2024年福建省中考數(shù)學(xué)試題含答案

數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.下列實(shí)數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（）A. B.0 C. D.2.據(jù)《人民日?qǐng)?bào)》3月12日電，世界知識(shí)產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球（《專利合作條約》）國(guó)際專利申請(qǐng)總量為27.26萬(wàn)件，中國(guó)申請(qǐng)量為69610件，是申請(qǐng)量最大的來(lái)源國(guó)．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.3.如圖是由長(zhǎng)方體和圓柱組成幾何體，其俯視圖是（）A. B.C. D.4.在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（）A. B. C. D.5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.6.哥德巴赫提出“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.7.如圖，已知點(diǎn)在上，，直線與相切，切點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.8.今年我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)開(kāi)局良好，市場(chǎng)銷售穩(wěn)定增長(zhǎng)，社會(huì)消費(fèi)增長(zhǎng)較快，第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長(zhǎng)，求去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.9.小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.10.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 B.無(wú)論實(shí)數(shù)取什么值，都有C.可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 D.無(wú)論實(shí)數(shù)取什么值，都有二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.因式分解：x2+x=_____．12.不等式的解集是______．13.學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識(shí)，隨機(jī)抽取了12名學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識(shí)測(cè)試，將測(cè)試成績(jī)整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖，則這12名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)是______．（單位：分）14.如圖，正方形的面積為4，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，則四邊形的面積為_(kāi)_____．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)都在第一象限．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．16.無(wú)動(dòng)力帆船是借助風(fēng)力前行的．下圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，風(fēng)對(duì)帆的作用力為．根據(jù)物理知識(shí)，可以分解為兩個(gè)力與，其中與帆平行的力不起作用，與帆垂直的力儀可以分解為兩個(gè)力與與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；與航行方向一致，是真正推動(dòng)帆船前行的動(dòng)力．在物理學(xué)上常用線段的長(zhǎng)度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：，則______．（單位：）（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.計(jì)算：．18.如圖，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，，求證：．19.解方程：．20.已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分：乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；（2）若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請(qǐng)給予證明：若不能，請(qǐng)舉例說(shuō)明．21.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，線段交軸于點(diǎn)的面積是的面積的2倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22.如圖，已知直線．（1）在所在的平面內(nèi)求作直線，使得，且與間的距離恰好等于與間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若與間的距離為2，點(diǎn)分別在上，且為等腰直角三角形，求的面積．23.已知實(shí)數(shù)滿足．（1）求證：為非負(fù)數(shù)；（2）若均為奇數(shù)，是否可以都為整數(shù)？說(shuō)明你的理由．24.在手工制作課上，老師提供了如圖1所示矩形卡紙，要求大家利用它制作一個(gè)底面為正方形的禮品盒．小明按照?qǐng)D2的方式裁剪（其中），恰好得到紙盒的展開(kāi)圖，并利用該展開(kāi)圖折成一個(gè)禮品盒，如圖3所示．圖1圖2圖3（1）直接寫(xiě)出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個(gè)相對(duì)的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開(kāi)圖圖樣是（）圖4A．B．C．D．（3）卡紙型號(hào)型號(hào)Ⅰ型號(hào)Ⅱ型號(hào)Ⅲ規(guī)格（單位：cm）單價(jià)（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計(jì)的紙盒展開(kāi)圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整，的比例，制作棱長(zhǎng)為的正方體禮品盒，如果要制作27個(gè)這樣的禮品盒，請(qǐng)你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號(hào)及相應(yīng)型號(hào)卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫(huà)出設(shè)計(jì)示意圖（包括一張卡紙可制作幾個(gè)禮品盒，其展開(kāi)圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號(hào)的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫(huà)出設(shè)計(jì)方案；②沒(méi)有用到的卡紙，不要在該型號(hào)的卡紙上作任何設(shè)計(jì)；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25.如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，，垂足為的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求的值；（2）求證：；（3）求證：與互相平分．

