2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第10章概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE10.3頻率與概率10.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對(duì)頻率和概率聯(lián)系和區(qū)分的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過利用隨機(jī)事務(wù)的頻率估計(jì)其概率，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).小剛拋擲一枚硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上48次．問題：(1)你能計(jì)算出正面朝上的頻率嗎？(2)拋擲一枚硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率是多少？1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)漸漸穩(wěn)定于事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這特性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．思索：頻率和概率有什么區(qū)分和聯(lián)系？[提示]區(qū)分：(1)在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)概率是度量隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性大小的量．(3)頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，概率是一個(gè)定值，是某事務(wù)的固有屬性．聯(lián)系：對(duì)于給定的隨機(jī)事務(wù)A，由于事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A)．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)事務(wù)的頻率和概率不行能相等． ()(2)隨機(jī)事務(wù)的頻率和概率都隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變． ()(3)概率能反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生可能性的大小，而頻率則不能． ()[提示](1)錯(cuò)誤．二者可能相等．(2)錯(cuò)誤．頻率會(huì)發(fā)生改變，是變量，而概率是不變的，是客觀存在的．(3)錯(cuò)誤．頻率和概率都能反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大?。甗答案](1)×(2)×(3)×2．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的狀況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事務(wù)，則A的()A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8B[做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生了m次，則事務(wù)A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n).假如多次進(jìn)行試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺，那么這個(gè)常數(shù)才是事務(wù)A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事務(wù)A的頻率．]3．每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，某次考試共12道選擇題，某同學(xué)說(shuō)：“每個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq\f(1,4)，若每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)，則肯定有3道題的選擇結(jié)果正確”．這句話()A．正確 B．錯(cuò)誤C．有肯定道理 D．無(wú)法說(shuō)明B[從四個(gè)選項(xiàng)中正確選擇選項(xiàng)是一個(gè)隨機(jī)事務(wù)，eq\f(1,4)是指這個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率，事實(shí)上，做12道選擇題相當(dāng)于做12次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，因此每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)可能沒有一個(gè)正確，也可能有1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，…，12個(gè)正確．因此該同學(xué)的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．]4．經(jīng)過市場(chǎng)抽檢，質(zhì)檢部門得知市場(chǎng)上食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場(chǎng)上的食用油大約有80個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有________個(gè)．16[由題意得80×(1－80%)＝80×20%＝16個(gè)．]頻率和概率的區(qū)分和聯(lián)系【例1】下列說(shuō)法正確的是()A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對(duì)夫婦先后生兩個(gè)小孩，則肯定為一男一女B．一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2，則摸5張票，肯定有一張中獎(jiǎng)C．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰(shuí)先摸則誰(shuí)摸到獎(jiǎng)票的可能性大D．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無(wú)論誰(shuí)先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1D[一對(duì)夫婦生兩個(gè)小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說(shuō)中獎(jiǎng)的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張、五張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無(wú)論誰(shuí)先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．]理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個(gè)方面1概率是隨機(jī)事務(wù)發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事務(wù)A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事務(wù)A發(fā)生的頻率的近似值.2由頻率的定義我們可以知道隨機(jī)事務(wù)A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映.3正確理解概率的意義，要清晰概率與頻率的區(qū)分與聯(lián)系.對(duì)詳細(xì)的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)詳細(xì)的事務(wù).eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．“某彩票的中獎(jiǎng)概率為eq\f(1,100)”意味著()A．買100張彩票就肯定能中獎(jiǎng)B．買100張彩票能中一次獎(jiǎng)C．買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中D．購(gòu)買彩票中獎(jiǎng)的可能性為eq\f(1,100)D[某彩票的中獎(jiǎng)率為eq\f(1,100)，意味著中獎(jiǎng)的可能性為eq\f(1,100)，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)．]用隨機(jī)事務(wù)的頻率估計(jì)其概率【例2】某公司在過去幾年內(nèi)運(yùn)用了某種型號(hào)的燈管1000支，該公司對(duì)這些燈管的運(yùn)用壽命(單位：時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組[0，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率(1)將各組的頻率填入表中；(2)依據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的概率．[思路探究]依據(jù)頻率的定義計(jì)算，并利用頻率估計(jì)概率．[解](1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.