2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.1不等關(guān)系與不等式學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE3．1不等關(guān)系與不等式內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題的不等關(guān)系．2.初步學(xué)會(huì)作差法比較兩實(shí)數(shù)的大小．3.駕馭不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.發(fā)展邏輯推理應(yīng)用數(shù)學(xué)建模授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第50頁(yè)[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一不等關(guān)系eq\a\vs4\al(閱讀教材P72－74，思索并完成以下問(wèn)題)“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近凹凸各不同”，不等關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系．(1)限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過(guò)40km/提示：v≤40.(2)如圖，在日常生活中，我們常常看到下列標(biāo)記：其含義分別為①最低限速：限制行駛時(shí)速v不得低于50km/h；②限制質(zhì)量：裝載總質(zhì)量m不得超過(guò)10t；③限制高度：裝載高度h不得超過(guò)3.5m；④限制寬度：裝載寬度a不得超過(guò)3m；⑤時(shí)間范圍：t∈[7.5,10]．你能用數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.學(xué)問(wèn)梳理(1)我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系．含有這些不等號(hào)的式子叫作不等式．(2)不等式中的文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換.文字語(yǔ)言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符號(hào)語(yǔ)言＞≥＜≤≤≥≥≤學(xué)問(wèn)點(diǎn)二作差法比較大小eq\a\vs4\al(思索并完成以下問(wèn)題)a與b的大小和a－b的運(yùn)算符號(hào)有什么關(guān)系？①若a＞b，那么a－b是正是負(fù)？②若a＝b，那么a－b如何？③若a＜b，那么a－b如何？提示：①正；②零；③負(fù)．學(xué)問(wèn)梳理比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)文字語(yǔ)言符號(hào)表示假如a>b，那么a－b是正數(shù)；假如a<b，那么a－b是負(fù)數(shù)；假如a＝b，那么a－b等于0，反之亦然a>b?a－b>0a<b?a－b<0a＝b?a－b＝0學(xué)問(wèn)點(diǎn)三不等式的性質(zhì)eq\a\vs4\al(思索并完成以下問(wèn)題)若a＞b，可得出哪些不等式成立？若a＞b，①a＋2＞b＋2成立嗎？②2a＞2b成立嗎？③－2a＞－2b成立嗎？④a2＞b2成立嗎？提示：①成立；②成立；③不成立；④不肯定成立．學(xué)問(wèn)梳理常用的不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容留意1對(duì)稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c?3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性,a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)同正8可開(kāi)方性,a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)思索假如a＞b，增加一個(gè)什么條件，可得出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)？提示：ab＞0.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第2頁(yè)探究一用不等式表示不等關(guān)系[閱讀教材P72－73問(wèn)題1、2、3]方法步驟：(1)分析題意理清不等關(guān)系．(2)用不等式表示關(guān)系．[例1](1)一個(gè)工程隊(duì)規(guī)定要在6天內(nèi)完成300土石方的工程，第一天完成了60土石方，現(xiàn)在要比原支配至少提前兩天完成任務(wù)，則以后幾天平均每天至少要完成的土石方數(shù)x應(yīng)滿意的不等式為()A．3x≥300－60 B．4x≥300－60C．5x≥300－60 D．6x≥300－60[解析]由題意知，剩余3天所能完成土石方數(shù)應(yīng)當(dāng)不小于所剩余的土石方數(shù)，因此有3x≥300－60.[答案]A(2)已知某地籃球球迷一行56人從旅館乘出租車到現(xiàn)場(chǎng)為山東隊(duì)加油，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)出租車隊(duì)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少3輛車，若全部支配乘甲隊(duì)的車，每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐6人，有一輛車未坐滿，若全部支配乘乙隊(duì)的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿．設(shè)甲隊(duì)有x輛車，用不等式將題目中的不等關(guān)系表示出來(lái)．[解析]因?yàn)榧钻?duì)有x輛車，所以乙隊(duì)有(x＋3)輛車，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，x∈N*，,x＋3＞0，,5x＜56，,56＜6x＜62，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))方法技巧1．將不等關(guān)系表示成不等式的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．2．用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí)應(yīng)留意的問(wèn)題在用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)留意必需是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行比較的兩個(gè)(或幾個(gè))量，沒(méi)有可比性的兩個(gè)(或幾個(gè))量之間不能用不等式(組)來(lái)表示．第三章不等式數(shù)學(xué)·必修5跟蹤探究1.某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄用分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成果x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成果z超過(guò)45分，用不等式(組)表示為()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z＞45)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y＞380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞95，,y＞380，,z＞45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y＞380，,z＞45))解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超過(guò)”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.