2024年吉林省長春市中考數(shù)學試題含答案

2024年長春市初中學業(yè)水平考試數(shù)學本試卷包括三道大題，共6頁．全卷滿分為120分，考試時間為120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內．2．答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.根據(jù)有理數(shù)加法法則，計算過程正確是（）A. B. C. D.2.南湖公園是長春市著名旅游景點之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）．A.主視圖 B.俯視圖 C.左視圖 D.右視圖3.在剪紙活動中，小花同學想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A. B. C. D.4.下列運算一定正確的是（）A. B. C. D.5.不等關系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學的身高，表示臺階的高度．圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6.2024年5月29日16時12分，“長春凈月一號”衛(wèi)星搭乘谷神星一號火箭在黃海海域成功發(fā)射．當火箭上升到點時，位于海平面處的雷達測得點到點的距離為千米，仰角為，則此時火箭距海平面的高度為（）A千米 B.千米 C.千米 D.千米7.如圖，在中，是邊的中點．按下列要求作圖：①以點為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段于點，交于點；②以點為圓心、長為半徑畫弧，交線段于點；③以點為圓心、長為半徑畫弧，交前一條弧于點，點與點在直線同側；④作直線，交于點．下列結論不一定成立的是（）A. B.C. D.8.如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數(shù)的圖象交于點．若，則點的坐標是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.單項式的次數(shù)是_____．10.計算：____．11.若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點，則的取值范圍是________．12.已知直線（、是常數(shù)）經過點，且隨的增大而減小，則的值可以是________．（寫出一個即可）13.一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現(xiàn)將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，則點A經過的路徑長至少為________．（結果保留）14.如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點，于點，交于點，交于點，連結．給出下面四個結論：①；②；③當，時，；④當，時，的面積是．上述結論中，正確結論的序號有________．三、解答題：本題共10小題，共78分．15.先化簡，再求值：，其中．16.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實際情況選擇一種．一對雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報這種組合的學生分成、、三個班，其中每位學生被分到這三個班的機會均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率．17.《九章算術》被歷代數(shù)學家尊為“算經之首”．下面是其卷中記載的關于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙人數(shù)、金價各是多少？請解決上述問題．18.如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．19.某校為調研學生對本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機抽取名學生對食堂進行滿意度評分（滿分分），將收集到的評分數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部名學生所評分數(shù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖：（數(shù)據(jù)分成4組：，，，）b．高中部名學生所評分數(shù)在這一組的是：c．初中部、高中部各名學生所評分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)初中部高中部根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中值為________；（2）根據(jù)調查前制定的滿意度等級劃分標準，評分不低于分為“非常滿意”．①在被調查的學生中，設初中部、高中部對食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為、，則________；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有名學生在食堂就餐，估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)．20.圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作四邊形，使其是軸對稱圖形且點、均在格點上．（1）在圖①中，四邊形面積為2；（2）在圖②中，四邊形面積為3；（3）在圖③中，四邊形面積為4．21.區(qū)間測速是指在某一路段前后設置兩個監(jiān)控點，根據(jù)車輛通過兩個監(jiān)控點的時間來計算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經過一段長度為20千米的區(qū)間測速路段，從該路段起點開始，他先勻速行駛小時，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時間忽略不計），當他到達該路段終點時，測速裝置測得該輛汽車在整個路段行駛的平均速度為100千米/時．汽車在區(qū)間測速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時間（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）的值為________；（2）當時，求與之間的函數(shù)關系式；（3）通過計算說明在此區(qū)間測速路段內，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時）22.【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長度的最小值為________．【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調節(jié)的鋼絲繩，點在上，點在上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為多少米．