《12.3角的平分線的性質(zhì)》知識清單

《12.3角的平分線的性質(zhì)》知識清單人教版（2012）八年級上冊第十二章12.3角的平分線的性質(zhì)知識清單一、角平分線的定義1、概念從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線。比如，在角∠AOB中，射線OC把∠AOB分成∠AOC和∠BOC，且∠AOC＝∠BOC，那么OC就是∠AOB的平分線。二、角平分線的性質(zhì)1、性質(zhì)內(nèi)容角平分線上的點到角兩邊的距離相等。這里的距離是指從角平分線上的點向角的兩邊作垂線段的長度。用數(shù)學(xué)語言來表述就是：如果OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，那么PD＝PE。2、證明角平分線性質(zhì)我們可以通過三角形全等的知識來證明。已知OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。在△OPD和△OPE中，因為∠AOC＝∠BOC（角平分線定義），∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定義），OP＝OP（公共邊），所以根據(jù)角角邊（AAS）全等判定定理，得出△OPD≌△OPE，從而得到PD＝PE。3、應(yīng)用角平分線性質(zhì)解題的思路當(dāng)題目中已知角平分線以及角平分線上的點到角一邊的距離時，我們要想到這個點到角另一邊的距離也相等，然后利用這個相等關(guān)系來求解線段的長度或者證明線段相等。例如：已知∠ABC的平分線BD，點E在BD上，EF⊥AB于F，若已知EF的長度，又知道點E到BC邊的某條垂線段相關(guān)條件，就可以利用角平分線性質(zhì)來解題。三、角平分線的判定1、判定內(nèi)容角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。數(shù)學(xué)語言表述為：如果點P在∠AOB內(nèi)部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD＝PE，那么點P在∠AOB的平分線上。2、證明角平分線判定同樣利用三角形全等。已知PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE。在Rt△OPD和Rt△OPE中，因為PD＝PE，OP＝OP（公共邊），根據(jù)斜邊直角邊（HL）全等判定定理，得出Rt△OPD≌Rt△OPE，所以∠AOP＝∠BOP，即點P在∠AOB的平分線上。3、應(yīng)用角平分線判定解題的思路當(dāng)題目中給出角內(nèi)部的一個點到角兩邊的距離相等時，我們要想到這個點在角的平分線上。比如在一個三角形中，已知某點到三角形兩個角的兩邊距離分別相等，就可以判斷這個點在這兩個角的角平分線的交點處。四、關(guān)于角平分線的作圖1、用尺規(guī)作角平分線步驟如下：以點O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N。分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C。畫射線OC，OC就是∠AOB的平分線。2、原理這種作圖方法的原理是基于三角形全等。連接MC、NC，在△OMC和△ONC中，OM＝ON（第一步畫圖得到），MC＝NC（第二步畫圖得到），OC＝OC（公共邊），根據(jù)邊邊邊（SSS）全等判定定理，得出△OMC≌△ONC，所以∠MOC＝∠NOC，即OC是∠AOB的平分線。五、習(xí)題1、已知：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF。求證：CF＝EB。2、如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C＝180°。3、已知：OP是∠MON的平分線，點A在OP上，點B、C分別在OM、ON上，且AB＝AC。求證：∠ABO＝∠ACO。答案：1、證明：因為AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DC＝DE。在Rt△DCF和Rt△DEB中，因為BD＝DF，DC＝DE，所以Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），所以CF＝EB。2、證明：過點D作DE⊥BA交BA的延長線于E，DF⊥BC于F。因為BD平分∠ABC，所以DE＝DF。又因為AD＝CD，在Rt△ADE和Rt△CDF中，根據(jù)HL定理可得Rt△ADE≌Rt△CDF，所以∠C＝∠EAD。因為∠EAD+∠BAC＝180°，所以∠A+∠C＝180°。3、證明：過點A作AD⊥OM于D，AE⊥ON于E。因