答案：D2．某商人假如將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采納提高售價(jià)，削減進(jìn)貨量的方法增加利潤(rùn)．已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)削減10件．若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？解析：若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，則銷售量削減10(x－10)件，因此，每天的利潤(rùn)為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以用不等式表示為(x－8)[100－10(x－10)]≥300.探究二比較大小[閱讀教材P75B組第1題的第(4)小題]比較x2＋y2＋1與2(x＋y－1)的大?。馕觯鹤鞑睿簒2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2＋y2－2x－2y＋3.＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．[例2]已知a＞0，試比較a與eq\f(1,a)的大?。甗解析]因?yàn)閍－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)，a＞0，所以當(dāng)a＞1時(shí)，eq\f(a－1a＋1,a)＞0，有a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，eq\f(a－1a＋1,a)＜0，有a＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，a＞eq\f(1,a)；當(dāng)a＝1時(shí)，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a＜eq\f(1,a).延長(zhǎng)探究1.把本例的條件“a＞0”改為“a＜0”，試比較a與eq\f(1,a)的大?。馕觯篴－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)當(dāng)a＝－1時(shí)，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，∴a＝eq\f(1,a)當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，a－1＜0，a＋1＞0，∴eq\f(a－1a＋1,a)＞0∴a＞eq\f(1,a)當(dāng)a＜－1時(shí)，a－1＜0，a＋1＜0，∴eq\f(a－1a＋1,a)＜0，∴a＜eq\f(1,a).綜上：當(dāng)a＝－1時(shí)，a＝eq\f(1,a)；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，a＞eq\f(1,a)，當(dāng)a＜－1時(shí)，a＜eq\f(1,a).方法技巧作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小的步驟第一步：作差并變形，其目標(biāo)是應(yīng)簡(jiǎn)潔推斷差的符號(hào)．變形有兩種情形：①將差式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因式相乘．②將差式通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和，然后推斷．其次步：推斷差值與零的大小關(guān)系．第三步：得出結(jié)論．[例3]若a＞b＞0，試比較：aabb與abba的大?。甗解析]法一：aabb－abba＝abba(aa－b·bb－a－1)＝abbaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1))∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，∴a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1＞0∴abbaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1))＞0，∴aabb＞abba.法二：eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，即eq\f(aabb,abba)＞1，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.方法技巧對(duì)于隨意兩個(gè)正數(shù)a，b，通過(guò)比較eq\f(a,b)與1的大小關(guān)系，從而得到正數(shù)a，b的大小關(guān)系，詳細(xì)方法如下：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)＜1?a＜b.延長(zhǎng)探究2.將本例變?yōu)椋涸O(shè)a＞0，b＞0，試比較aabb與abba的大?。馕觯骸遖＞0，b＞0，∴aabb＞0，abba＞0，∴eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b.當(dāng)a＞b＞0時(shí)，eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴aabb＞abba；當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a,b)＝1，a－b＝0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＝1，∴aabb＝abba；當(dāng)b＞a＞0時(shí)，0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴aabb＞abba.綜上所述，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，aabb≥abba，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．探究三不等式性質(zhì)的應(yīng)用角度1證明不等式[閱讀教材P74例1]方法步驟：(1)依據(jù)性質(zhì)4，得出倒數(shù)大小eq\f(1,b)＞eq\f(1,a).(2)依據(jù)性質(zhì)4，得出所證：eq\f(c,b)＜eq\f(c,a).[例4](1)給出下列命題：①若ab＞0，a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＞|b|，則a2＞b2；③若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d；④對(duì)于正數(shù)a，b，m，若a＜b，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).其中真命題的序號(hào)是：________.[解析]對(duì)于①，若ab＞0，則eq\f(1,ab)＞0，又a＞b，所以eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以①正確；對(duì)于②，若a＞|b|≥0，則a2＞b2，所以②正確；對(duì)于③，若a＞b，c＞d，則－c＜－d，所以－d＞－c，所以a－d＞b－c，所以a－c＞b－d不成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，對(duì)于正整數(shù)a，b，m，若a＜b，則eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m)成立，即a(b＋m)＜b(a＋m)，所以am＜bm，所以a＜b，④正確．綜上，正確的命題序號(hào)是①②④.[答案]①②④(2)已知a＞b＞0，c＜d＜0.求證：eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).[證明]因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0.所以0＜－eq\f(1,c)＜－eq\f(1,d).又因?yàn)閍＞b＞0，所以－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.