度的情況，然后再擴(kuò)展到多自由度。單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程為：（i）在時(shí)，式（i）同樣成立：（j）式（i）、式（j）相減即得增量動(dòng)平衡方程：（k）將速度增量的表達(dá)式（h）和加速度增量表達(dá)式（g）代入上式并整理得：（）式中：等效剛度系數(shù)（矩陣）等效荷載系數(shù)（矩陣）式（）叫增量擬靜力平衡方程，據(jù)此可算出（因?yàn)椴介L及、等均為已知），再由式（h）、（g）計(jì)算出、，于是得到了、和。重復(fù)以上過程便可以得到各時(shí)刻的地震反應(yīng)。這便是用線性加速度法計(jì)算地震反應(yīng)的基本原理。對(duì)于多自由度體系，也可以用同樣的辦法來逐步計(jì)算。二．法法（法）象上面介紹的線加速度法一樣，仍是假定在每個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的加速度按直線規(guī)律變化，所不同的只是將時(shí)間間隔延伸到。所以此法又叫作修正的線加速度法。上述線加速度法是有條件穩(wěn)定的，而法是無條件穩(wěn)定的。法的公式推導(dǎo)過程與前面線加速度法基本相同，因此我們這里（6-3-3）式為基礎(chǔ)直接給出多自由度體系的迭代步驟和相應(yīng)公式：（6-3-3）（1）形成等效剛度矩陣：（2）位移、速度、加速度和右端頂項(xiàng)賦初值：（3）形成等效荷載列陣：（4）解方程：（5）計(jì)算加速度增量：時(shí)間步長為時(shí)：正常步長時(shí)：（6）時(shí)刻的反應(yīng)：位移反應(yīng)：速度反應(yīng)：加速度反應(yīng)：在上述數(shù)值計(jì)算