2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值知識點(diǎn)講解含解析

專題4.3應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1.了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、微小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.2．培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).3.高考預(yù)料：（1）以探討函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間等問題為主，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合；（2）單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)；大題常與不等式、方程等結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng).其中探討函數(shù)的極值、最值，都繞不開探討函數(shù)的單調(diào)性．（3）以探討函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值（最值）等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象等相結(jié)合，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢．（4）單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合探討函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；（5）適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問題.4.備考重點(diǎn)：（1）嫻熟駕馭導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是基礎(chǔ)；（2）嫻熟駕馭利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）的基本方法，敏捷運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.【學(xué)問清單】1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的微小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a旁邊其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a旁邊的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的微小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b旁邊的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b旁邊的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．微小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和微小值統(tǒng)稱為極值．2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．【典例剖析】高頻考點(diǎn)一：函數(shù)極值的辨析【典例1】（2024·江蘇高二期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．是函數(shù)的微小值點(diǎn)B．是函數(shù)的微小值點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在處切線的斜率小于零【答案】BC【解析】由圖象得時(shí)，，時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是函數(shù)的微小值點(diǎn)，故選：BC．【典例2】（2024·山東高二期中）【多選題】已知函數(shù)，則（）A．時(shí)，的圖象位于軸下方B．有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)C．有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)D．在區(qū)間上有最大值【答案】AB【解析】由題,函數(shù)滿意,故函數(shù)的定義域?yàn)橛僧?dāng)時(shí)，所以，則的圖象都在軸的下方，所以A正確；又，在令則，故函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)只有一個(gè)根使得當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有極值點(diǎn)且為微小值點(diǎn)，所以B正確，C不正確；又所以函數(shù)在先減后增，沒有最大值，所以D不正確.故選：AB.【總結(jié)提升】1.函數(shù)極值的辨析問題，特殊是有關(guān)給出圖象探討函數(shù)性質(zhì)的題目，要分清給的是f(x)的圖象還是f′(x)的圖象，若給的是f(x)的圖象，應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點(diǎn)，假如給的是f′(x)的圖象，應(yīng)先找出f′(x)的正負(fù)區(qū)間及由正變負(fù)還是由負(fù)變正，然后結(jié)合題目特點(diǎn)分析求解．2.f(x)在x＝x0處有極值時(shí)，肯定有f′(x0)＝0，f(x0)可能為極大值，也可能為微小值，應(yīng)檢驗(yàn)f(x)在x＝x0兩側(cè)的符號后才可下結(jié)論；若f′(x0)＝0，則f(x)未必在x＝x0處取得極值，只有確認(rèn)x1<x0<x2時(shí)，f(x1)·f(x2)<0，才可確定f(x)在x＝x0處取得極值．【變式探究】1.（2024·浙江高考模擬）已知a＞0且a≠1，則函數(shù)f(x)＝(x－a)2lnx（）A．有極大值，無微小值B．有微小值，無極大值C．既有極大值，又有微小值D．既無極大值，又無微小值【答案】C【解析】由題意，，由，得或，由方程，結(jié)合函數(shù)圖象，作出和的圖象，結(jié)合圖象得和的圖象有交點(diǎn)，∴方程有解，由此依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系得到：函數(shù)既有極大值，又有微小值具有極大值，也有微小值，故選C.2.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中肯定成立的是(D)A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和微小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和微小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和微小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和微小值f(2)【答案】D【解析】由函數(shù)的圖象可知，f′(－2)＝0，f′(1)＝0，f′(2)＝0，并且當(dāng)x＜－2時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)－2＜x＜1，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)有極大值f(－2)．又當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，故函數(shù)f(x)有微小值f(2)．故選D．【易錯(cuò)提示】（1）可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．高頻考點(diǎn)二：已知函數(shù)求極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【典例3】（2024·河南高考模擬（文））已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）依題意，，故，又，故所求切線方程為.（2）依題意.令，則，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，恒成立，.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，故存在和，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，為函數(shù)的微小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn).【易錯(cuò)提示】極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號．【變式探究】（2024·全國高考模擬（理））設(shè)，則函數(shù)A．僅有一個(gè)微小值B．僅有一個(gè)極大值C．有多數(shù)個(gè)極值D．沒有極值【答案】A【解析】，得.設(shè)，則.即為增函數(shù)，且.所以當(dāng),則單調(diào)遞減；當(dāng),則單調(diào)遞增，且.所以函數(shù)僅有一個(gè)微小值.故選A.高頻考點(diǎn)三：已知函數(shù)求極值（點(diǎn)）【典例4】（2024·山東高考真題（文））已知函數(shù).