空間向量與立體幾何（知識(shí)梳理）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題01空間向量與立體幾何(知識(shí)梳理)

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

重難點(diǎn)突破

知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念、性質(zhì)與運(yùn)算

1、空間向量及其有關(guān)概念

概念語言描述

共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b#0),a〃b=存在2CR,使a=2b

若兩個(gè)向量a,b不共線，則向量p與向量a,b共面=存在唯

共面向量定理

一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb

空間向量基本定定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,

理及推論存在唯一的有序?qū)崝?shù)組｛尤，y,z｝使得p=xa+yb+zc.

推論：設(shè)。，A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)

有序?qū)崝?shù)x,y,z,使3^=*/+)，存+2-5不且*+丫+2=1

2.數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算

(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積：①a?b=|a||b|cos(a,b)；②a_Zb=a?b=0(a,b為非零向量);

③設(shè)a=(x,y,z),則|a『=a2,|a|=df+y2+z2.

(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

a=Qi，。2，〃3），b—（b\9bi9bi）

向量和a+b=（4]+/?i，42+62，03+%）

向量差a-b=(〃］一從，〃2—?dú)v，〃3—。3)

數(shù)量積a?b=〃/?+公歷+a3b3

共線a〃b=m=Zbi,。2=勸2,。3=助3(2仁七b^O)

垂直aJ_b<=>6ti/?i+。2歷+。3%=0

夾角公式cos〈a,b)y屆+星州房+慶+慶

3.直線的方向向量與平面的法向量

(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線/平行或或共線，則

稱此向量a為直線/的方向向量.

(2)平面的法向量：直線取直線/的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.

4.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線八，/2的方向向量分別ni//n20nl=也2(攵￡R)

為ni，112/山2ni_Ln2<=>ni-n2—0

直線/的方向向量為n,平l//an_Lm=nm=O

面a的法向量為mlA.an//m=n=kra(keR)

a//pn//m=n=km(k￡R)

平面a,￡的法向量分別為n,m

a-L￡n_Lm=nm=O

5.證明空間任意三點(diǎn)共線的方法

對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線：

⑴京'=7'/(2WR);

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)。，~OP=~OA^rAB(reR)；

(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,~OP^x~OA+y~OB(x+y=l).

6.證明空間四點(diǎn)共面的方法

對(duì)空間四點(diǎn)尸，M,A,B除空間向量基本定理外也可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共

面：

(1)~MP+VMB；

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)O,~OP=~OM+x~MA+y麗；

(3)~PM//~AB(或〃麗或下百〃W).

例1.(1)、(2021?廣東?佛山市南海區(qū)里水高級(jí)中學(xué)高二月考)己知空間向量

而=(3,1,3),日=(-1,4-1),且嬴不,則實(shí)數(shù)2=()

A.B.-3C.D.6

33

【答案】A

【分析】

由而//［，得到前=不，列出方程組,即可求解.

【詳解】

由題意,空間向量而=(3,1,3),分=(—1,4一1)，

3=-/

因?yàn)檎?可得而=不，即(3,1,3)=，(一1,4-1),可得解得2T.

\=At

故選：A.

(2).(2021?河南?南陽(yáng)中學(xué)高二月考(理))如圖，在空間四邊形。48。中，OA=a9麗=凡

玩=入點(diǎn)N為3c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段04上，且0M=2MA,則麗二()

O

1_11-

B.-a+—br+—c

322

—z-i,i一

D.——a-v—b+—c

322

【答案】D

【分析】

利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解：TN為8c的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段04上，且OM=2M4,且函=￡,OB=b^OC=c^

,\MA=-OA=-a

33

AB=OB-OA=b-a

BN=-BC=-(0C-0B)=-(^-h)

222

,MN=MA+AB+BN=-a+b-a-^-—(c-b)=——a+—b+—c

32322

故選：D.

(3).(2020?北京?大峪中學(xué)高二期中)已知2=(1,2,-1),b=(x,y,2),且J/區(qū)，那么

x+y=.

【答案】-6

【分析】

由已知中2=(1,2,-1),h=(%,>■,2),且1〃石，根據(jù)向量平行(共線)的充要條件，我們

可得存在/IsK,使&=4,構(gòu)造方程組求出4,X,y后，即可求出答案.

【詳解】

解：a=(1,2,-1),b=(x,y,2),Xya//b>

1=Ax

則存在使&=即(1,2,—l)=〃x,y,2),.?.,2=/ly

-1=22

解得2=——，/.x--2,y=-4,.-.x+y=-6,

2

故答案為：-6.