23.如圖，在中，，．點是邊上的一點（點不與點、重合），作射線，在射線上取點，使，以為邊作正方形，使點和點在直線同側．（1）當點是邊的中點時，求的長；（2）當時，點到直線的距離為________；（3）連結，當時，求正方形的邊長；（4）若點到直線的距離是點到直線距離的3倍，則的長為________．（寫出一個即可）24.在平面直角坐標系中，點是坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經過點．點、是該拋物線上不重合的兩點，橫坐標分別為、，點的橫坐標為，點的縱坐標與點的縱坐標相同，連結、．（1）求該拋物線對應的函數(shù)表達式；（2）求證：當取不為零任意實數(shù)時，的值始終為2；（3）作的垂直平分線交直線于點，以為邊、為對角線作菱形，連結．①當與此拋物線的對稱軸重合時，求菱形的面積；②當此拋物線在菱形內部的點的縱坐標隨的增大而增大時，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.【答案】D【解析】解：．故選D．2.【答案】B【解析】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故選B．3.【答案】D【解析】解：，故選：D．4.【答案】C【解析】解：A．，故本選項不符合題意；B．，故本選項不符合題意；C．，故本選項符合題意；D．，故本選項不符合題意；故選：C．5.【答案】A【解析】解：由作圖可知：，由右圖可知：，即A選項符合題意．故選：A．6.【答案】A【解析】解：由題意得：∴千米故選：A7.【答案】D【解析】解：A．根據(jù)作圖可知：一定成立，故A不符合題意；B．∵，∴，∴一定成立，故B不符合題意；C．∵是邊的中點，∴，∵，∴，∴一定成立，故C不符合題意；D．不一定成立，故D符合題意．8.【答案】B【解析】解：如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，則軸，∵，∴，，∴．∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴．∴將直線向上平移若干個單位長度后得到直線，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，解得：，即點C的橫坐標為2，將代入，得，∴C點的坐標為，∴,，∴，∴,∴故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.【答案】【解析】單項式的次數(shù)是：，故答案為：．10.【答案】【解析】解：故答案是：．11.【答案】【解析】解：∵拋物線與x軸沒有交點，∴沒有實數(shù)根，∴，．故答案為：．12.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：∵直線（k、b是常數(shù)）經過點，∴．∵y隨x的增大而減小，∴，當時，，解得：，∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）13.【答案】【解析】解：∵將該三角板繞點順時針旋轉，使點的對應點落在直線上，∴,即，∴點A經過的路徑長至少為．故答案為：．14.【答案】①②③【解析】解：如圖：連接，∵是的中點，∴,∴，即①正確；∵是直徑，∴，∴，∵∴,∵，∴，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴,即②正確；在和,，∴，∴,即,∴，即,∴,∵，∴，即③正確；如圖：假設半圓的圓心為O，連接，∵，，是的中點，∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，即是菱形，∴，∵，∴，即，解得：,∴，∵∴，即④錯誤．故答案為：①②③．三、解答題：本題共10小題，共78分．15.【答案】，【解析】解：原式∵，∴原式16.【答案】【解析】解：列表如下：

ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9種等可能的結果，其中這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的結果有3種，所以這對雙胞胎姐妹被分到同一個班的概率為．17.【答案】共33人合伙買金，金價為9800錢【解析】解：設共x人合伙買金，金價為y錢，依題意得：，解得：．答：共33人合伙買金，金價為9800錢．18.【答案】證明見解析．【解析】證明：∵是邊的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．19.【答案】（1）（2）①；②估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為人【解析】【小問1詳解】解：由題意知，高中部評分的中位數(shù)為第位數(shù)的平均數(shù)，即，故答案為：；【小問2詳解】①解：由題意知，初中部評分的中位數(shù)為，高中部評分的中位數(shù)為，∴，故答案為：；②解：∵，∴估計其中對食堂“非常滿意”的學生人數(shù)為人．20.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【小問1詳解】解：如圖①：四邊形即為所求；（不唯一）．【小問2詳解】解：如圖②：四邊形即為所求；（不唯一）．【小問3詳解】解：如圖③：四邊形即為所求；（不唯一）．21.【答案】（1）（2）（3）沒有超速【解析】【小問1詳解】解：由題意可得：，解得：．故答案為：．【小問2詳解】解：設當時，y與x之間函數(shù)關系式為，則：，解得：，∴．【小問3詳解】解：當時，，∴先勻速行駛小時的速度為：，∵，∴輛汽車減速前沒有超速．22.【答案】問題解決：（1）見解析（2）30，；方法應用：線段長度的最小值為米【解析】解：問題解決：（1）證明：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，四邊形是平行四邊形，；（2）在等邊中，，；當時，最小，此時最小，在中，，線段長度的最小值為；方法應用：過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線，連接，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，當時，最小，此時最小，作于點R，在中，，在中，，線段長度的最小值為米．23.【答案】（1）（2）（3）（4）或【解析】【小問1詳解】解：根據(jù)題意可知：，為等腰三角形，故點是邊的中點時，；在中，；【小問2詳解】根據(jù)題意作，如圖所示；當時，則，設點到直線的距離為，，解得：；【小問3詳解】如圖，當時，點落在上，設，則，，過點作于則，，，解得：故，所以正方形的邊長為；【小問4詳解】如圖，，在異側時；設，，則三邊的比值為，，，當，在同側設，則，，三邊比為，三邊比為，設，則，，解得：綜上所述：的長為或24.【答案】（1）（2）見詳解（3）①；②或或【解析】【小問1詳解】解：將代入，得：，解得：，∴拋物線表達式為：；【小問2詳解】解：過點B作于點H，則，由題意得：，∴，，∴在中，；【小問3詳解】解：①如圖，記交于點M，由題意得，，由，得：對稱軸為直線：∵四邊形是菱形，∴點A、C關于對稱，，∵與此拋物線的對稱軸重合，∴，解得：，∴，∴∴，∵，∴，則，∴；②記拋物