參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.【答案】D【解析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義可得：無(wú)理數(shù)是故選：D．2.【答案】C【解析】故選：C．3.【答案】C【解析】解：這個(gè)立體圖形的俯視圖是一個(gè)圓形，圓形內(nèi)部中間是一個(gè)矩形．故選：C．4.【答案】A【解析】∵，∴，∵，則，∴，故選：A．5.【答案】B【解析】解：，A選項(xiàng)不合題意；，B選項(xiàng)符合題意；，C選項(xiàng)不合題意；，D選項(xiàng)不合題意；故選：B．6.【答案】B【解析】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有6種不同情況，和是偶數(shù)的共有2種情況，故和是偶數(shù)的概率是，故選：B7.【答案】A【解析】∵，為的中點(diǎn)，∴∵∴∵直線與相切，∴，∴故選：A．8.【答案】A【解析】解：將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：，故選：A．9.【答案】B【解析】解：A.，，由對(duì)稱得，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，與都是等腰三角形，，，，，結(jié)論正確，故不符合題意；B.不一定等于，結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意；C.由對(duì)稱得，，結(jié)論正確，故不符合題意；D.過(guò)作，，，，由對(duì)稱得，，同理可證，，結(jié)論正確，故不符合題意；故選：B．10.【答案】C【解析】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.【答案】【解析】解：12.【答案】【解析】解：，，，故答案為：．13.【答案】90【解析】解：∵共有12個(gè)數(shù)，∴中位數(shù)是第6和7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)是；故答案為：90．14.【答案】2【解析】解：正方形的面積為4，，，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)，，，同理可得，四邊形的面積為．故答案為：2．15.【答案】【解析】解：如圖：連接∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點(diǎn)，且∴設(shè)，則∵∴則∵點(diǎn)在第一象限∴把代入得∴經(jīng)檢驗(yàn)：都是原方程的解∵∴故答案為：16.【答案】128【解析】解：如圖，∵帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角為，帆與航行方向的夾角為，∴，，∵，∴，在中，，，∴，有題意可知，，∴，∴在中，，∴，故答案為：三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.【答案】4【解析】解：原式．18.【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：四邊形是菱形，，，，，．19.【答案】．【解析】解：，方程兩邊都乘，得．去括號(hào)得：，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程根．20.【答案】（1）86；（2）不能，舉例見(jiàn)解析．【解析】【小問(wèn)1詳解】由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為．【小問(wèn)2詳解】不能．舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為．因?yàn)?，所以不能判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比地考生數(shù)學(xué)平均分高．21.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：將代入，得，解得，所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以．依題意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以點(diǎn)坐標(biāo)為．22.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的面積為1或．【解析】【小問(wèn)1詳解】解：如圖，直線就是所求作的直線．【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)時(shí)，，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知：，，．②當(dāng)時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，．，直線與間的距離為2，且與間的距離等于與間的距離，．，，，，．在中，由勾股定理得，．．③當(dāng)時(shí)，同理可得，．綜上所述，的面積為1或．23.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）不可能都為整數(shù)，理由見(jiàn)解析．【解析】【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以．則．因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，所以為非負(fù)數(shù)．【小問(wèn)2詳解】不可能都為整數(shù)．理由如下：若都為整數(shù)，其可能情況有：①都為奇數(shù)；②為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)．①當(dāng)都為奇數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又，所以．因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．②當(dāng)為整數(shù)，且其中至少有一個(gè)為偶數(shù)時(shí)，則必為偶數(shù)．又因，所以．因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．綜上所述，不可能都為整數(shù)．24.【答案】（1）2；（2）C；（3）見(jiàn)解析．【解析】【小問(wèn)1詳解】解：如圖：上述圖形折疊后變成：由折疊和題意可知，，，∵四邊形是正方形，∴，即，∴，即，∵，∴，∴的值為：．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)幾何體的展開(kāi)圖可知，“吉”和“如”在對(duì)應(yīng)面上，“祥”和“意”在對(duì)應(yīng)面上，而對(duì)應(yīng)面上的字中間相隔一個(gè)幾何圖形，且字體相反，∴C選項(xiàng)符合題意，故選：C．【小問(wèn)3詳解】解：卡紙型號(hào)型號(hào)型號(hào)型號(hào)需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費(fèi)用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長(zhǎng)為，則要制作一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體的展開(kāi)圖形為：∴型號(hào)卡紙，每張卡紙可制作10個(gè)正方體，如圖：型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個(gè)正方體，如圖：型號(hào)卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個(gè)正方體，如圖：∴可選擇型號(hào)卡紙2張，型號(hào)卡紙3張，型號(hào)卡紙1張，則（個(gè)），∴所用卡紙總費(fèi)用為：（元）．25.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】