所以eq\r(3,\f(－a,d))＞eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))＞－eq\r(3,\f(b,c)).兩邊同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).方法技巧1．運(yùn)用不等式的性質(zhì)推斷真假的技巧(1)首先要留意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采納特值法進(jìn)行解除，留意取值肯定要遵循以下原則：一是滿意題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)潔，便于驗(yàn)證計(jì)算．2．利用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)潔不等式的實(shí)質(zhì)及留意點(diǎn)(1)實(shí)質(zhì)：利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)潔的不等式的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)性質(zhì)把不等式變形．(2)留意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中敏捷精確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．延長(zhǎng)探究3.例4(2)中，增加條件：e＜0，證明：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).證明：eq\f(e,a－c2)－eq\f(e,b－d2)＝eq\f(e[b－d2－a－c2],a－c2b－d2)＝eq\f(eb－d＋a－cb－d－a＋c,a－c2b－d2)＝eq\f(e[a＋b－c＋d][b－a＋c－d],a－c2b－d2).因?yàn)閍＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0，所以(a＋b)－(c＋d)＞0，(b－a)＋(c－d)＜0.因?yàn)閑＜0，所以e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]＞0.又因?yàn)?a－c)2(b－d)2＞0，所以eq\f(e,a－c2)－eq\f(e,b－d2)＞0，所以eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).角度2利用性質(zhì)比較大小[閱讀教材P75A組第2題的第(2)題]比較eq\r(7)＋eq\r(10)與eq\r(3)＋eq\r(14)的大小解析：(eq\r(7)＋eq\r(10))2＝17＋2eq\r(70).(eq\r(3)＋eq\r(14))2＝17＋2eq\r(42)∵70＞42＞0，∴2eq\r(70)＞2eq\r(42).∴17＋2eq\r(70)＞17＋2eq\r(42).即(eq\r(7)＋eq\r(10))2＞(eq\r(3)＋eq\r(14))2，∴eq\r(7)＋eq\r(10)＞eq\r(3)＋eq\r(14).[例5]若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋5)＋eq\r(a＋8)(a＞－5)，則P，Q的大小關(guān)系為()A．P＜Q B．P＝QC．P＞Q D．不能確定[解析]P2＝2a＋13＋2eq\r(a＋6a＋7)，Q2＝2a＋13＋2eq\r(a＋5a＋8)，因?yàn)?a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2＞0，所以(a＋6)(a＋7)＞(a＋5)(a＋8)，所以eq\r(a＋6a＋7)＞eq\r(a＋5a＋8)，所以P2＞Q2，所以P＞Q.[答案]C方法技巧先比較兩個(gè)基本數(shù)的大小，利用不等式性質(zhì)，加法、乘法和乘方、開(kāi)方等推導(dǎo)出所要比較的兩個(gè)數(shù)的大?。櫶骄?.實(shí)數(shù)a＝eq\r(6)－eq\r(5)，b＝eq\r(7)－eq\r(6)，c＝eq\r(7)－2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b解析：因?yàn)閑q\r(6)＞2，所以eq\r(7)－eq\r(6)＜eq\r(7)－2，即b＜c.因?yàn)閍2＝11－2eq\r(30)，c2＝11－2eq\r(28)，且a＞0，c＞0，所以a＜c.由a＝eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5))，b＝eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，得a＞b.綜上所述，c＞a＞b.答案：D角度3利用不等式性質(zhì)求范圍[例6](1)已知1＜a＜2，－2＜b＜－1，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．(答案寫(xiě)成區(qū)間或集合)(2)已知a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，則4a－2b的取值范圍是________[解析](1)因?yàn)椋?＜b＜－1，所以－1＜eq\f(1,b)＜－eq\f(1,2)，所以0＜eq\f(1,2)＜－eq\f(1,b)＜1.又因?yàn)?＜1＜a＜2，所以eq\f(1,2)＜－eq\f(a,b)＜2，所以－2＜eq\f(a,b)＜－eq\f(1,2).(2)因?yàn)閍－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，又4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)，0≤3(a－b)≤3，所以2≤4a－2b[答案](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))(2)[2,7]延長(zhǎng)探究4.若本例(2)的條件不變，求eq\f(4a＋2b,4a－2b)的取值范圍．解析：4a＋2b＝3(a＋b)＋(a－b)6≤3(a＋b)≤12∴6≤4a＋2b≤13又∵2≤4a－2b≤7∴eq\f(1,7)≤eq\f(1,4a－2b)≤eq\f(1,2)∴eq\f(6,7)≤eq\f(4a＋2b,4a－2b)≤eq\f(13,2)，即eq\f(4a＋2b,4a－2b)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，\f(13,2))).方法技巧利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的留意事項(xiàng)(1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)留意不等式性質(zhì)的前提條件，切不行用“好像是很明顯”的理由，代替不等式的性質(zhì)，如a＞b及c＞d，推不出ac＞bd；由a＞b，推不出a2＞b2等．(3)精確運(yùn)用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤．授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第54頁(yè)[課后小結(jié)](1)比較兩個(gè)數(shù)的大小，有作差法作商法及不等式性質(zhì)法．作差法，主要適合于差易變形為積(商)的形式．作商法，主要適合于“冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)、含肯定值”的兩個(gè)數(shù)的大?。?dāng)作商法、作差法不能干脆比較時(shí)，可考慮不等式性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．(2)不等式的性質(zhì)是不等式變形的依據(jù)，每一步變形都要嚴(yán)格依照性質(zhì)進(jìn)行，千萬(wàn)不行想當(dāng)然．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．錯(cuò)用不等式的性質(zhì)致誤給出下列命題，其中正確的是________．(只填序號(hào))①若a＞b，則a2＞b2；②若a－d＞b－c，則a＞b，c＜d；③若a＜b，則eq\f(1,ab2)＜eq\f(1