《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)##一、學(xué)情分析高中學(xué)生已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，如函數(shù)、平面解析幾何等知識(shí)。他們的邏輯思維能力正在逐漸增強(qiáng)，但對(duì)于像橢圓這樣較為抽象的幾何圖形及其方程的理解可能會(huì)存在一些困難。部分學(xué)生可能在代數(shù)運(yùn)算和幾何圖形的轉(zhuǎn)換方面還不夠熟練，需要在教學(xué)過程中給予更多的引導(dǎo)和練習(xí)。##二、教材分析本節(jié)課的內(nèi)容來自湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)。橢圓是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是進(jìn)一步研究橢圓性質(zhì)的基礎(chǔ)。教材從實(shí)際生活中的橢圓實(shí)例引入，通過建立平面直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活又應(yīng)用于生活的理念，同時(shí)也滲透了坐標(biāo)法這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。##三、教學(xué)目標(biāo)###（一）知識(shí)與技能目標(biāo)1、學(xué)生能夠理解橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。2、能根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定橢圓的焦點(diǎn)位置、長(zhǎng)半軸、短半軸等基本信息。3、會(huì)運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡(jiǎn)單的問題。###（二）過程與方法目標(biāo)1、通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和代數(shù)運(yùn)算能力。2、經(jīng)歷從具體實(shí)例中抽象出橢圓概念的過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力。###（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)1、感受橢圓在生活中的廣泛應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2、在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、不怕困難的精神。##四、教學(xué)重難點(diǎn)###（一）教學(xué)重點(diǎn)1、橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及相關(guān)參數(shù)的確定。###（二）教學(xué)難點(diǎn)1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，關(guān)于等式的化簡(jiǎn)和變形。2、如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定橢圓的相關(guān)性質(zhì)。##五、教學(xué)方法1、講授法：講解橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)。2、探究法：引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。3、討論法：組織學(xué)生討論橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)意義及其應(yīng)用。##六、教學(xué)過程###（一）導(dǎo)入（5分鐘）1、給學(xué)生展示一些生活中的橢圓實(shí)例，比如橄欖球的橫截面、某些天體的運(yùn)行軌道（可以是簡(jiǎn)單的示意圖）等，問學(xué)生這些圖形有什么特點(diǎn)呢？看起來像是被壓扁了的圓。那這種圖形在數(shù)學(xué)里叫什么呢？今天咱們就來學(xué)習(xí)橢圓。###（二）新授（25分鐘）####1、橢圓的定義（5分鐘）（1）在黑板上畫一個(gè)橢圓的直觀圖（可以用繩子固定兩點(diǎn)，然后用鉛筆拉緊繩子畫出來），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓的形成過程。（2）講解橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距?？梢宰寣W(xué)生自己在本子上根據(jù)定義畫一個(gè)橢圓，感受一下。####2、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)（15分鐘）（1）建立平面直角坐標(biāo)系：以橢圓的中心為原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)橢圓的焦距為2c（c>0），橢圓上任意一點(diǎn)P（x，y），兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（a>c>0）。（2）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，寫出|PF1|和|PF2|的表達(dá)式：-|PF1|=sqrt((x+c)^2+y^2)-|PF2|=sqrt((x-c)^2+y^2)（3）因?yàn)閨PF1|+|PF2|=2a，所以有：-sqrt((x+c)^2+y^2)+sqrt((x-c)^2+y^2)=2a（4）對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)（這是個(gè)難點(diǎn)，要慢慢引導(dǎo)學(xué)生）：-先將一個(gè)根式移到等式右邊：-sqrt((x+c)^2+y^2)=2a-sqrt((x-c)^2+y^2)-兩邊平方：-(x+c)^2+y^2=4a^2-4a*sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2-展開并化簡(jiǎn)：-x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-4a*sqrt((x-c)^2+y^2)+x^2-2cx+c^2+y^2-4cx-4a^2=-4a*sqrt((x-c)^2+y^2)-cx-a^2=-a*sqrt((x-c)^2+y^2)-再兩邊平方：-(cx-a^2)^2=a^2*((x-c)^2+y^2)-c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2*(x^2-2cx+c^2+y^2)-c^2x^2-2a^2cx+a^4=a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2-(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)（5）令b^2=a^2-c^2（b>0），則得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：-當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)（6）然后引導(dǎo)學(xué)生思考如果焦點(diǎn)在y軸上時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程會(huì)是什么樣呢？讓學(xué)生小組討論一下，然后得出結(jié)論：-當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)####3、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的參數(shù)意義（5分鐘）（1）以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為例，講解a、b、c的意義。-a表示橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b表示橢圓短半軸的長(zhǎng)，c表示半焦距。-并且滿足a^2=b^2+c^2。（2）讓學(xué)生觀察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，思考如何根據(jù)方程判斷焦點(diǎn)在x軸還是y軸上?？梢酝ㄟ^觀察x^2和y^2下面的分母大小來判斷，分母大的對(duì)應(yīng)的就是長(zhǎng)半軸的平方。###（三）鞏固（15分鐘）1、給出一些橢圓方程，讓學(xué)生判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，例如：-（1）x^2/9+y^2/4=1-（2）y^2/16+x^2/9=1-（3）x^2/25+y^2/16=12、已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。-解：因?yàn)榻咕?c=4，所以c=2，又因?yàn)閍=5，根據(jù)b^2=a^2-c^2，可得b^2=25-4=21，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/25+y^2/21=13、設(shè)橢圓的方程為x^2/16+y^2/9=1，求橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)和焦距。-解：因?yàn)榉匠虨閤^2/16+y^2/9=1，所以a^2=16，b^2=9，那么a=4，b=3，又因?yàn)閏^2=a^2-b^2=16-9=7，所以c=sqrt(7)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4，短半軸長(zhǎng)為3，焦距為2sqrt(7)。###（四）總結(jié)（5分鐘）1、讓學(xué)生回顧橢圓的定義，強(qiáng)調(diào)要注意定義中的條件（平面內(nèi)、與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和為常數(shù)、常數(shù)大于兩定點(diǎn)間距離）。2、回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，重點(diǎn)回顧化簡(jiǎn)過程中的關(guān)鍵步驟和用到的數(shù)學(xué)思想方法（如坐標(biāo)法、等式的變形等）。3、總結(jié)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的意義以及如何根據(jù)方程判斷焦點(diǎn)位置。###（五）作業(yè)布置（5分鐘）1、書面作業(yè)-課本上的相關(guān)習(xí)題，比如求一些給定條件下橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷橢圓方程焦點(diǎn)位置等題目。-已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（4，0），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。-解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c=3，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)（4，0），所以a=4，根據(jù)b^2=a^2-c^2，可得b^2=16-9=7，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/16+y^2/7=12、拓展作業(yè)-讓學(xué)生自己尋找生活中的橢圓實(shí)例，然后測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，嘗試建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（這個(gè)作業(yè)可以讓學(xué)生分組完成，下節(jié)課可以讓小組代表來展示成果）。##七、教學(xué)評(píng)價(jià)###（一）形成性評(píng)價(jià)1、在課堂上，觀察學(xué)生的表現(xiàn)，包括是否積極參與橢圓定義的探究、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中的思考和回答問題情況等。對(duì)于積極參與的學(xué)生給予表揚(yáng)，對(duì)于存在疑惑的學(xué)生及時(shí)給予指導(dǎo)。2、在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，查看學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，根據(jù)學(xué)生的解題情況進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，了解學(xué)生在哪些知識(shí)點(diǎn)上還存在問題，比