備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題08一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式有解(能成立)問題)(全題型壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題08一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式有解（能成立）問題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 1二、變量分離法 2三、雙變量型 3四、雙變量型 4五、最值法 5一、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間1．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則可能的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．e3．（23-24高三上·陜西漢中·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．4．（23-24高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.二、變量分離法1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是.3．（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.4．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．（23-24高一下·陜西漢中·期中）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；(2)對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值.四、雙變量型1．（23-24高二下·河南安陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，m，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2．（23-24高二下·四川資陽·期中）已知，.(1)當(dāng)時(shí)，求極值；(2)討論單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，總存在，使得，求的取值范圍.3．（23-24高二下·重慶長壽·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知兩函數(shù)，，若對(duì)，，，，恒有成立，求的取值范圍.五、最值法1．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．（23-24高二下·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若都有求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)若使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.3．（21-22高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得成立，求的取值范圍．4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實(shí)數(shù)使成立，求的取值范圍.專題08一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究不等式有解（能成立）問題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間 1二、變量分離法 3三、雙變量型 6四、雙變量型 10五、最值法 14一、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間1．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為在上有解問題，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值，從而得解.【詳解】因?yàn)榇嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，即在上有解，令，則，令，解得(負(fù)值舍去)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，故，故選：A.2．（23-24高二下·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則可能的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．e【答案】CD【優(yōu)尖升-分析】求得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為即在有解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，即在有解，即在有解，設(shè)，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD.3．（23-24高三上·陜西漢中·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【優(yōu)尖升-分析】利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為恒成立問題，分離參數(shù)法求解即可.【詳解】定義域?yàn)?，而，由已知得函?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，化簡(jiǎn)得，令，由冪函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，，則.故答案為：4．（23-24高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列出不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．二、變量分離法1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【優(yōu)尖升-分析】分離參數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】因?yàn)?，由，即，即，設(shè)，根據(jù)題意知存在，使得成立，即成立，由，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是.【答案】/【優(yōu)尖升-分析】參變分離可得有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，即的最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出.3．（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)遞增；(3)存在，.【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）由導(dǎo)數(shù)值恒正判斷函數(shù)單調(diào)遞增.（3）假定存在，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討最大值即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，，，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增.（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，而，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則，所以的取值范圍是.4．（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）先得到不是方程的根，參變分離得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案；（2）轉(zhuǎn)化為在上有解，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，求出答案．【詳解】（1）令，得，顯然不是方程的根，故，，令，則，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)的大致圖象如下所示，觀察可知，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．.（2）由題意，不等式在上有解，顯然不是該不等式的解，所以不等式在上有解，設(shè)，，則．設(shè)，，則．所以在單調(diào)遞減，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．三、雙變量型1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)已知，當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.（2）先求和在區(qū)間上的值域，然后列不等式組來求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，解得或，所以不等式的解集為.（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，且，，所以對(duì)任意的，.時(shí)，是增函數(shù)，，由得，若對(duì)任意的，總存在，使成立，所以，解得，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.2．（23-24高二上·浙江·期中）函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，對(duì)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由題意恒成立，采用變量分離法得，求解出的最大值，從而得解；（2）根據(jù)題意可得出，在上的值域?yàn)樵谏系闹涤虻淖蛹?，根?jù)子集運(yùn)算規(guī)則解得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，故；綜合得：；（2）記，，因?yàn)閷?duì)，，使得，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，故，因?yàn)?，所以，即，又，?3．（23-24高一上·遼寧·期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，得即可解決；（2）記函數(shù)，的值域?yàn)榧希?，的值域?yàn)榧?，則對(duì)任意的，總存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解決.【詳解】（1）由題知，，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）記函數(shù)，的值域?yàn)榧?，，的值域?yàn)榧?，則對(duì)任意的，總存在，使得成立，因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)，，，得，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)椋?，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（23-24高一下·陜西漢中·期中）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；(2)對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）設(shè)，則有，，再根據(jù)給定的性質(zhì)即可求解；（2）求出的值域，根據(jù)題意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式組，求解即可得出的范圍.【詳解】（1）依題意，，設(shè)，，則.令，.由已知性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又∵，，，∴.∴的值域?yàn)?（2）為減函數(shù)，故，.由題意得，當(dāng)時(shí)，的值域是的值域的子集，∴解得.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的求法，函數(shù)的任意和存在性問題的解法以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.四、雙變量型1．（23-24高二下·河南安陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，m，.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）取出，分別解不等式即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，先求出，將問題轉(zhuǎn)化為使成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可得出答案.【詳解】（1）由，則由，解得，，解得所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞減，又，，所以，使成立，即即使成立即在上有解設(shè)，則所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以要使得在上有解，則2．（23-24高二下·四川資陽·期中）已知，.(1)當(dāng)時(shí)，求極值；(2)討論單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，總存在，使得，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)答案見解析(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出極值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，對(duì)分類討論，確定導(dǎo)數(shù)符號(hào)，得出單調(diào)性；（3）利用導(dǎo)數(shù)分別求解的最大值，然后可得答案.【詳解】（1）由題可知，函數(shù)定義域?yàn)?，由?dāng)，解得，當(dāng)，解得，所以函數(shù)在處取得極大值，無極小值.（2），①所以當(dāng)時(shí)，有恒成立，在單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，由解得：，在上單調(diào)遞增；由解得：，在上單調(diào)遞減；綜上，時(shí)，在單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意，不等式等價(jià)于，，對(duì)于，，，所以在上單增，所以，則有，設(shè)，，則，在定義域內(nèi)為減函數(shù)，又，所以，即的取值范圍是.3．（23-24高二下·重慶長壽·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由，按，進(jìn)行分類討論求解；（2）由已知，轉(zhuǎn)化為，由已知得，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，由于，故，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由，得，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）由題目知，只需要即可又因?yàn)?，所以只需要即可即等價(jià)于恒成立，由變量分離可知，，令，下面求的最小值，令，所以得，所以在為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以，所以.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知兩函數(shù)，，若對(duì)，，，，恒有成立，求的取值范圍.【答案】【優(yōu)尖升-分析】轉(zhuǎn)化對(duì)，，，，恒有成立為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)分別求解兩個(gè)函數(shù)的最小值，代入解不等式即可【詳解】若對(duì)，，，，恒有成立，只需在，上，即可.，，，在，，，，故與，是單調(diào)遞增區(qū)間.在，，故，是單調(diào)遞減區(qū)間.因此的極小值為又，所以所以，解得的范圍為.五、最值法1．（2024·四川瀘州·二模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，再構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為，利用的單調(diào)性，分析得，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，則，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；不妨令，當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，此時(shí)符合題意；當(dāng)，即時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，顯然在處取得極小值，此時(shí)極小值為，而，所以，要使，則必有，解得，故，綜上:的取值范圍是.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）有解；有解．（2）有解；有解．（3）有解；有解．（4），，．2．（23-24高二下·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若都有求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)若使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）代入，求導(dǎo)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2），都有等價(jià)于時(shí)，恒成立，然后分類討論求即可.（3）令，即存在，使得，然后分類討論求即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2），都有，即時(shí)，恒成立,,令,①當(dāng)，即時(shí),，，所以在單增，所以，滿足題意.②當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，，i）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，所以在單增，所以，滿足題意.ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，所以，不滿足題意.綜上所述：當(dāng)時(shí)，滿足時(shí)，恒成立..【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即得.（2）求出函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性確定在上的最大值，再討論求解即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，依題意，在上恒成立，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因此，所以的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，若對(duì)任意，存在，使得成立，即成立，由，得