(4).(2021?廣東?深圳市南山外國(guó)語學(xué)校高級(jí)中學(xué)高二期中)下列說法正確的是()

A.任一空間向量與它的相反向量都不相等

B.將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C.模長(zhǎng)為3的空間向量大于模長(zhǎng)為1的空間向量

D.不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等

【答案】D

【分析】

根據(jù)空間向量的定義，從向量的大小和方向兩個(gè)方面依次判斷選項(xiàng)；

【詳解】

對(duì)A,零向量的相反向量是本身，故A錯(cuò)；

對(duì)B,終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球，故B錯(cuò)；

對(duì)C,向量不能比較大小，故C錯(cuò)；

對(duì)D,相反向量是不相等向量，但它們的模長(zhǎng)相等，故D正確；

故選：D

【變式訓(xùn)練1-1】、(2021?山東煙臺(tái)?高二期中)已知向量Z=(2,T,3),石=(4〃,-2),若；〃力,

則4+〃=()

22

A.2B.-C.-2D.—

33

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量平行得到（2,-1,3）=（加,小,-2。，解得答案.

【詳解】

a//b>則￡=屬，即（2,-l,3）=f（Z〃,-2）=（"M，-2f）,

2

'At=23

22

故=解得j/J=-,故；1+〃=-§.

-2r=33

t=一二

2

故選：D.

【變式訓(xùn)練1-2】、（2021?天津河北?高二期中）如圖所示，在平行六面體ABCO-4BICIOI

中，若《瓦=￡,宿=及平=則下列向量中與根相等的向量是（）

A.a+b—cB.a+b+cC.—（a+b）—cD.—（a+b）+c

【答案】B

【分析】

根據(jù)圖形可得函=硒，/=不，進(jìn)而利用空間向量的加減法運(yùn)算可得

UUUUUUUUULUUUU

AC=AR+A4+AA，得出結(jié)果.

【詳解】

由題意得，D^=A^,QC=A^A

A^C=AD+℃=AiD]+D￡+C1C=AA+AM+AA=@+5+c.

故選：B

【變式訓(xùn)練1-3】、（2021?浙江省象山縣第二中學(xué)高二期中）已知向量:

了=（3,6,y），且7/。則x+k---------.

【答案】-5

【分析】

根據(jù)空間向量共線定理求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)閍=（-l,x,l），1=（3,6,y），一目二//。

所以存在非務(wù)實(shí)數(shù)4使得^=4：,即匕=（3,6,y）=2a=（-4x2,2）

—A=3A=—3

所以<〃=6,解得x=-2

4=yy=-3

所以x+y=-5

故答案為：-5

【變式訓(xùn)練1-4】（2021?山東?膠州市教育體育局教學(xué)研究室高二期中）下列說法正確的是

（）

A.若￡,B是兩個(gè)空間向量，a>B則不一定共面

B.OA-OC=AC

C.若尸在線段48上，則麗=^而（04/41）

D.在空間直角坐標(biāo)系。-小中，點(diǎn)4（1,2,3）關(guān)于坐標(biāo)平面》0），的對(duì)稱點(diǎn)為4（-1,-2,3）

【答案】C

【分析】

根據(jù)空間向量的概念、性質(zhì)和運(yùn)算法則，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)果

【詳解】

根據(jù)向量的特點(diǎn)，若￡,B是兩個(gè)空間向量，則2,b一定共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤：

UULUllllUU,,,.,,,

04-OC=C4,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

若P在線段AB上，則|麗卜麗，根據(jù)共線定理可知存在實(shí)數(shù)使得麗=f而故選

項(xiàng)C正確；

在空間直角坐標(biāo)系O-種中，點(diǎn)A（l,2,3）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱點(diǎn)為A，（1,2,-3）,故選項(xiàng)

D錯(cuò)誤；

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)二求異面直線形成的角

1.異面直線所成的角

設(shè)。，匕分別是兩異面直線小，2的方向向量，則

a與。的夾角”/1與，2所成的角0

范圍（0,頁(yè)）(0,d

aA1Al

求法8S%||b|COSL-M峋

例5.（1）、（2021?安徽?屯溪一中高二期中）在邊長(zhǎng)及對(duì)角線都為1的空間四邊形4BC2）中,

E,尸分別是3C,AD的中點(diǎn)，則直線AE和CP夾角的余弦值為（）

A.--B.-C.-D.y

3342

【答案】B

【分析】

uiinuun1

利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算可求得=-二，再利用空間向量求夾角運(yùn)算即

2

可得解.