(2)樣本中運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600.所以樣本中運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的頻率是eq\f(600,1000)＝0.6，即燈管運(yùn)用壽命不足1500小時(shí)的概率約為0.6.1．頻率是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值旁邊搖擺，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率．2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法，對(duì)投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠償金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車的投保金額為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．[解](1)設(shè)A表示事務(wù)“賠付金額為3000元”，B表示事務(wù)“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12，由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3000元和4000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事務(wù)“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.1×1000＝100(位)，而賠付金額為4000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(位)，所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.嬉戲的公允性[探究問題]1．推斷某種嬉戲規(guī)則是否公允的標(biāo)準(zhǔn)是什么？[提示]假如參與競(jìng)賽的雙方獲勝(或失敗)的概率是一樣的，那么就說(shuō)明這個(gè)嬉戲規(guī)則是公允的；否則就是不公允的．2．小明和小紅通過抓鬮確定誰(shuí)代表班級(jí)參與學(xué)校實(shí)行的演講競(jìng)賽，規(guī)則如下：在一個(gè)不透亮的盒子里有三個(gè)質(zhì)地完全相同的小卡片，上面分別寫有“參與”“不參與”“感謝參與”，小明和小紅分別從中摸取一個(gè)小卡片，摸到“參與”者代表班級(jí)參與學(xué)校實(shí)行的演講競(jìng)賽．這個(gè)嬉戲規(guī)則公允嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[提示]公允．因?yàn)槊總€(gè)人摸到“參與”的概率都是eq\f(1,3).【例3】某校高二年級(jí)(1)、(2)班打算聯(lián)合實(shí)行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱情、好玩，策劃整場(chǎng)晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤嬉戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目起先時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤嬉戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種嬉戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對(duì)雙方是否公允？為什么？[思路探究]計(jì)算和為偶數(shù)時(shí)的概率是否為eq\f(1,2)，概率是eq\f(1,2)就公允，否則不公允．[解]該方案是公允的，理由如下：各種狀況如表所示：由表可知該嬉戲可能出現(xiàn)的狀況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，即P1＝P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公允的．1．在例3中，若把嬉戲規(guī)則改為：兩人各自轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，兩個(gè)指針指向的兩個(gè)數(shù)字相乘，假如是偶數(shù)，那么(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．嬉戲規(guī)則公允嗎？為什么？[解]不公允．因?yàn)槌朔e出現(xiàn)奇數(shù)的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，而出現(xiàn)偶數(shù)的概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).2．若在例3中，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．嬉戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參與，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種：A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”；B．猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”．請(qǐng)回答下列問題：(1)假如你是乙，為了盡可能獲勝，你會(huì)選哪種猜數(shù)方案？(2)為了保證嬉戲的公允性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？[解](1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B．猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因?yàn)椤安皇?的整數(shù)倍”的概率為eq\f(8,10)＝0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B．(2)為了保證嬉戲的公允性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A，這是因?yàn)榉桨窤是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該嬉戲的公允性．嬉戲公允性的標(biāo)準(zhǔn)及推斷方法1嬉戲規(guī)則是否公允，要看對(duì)嬉戲的雙方來(lái)說(shuō)，獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規(guī)則公允，否則就是不公允的.2詳細(xì)推斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較.一、學(xué)問必備1．概率與頻率的區(qū)分：頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，概率是一個(gè)定值，是某事務(wù)的固有屬性．2．概率與頻率的關(guān)系：對(duì)于一個(gè)事務(wù)而言，概率是一個(gè)常數(shù)，頻率則隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，次數(shù)越多頻率越接近其概率，因此可以用隨機(jī)事務(wù)的頻率來(lái)估計(jì)其概率．二、方法必備由統(tǒng)計(jì)定義求概率的一般步驟(1)確定隨機(jī)事務(wù)A的頻數(shù)nA(n為試驗(yàn)的總次數(shù))；(2)由fn(A)＝eq\f(nA,n)計(jì)算頻率fn(A)；(3)由頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．1．下列說(shuō)法正確的是()A．任何事務(wù)的概率總是在(0,1)之間B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定C[必定事務(wù)發(fā)生的概率為1，不行能事務(wù)發(fā)生的概率為0，所以任何事務(wù)發(fā)生的概率總在[0,1]之間，故A錯(cuò)，B，D混淆了頻率與概率的概念，故B，D錯(cuò)．]2．給出下列3種說(shuō)法：①設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq\f(3,7)；③隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的概率．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3A[由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)分知，①②③均不正確．]3．設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為()A．160 B．7840C．7998 D．7800B[次品率為2%，故次品約8000×2%＝160(件)，故合格品的件數(shù)可能為7840.]4．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地勻稱的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)覺正面朝上出現(xiàn)了45次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為()