2024年福建省中考數(shù)學(xué)試題含答案

數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.2.據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.如圖是由長方體和圓柱組成幾何體，其俯視圖是（）A. B.C. D.4.在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A. B. C. D.5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.6.哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.7.如圖，已知點在上，，直線與相切，切點為，且為的中點，則等于（）A. B. C. D.8.今年我國國民經(jīng)濟(jì)開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.9.小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對稱，點，分別是底邊，的中點，．下列推斷錯誤的是（）A. B.C. D.10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個實數(shù)，使得 B.無論實數(shù)取什么值，都有C.可以找到一個實數(shù)，使得 D.無論實數(shù)取什么值，都有二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．12.不等式的解集是______．13.學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識，隨機(jī)抽取了12名學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是______．（單位：分）14.如圖，正方形的面積為4，點，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的面積為______．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標(biāo)為______．16.無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對帆的作用力為．根據(jù)物理知識，可以分解為兩個力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則______．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.計算：．18.如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．19.解方程：．20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分：乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；（2）若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請給予證明：若不能，請舉例說明．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標(biāo)．22.如圖，已知直線．（1）在所在的平面內(nèi)求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．23.已知實數(shù)滿足．（1）求證：為非負(fù)數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示矩形卡紙，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．圖1圖2圖3（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是（）圖4A．B．C．D．（3）卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整，的比例，制作棱長為的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25.如圖，在中，，以為直徑的交于點，，垂足為的延長線交于點．（1）求的值；（2）求證：；（3）求證：與互相平分．

參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.【答案】D【解析】根據(jù)無理數(shù)的定義可得：無理數(shù)是故選：D．2.【答案】C【解析】故選：C．3.【答案】C【解析】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓形，圓形內(nèi)部中間是一個矩形．故選：C．4.【答案】A【解析】∵，∴，∵，則，∴，故選：A．5.【答案】B【解析】解：，A選項不合題意；，B選項符合題意；，C選項不合題意；，D選項不合題意；故選：B．6.【答案】B【解析】解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是，故選：B7.【答案】A【解析】∵，為的中點，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．8.【答案】A【解析】解：將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：，故選：A．9.【答案】B【解析】解：A.，，由對稱得，點，分別是底邊，的中點，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯誤，故符合題意；C.由對稱得，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過作，，，，由對稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．10.【答案】C【解析】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故A、B錯誤，不符合題意；當(dāng)時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，當(dāng)時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.【答案】【解析】解：12.【答案】【解析】解：，，，故答案為：．13.【答案】90【解析】解：∵共有12個數(shù)，∴中位數(shù)是第6和7個數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是；故答案為：90．14.【答案】2【解析】解：正方形的面積為4，，，點，，，分別為邊，，，的中點，，，同理可得，四邊形的面積為．故答案為：2．15.【答案】【解析】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且∴設(shè)，則∵∴則∵點在第一象限∴把代入得∴經(jīng)檢驗：都是原方程的解∵∴故答案為：16.【答案】128【解析】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，有題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.【答案】4【解析】解：原式．18.【答案】見解析【解析】證明：四邊形是菱形，，，，，．19.【答案】．【解析】解：，方程兩邊都乘，得．去括號得：，解得．經(jīng)檢驗，是原方程根．20.【答案】（1）86；（2）不能，舉例見解析．【解析】【小問1詳解】由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為．【小問2詳解】不能．舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為．因為，所以不能判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比地考生數(shù)學(xué)平均分高．21.【答案】（1）（2）【解析】【小問1詳解】解：將代入，得，解得，所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為．【小問2詳解】設(shè)，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以點坐標(biāo)為．22.【答案】（1）見解析；（2）的面積為1或．【解析】【小問1詳解】解：如圖，直線就是所求作的直線．【小問2詳解】①當(dāng)時，，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：，，．②當(dāng)時，分別過點作直線的垂線，垂足為，．，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當(dāng)時，同理可得，．綜上所述，的面積為1或．23.【答案】（1）證明見解析；（2）不可能都為整數(shù)，理由見解析．【解析】【小問1詳解】解：因為，所以．則．因為是實數(shù)，所以，所以為非負(fù)數(shù)．【小問2詳解】不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)．①當(dāng)都為奇數(shù)時，則必為偶數(shù)．又，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則必為偶數(shù)．又因，所以．因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．24.【答案】（1）2；（2）C；（3）見解析．【解析】【小問1詳解】解：如圖：上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，，，∵四邊形是正方形，∴，即，∴，即，∵，∴，∴的值為：．【小問2詳解】解：根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應(yīng)面上，“祥”和“意”在對應(yīng)面上，而對應(yīng)面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，∴C選項符合題意，故選：C．【小問3詳解】解：卡紙型號型號型號型號需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為，則要制作一個邊長為的正方體的展開圖形為：∴型號卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖：型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖：型號卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖：∴可選擇型號卡紙2張，型號卡紙3張，型號卡紙1張，則（個），∴所用卡紙總費用為：（元）．25.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】