《本章小結》講義

《本章小結》講義高中數(shù)學人教B版選修11第二章圓錐曲線與方程本章小結講義一、圓錐曲線的定義1、橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點\（F_1,F_2\）的距離之和等于常數(shù)（大于\（＼vertF_1F_2\vert\））的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。例如：如果\（F_1,F_2\）是兩個定點，＼（＼vertF_1F_2\vert＝2c\），點\（M\）滿足\（＼vertMF_1\vert+＼vertMF_2\vert＝2a\）（＼（a＞c\）），那么點\（M\）的軌跡就是橢圓。就像我們拿一根繩子，兩端固定在兩個點（這兩個點就是焦點），然后用一支筆把繩子繃緊，移動筆就畫出了一個橢圓。2、雙曲線定義：平面內(nèi)與兩個定點\（F_1,F_2\）的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于\（＼vertF_1F_2\vert\））的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。比如：設\（F_1,F_2\）是兩個定點，＼（＼vertF_1F_2\vert＝2c\），點\（M\）滿足\（＼vert\vertMF_1\vert\vertMF_2\vert\vert＝2a\）（＼（a＜c\）），這樣點\（M\）的軌跡就是雙曲線。想象一下，有兩個點（焦點），點到這兩個點的距離差是個定值，這個點運動的軌跡就是雙曲線。3、拋物線定義：平面內(nèi)，到一個定點\（F\）和一條定直線\（l\）（＼（F\notinl\））的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點\（F\）叫做拋物線的焦點，直線\（l\）叫做拋物線的準線。例如：我們可以想象在一個平面上，有一個點（焦點）和一條直線（準線），一個點到這個點和這條直線的距離總是相等，這個點運動的軌跡就是拋物線。就像投籃的時候，籃球出手后的軌跡有點像拋物線（當然這只是個簡單的類比啦）。二、圓錐曲線的標準方程1、橢圓當焦點在\（x\）軸上時，橢圓的標準方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），其中\(zhòng)（a\）是長半軸長，＼（b\）是短半軸長，＼（c^2=a^2b^2\），＼（c\）是半焦距。當焦點在\（y\）軸上時，橢圓的標準方程為\（＼frac{y^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{x^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼）。2、雙曲線當焦點在\（x\）軸上時，雙曲線的標準方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），其中\(zhòng)（a\）是實半軸長，＼（b\）是虛半軸長，＼（c^2=a^2＋b^2\），＼（c\）是半焦距。當焦點在\（y\）軸上時，雙曲線的標準方程為\（＼frac{y^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{x^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼）。3、拋物線當焦點在\（x\）軸正半軸上時，拋物線的標準方程為\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼），焦點坐標為\（（＼frac{p}｛2}，0)＼），準線方程為\（x＝＼frac{p}｛2}＼）。當焦點在\（x\）軸負半軸上時，拋物線的標準方程為\（y^｛2}＝－2px(p＞0)＼），焦點坐標為\（（＼frac{p}｛2}，0)＼），準線方程為\（x=＼frac{p}｛2}＼）。當焦點在\（y\）軸正半軸上時，拋物線的標準方程為\（x^｛2}＝2py(p＞0)＼），焦點坐標為\（（0,＼frac{p}｛2}）＼），準線方程為\（y＝＼frac{p}｛2}＼）。當焦點在\（y\）軸負半軸上時，拋物線的標準方程為\（x^｛2}＝－2py(p＞0)＼），焦點坐標為\（（0,＼frac{p}｛2}）＼），準線方程為\（y=＼frac{p}｛2}＼）。三、圓錐曲線的性質(zhì)1、橢圓范圍：對于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），＼（a\leqslantx\leqslanta\），＼（b\leqslanty\leqslantb\）。對稱性：關于\（x\）軸、＼（y\）軸和原點對稱。頂點：＼（（＼pma,0)＼），＼（（0,＼pmb)＼）。離心率\（e=＼frac{c}｛a}（0＜e＜1)＼），離心率越大，橢圓越扁；離心率越小，橢圓越接近于圓。