(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(II)設(shè)函數(shù),探討的單調(diào)性并推斷有無極值,有極值時(shí)求出極值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是，當(dāng)時(shí)取到微小值，微小值是.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，無極大值也無微小值.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)取到極大值，極大值是；當(dāng)時(shí)取到微小值，微小值是.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有微小值，極大值是，微小值是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有微小值，極大值是，微小值是.【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的全部根；④檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號,假如左正右負(fù),那么f(x)在x0處取極大值,假如左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取微小值．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值,那么y＝f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值．【變式探究】（2024·山東濰坊中學(xué)高二月考）已知是的微小值點(diǎn)，那么函數(shù)的極大值為______.【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得，，即，解得．，，，得或，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增；，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；故在處取微小值，處取極大值，且為．即故答案為：．高頻考點(diǎn)四：已知極值(點(diǎn))，求參數(shù)的值或取值范圍【典例5】（2024·北京高考真題（文））設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得微小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因?yàn)椋?，由題設(shè)知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在x=1處取得微小值.若，則當(dāng)時(shí)，，所以.所以1不是的微小值點(diǎn).綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當(dāng)a=0時(shí)，令得x=1.隨x的改變狀況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當(dāng)a>0時(shí)，令得.①當(dāng)，即a=1時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當(dāng)，即0<a<1時(shí)，隨x的改變狀況如下表：x1+0?0+↗極大值↘微小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當(dāng)，即a>1時(shí)，隨x的改變狀況如下表：x+0?0+↗極大值↘微小值↗∴在x=1處取得微小值，即a>1滿意題意.（3）當(dāng)a<0時(shí)，令得.隨x的改變狀況如下表：x?0+0?↘微小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.【規(guī)律方法】由函數(shù)極值（個(gè)數(shù)）求參數(shù)的值或范圍．探討極值點(diǎn)有無(個(gè)數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為探討f′(x)＝0根的有無(個(gè)數(shù))．然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特殊留意：極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，而導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不肯定是極值點(diǎn)，要檢驗(yàn)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號．【變式探究】（2024·石嘴山市第三中學(xué)高二期末（理））設(shè)函數(shù)在處取得極值為0，則__________．【答案】【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在處取得極值為0，所以，解得（舍）或，代入檢驗(yàn)時(shí)．無極值．所以（舍）．符合題意．所以=．填．【特殊提示】已知函數(shù)極值（個(gè)數(shù)），確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，留意以下兩點(diǎn)：(1)依據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗(yàn)證充分性．高頻考點(diǎn)五：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值【典例6】(2024北京，理19)已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【規(guī)律方法】求函數(shù)最值的四個(gè)步驟：第一步求函數(shù)的定義域；其次步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的改變表；第四步求極值、端點(diǎn)值，比較大小，確定最值．特殊警示：不要忽視將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較．【典例7】（2024·全國高考真題（文））已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)見詳解；(2).【解析】(1)對求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng)時(shí)從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【易錯(cuò)提示】求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要探討其極值狀況，還要探討其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值狀況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象視察得到函數(shù)的最值．【變式探究】1.（2024·浙江寧波諾丁漢附中高二期中）已知函數(shù)則的最小值為________，最大值為_______.【答案】【解析】則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，；又，所以.故答案為：；.2.（2024·新疆高考模擬（文））已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．Ⅰ當(dāng)時(shí)，求的最小值；Ⅱ當(dāng)時(shí)，求在上的最小值．【答案】（I）；（II）【解析】（I）時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，取得最小值（II），令得作出和的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的最小值為高頻考點(diǎn)六：依據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值（范圍）【典例8】（2025屆浙江省之江教化評價(jià)聯(lián)盟高三其次次聯(lián)考）已知函數(shù)，其中，，記為的最小值，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為___________.【答案】【解析】函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在遞增，可得取得最小值，且為，由題意可得方程有解；當(dāng)時(shí)，由，可得(負(fù)的舍去)，當(dāng)時(shí)，，在遞增，可得為最小值，且有，方程有解；當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，可得為最小值，且有，即，解得.綜上可得的取值范圍是.故答案為：.【易錯(cuò)提示】1．由于參數(shù)的取值范圍不同會導(dǎo)致函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性的改變，從而導(dǎo)致最值的改變，故含參數(shù)時(shí)，需留意是否分類探討．2．已知函數(shù)最值求參數(shù)，可先求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，通過比較它們的大小，推斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值，結(jié)合已知求出參數(shù)