2、雙曲線范圍：對于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），＼（x\leqslanta\）或\（x\geqslanta\）。對稱性：關于\（x\）軸、＼（y\）軸和原點對稱。頂點：＼（（＼pma,0)＼）。漸近線：當焦點在\（x\）軸上時，漸近線方程為\（y=＼pm\frac｛a}x\）；當焦點在\（y\）軸上時，漸近線方程為\（y=＼pm\frac{a}｛b}x\）。離心率\（e=＼frac{c}｛a}（e＞1)＼），離心率越大，雙曲線的開口越開闊。3、拋物線對于\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼），對稱軸為\（x\）軸，頂點為原點\（（0,0)＼），開口向右；當\（p\）越大，拋物線開口越開闊。四、重點和難點1、重點掌握圓錐曲線的定義、標準方程和性質(zhì)。這些是解決圓錐曲線相關問題的基礎，就像蓋房子的磚頭一樣重要。能夠根據(jù)已知條件求圓錐曲線的方程。這需要我們熟練運用定義和各種已知信息，比如給定焦點坐標、頂點坐標或者離心率等條件來確定方程。2、難點圓錐曲線中一些概念的理解，比如雙曲線的漸近線概念。漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，它描述了雙曲線無限接近但永遠不會相交的直線，理解起來有點抽象。綜合運用圓錐曲線的知識解決實際問題或者復雜的數(shù)學問題。這可能涉及到圓錐曲線與直線的位置關系，求交點坐標，以及利用圓錐曲線的性質(zhì)來求解一些最值或者范圍問題等。五、互動環(huán)節(jié)1、我來問，你們來答我問：橢圓的離心率范圍是多少？你們答：＼（0＜e＜1\）。我再問：雙曲線的漸近線方程怎么求呢？（可以舉個焦點在\（x\）軸上的雙曲線例子）你們回答：對于\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞0,b＞0)＼），漸近線方程是\（y=＼pm\frac｛a}x\）。2、你們來問，我來答現(xiàn)在輪到你們提問啦，關于圓錐曲線的定義、方程或者性質(zhì)方面有什么問題都可以問哦。六、習題1、填空題橢圓\（＼frac{x^｛2}｝｛25}＋＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）的長半軸長\（a＝＼）＿_________，短半軸長\（b=＼）＿_________，半焦距\（c=＼）＿_________。雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）的實半軸長\（a=＼）＿_________，虛半軸長\（b=＼）＿_________，離心率\（e=＼）＿_________。拋物線\（y^｛2}＝8x\）的焦點坐標為\（（＼）＿_________,＼（0)＼），準線方程為\（x=＼）＿_________。2、解答題已知橢圓的兩個焦點坐標分別為\（（－2,0)＼）和\（（2,0)＼），且橢圓過點\（（＼frac{5}｛2}，＼frac{3}｛2}）＼），求橢圓的標準方程。求雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1\）的漸近線方程，并畫出草圖（草圖這里就簡單描述一下大概形狀就好）。已知拋物線\（y^｛2}＝2px(p＞0)＼）的焦點到準線的距離為\（4\），求\（p\）的值，并寫出拋物線的標準方程。答案：1、填空題橢圓\（＼frac{x^｛2}｝｛25}＋＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）中，＼（a＝5\），＼（b＝4\），＼（c＝3\）。雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛9}＼frac{y^｛2}｝｛16}＝1\）中，＼（a＝3\），＼（b＝4\），＼（e=＼frac{5}｛3}＼）。拋物線\（y^｛2}＝8x\）中，焦點坐標為\（（2,0)＼），準線方程為\（x=－2\）。2、解答題設橢圓方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛a^｛2}｝＋＼frac{y^｛2}｝｛b^｛2}｝＝1(a＞b＞0)＼），＼（c＝2\），根據(jù)橢圓定義\（2a=＼sqrt{（＼frac{5}｛2}＋2)＾｛2}＋（＼frac{3}｛2}－0)＾｛2}｝＋＼sqrt{（＼frac{5}｛2}－2)＾｛2}＋（＼frac{3}｛2}－0)＾｛2}｝＼），解得\（a=＼sqrt{10}＼），又\（c＝2\），則\（b^｛2}＝a^｛2}c^｛2}＝104＝6\），橢圓方程為\（＼frac{x^｛2}｝｛10}＋＼frac{y^｛2}｝｛6}＝1\）。對于雙曲線\（＼frac{x^｛2}｝｛16}＼frac{y^｛2}｝｛9}＝1\），漸近線方程為