【詳解】

如圖，連接對(duì)角線8C,AD,則可構(gòu)成樓長(zhǎng)均為1的正四面體A-BCO

uun1ziimuunuin1,ULTUUW

由E,F分別是BC,AO的中點(diǎn)，.?.AE=/(A8+AC)x,CF=-(CA+CD)X

uunuun1/iiunuinnx(utruimx1zuunuiruunuiruunuunuinnuim、

???A￡CF=-(AB+^C)(C4+C￡>)=-(ABCA4-ACC4+ABC￡>+ACCD)

1(1uunuun1\1zuunuun、11uunuun

=-----l+ABCD——=--2+ABCZ)=——+-ABCD

4122)4V>24

umuuuuun/iiuuuun、umuuinULKuirai11uunuun1

又ABC￡>=AC)=ABAD-ABAC=-一二0,AECF=——

222

/Uimmin2

則COSIAE,。/7

3

2

所以直線4E和CF夾角的余弦值為］.

故選：B

A

(2).(2021?河北?高二月考)在正方體ABCD-AiBi二D中,E,尸分別為棱BiCi,CG的中

點(diǎn)，則異面直線4E與3尸所成角的余弦值為.

【答案】|

【分析】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積可求夾角的余弦值.

【詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-A4Gq的棱長(zhǎng)為2,則4(0,0,2),8(2,0,0),E(2,1*2),尸(2,2,1),

/AEBF22

則凝=(2,1,0),而=(0,2,1),故,cos(電，麗”南防=用不二不

2

故答案為：—

【變式訓(xùn)練2?1】、(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如圖，在三棱柱ABC-AgG中，側(cè)棱垂直

于底面，ABYBC,AB=BC,AC=20，A4,=逝，點(diǎn)E為AG的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC的

延長(zhǎng)線上且醞=：反，則異面直線BE與GF所成角的余弦值為()

4

_V3

C.D.

22

【答案】D

【分析】

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,B片所在直線分別為工軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利

根據(jù)H甌冏=第

用向量法,即可求出答案.

【詳解】

在三棱柱A3C-AB￡中,因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，且AB_LBC,

所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系.

由=AC=26例=0,得AB=BC=2,

所以8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,正)，C,(2,Ox/2),

由汴=，或，得方=9(2,0,0)=(1，0,。］,

4412/

所以異面直線BE與CF所成角的余弦值為

3

2.=1

cos悻中）卜

網(wǎng)印「口口32-

故選：D.

【變式訓(xùn)練2-2】、（2021?黑龍江?哈爾濱三中高三月考（理））已知四棱錐P-A8CD中，PAA.

底面ABC。，四邊形ABC。是正方形，A4=A8.點(diǎn)M在棱PC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)平面，平面

PCZ）時(shí)，異面直線A3與DM所成角的正弦值為.

AB

【答案】息

3

【分析】

以A為原點(diǎn)，為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PC。的法向量

_CIUUUUU(222、

n=(1,0,1),設(shè)PC=X/WN1),則M不,丁,2-彳，利用平面_1_平面PCQ,求得點(diǎn)

y/tA,A,)

再利用向量求得異面直線的夾角.

【詳解】

設(shè)B4=A5=2,以A為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則40,0,0),8(0,2,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),0(2,0,0)

____miu

設(shè)平面PC。的法向量為3=(x,y,z),PC=(2,2,-2),PD=(2,0-2)

[n-PC=2x+2y-2z=0.-

則〈-,令x=l,貝1J〃=(1,O,1)

n-PD^2x-2z=0

uuuuuu1

由M在棱PC上運(yùn)動(dòng)，，PC=2PM(/IN1),即PM=》(2,2,-2)

/t

所以點(diǎn)用甘,2一目

uuun(222

設(shè)平面M8O的法向量為屬=(a*,c),DM=\--2,-,2--,麗=(2,-2,0)

\AAA

fh-DM=\--2\a+-b+\2--\c=0ir

則J12J丸l，令a=1,則機(jī)=11

,'i-z

m?BD=2a-2b=0

o_J3

由平面MB。，平面PC。，知而7=0，BP1+——=0,解得；1=彳

1—A2

（442、uuui_242)

所以點(diǎn)虧...DM=~3J3y3)

又布=(0,2,0),設(shè)異面直線AB與DW所成角為。

/uunuum

cos0=cos(AB,DM

知識(shí)點(diǎn)三求直線與平面形成的角

1.求直線與平面所成的角

設(shè)直線/的方向向量為小平面a的法向量為〃，直線/與平面a所成的角為仇貝UsinO=|cos

n)|-|a||n|-

例3.(1)(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若向量￡=(2,-3,6)是直線/的方向向量，向量

；?=(1,0,0)是平面a的法向量，則直線/與平面a所成的角為.

【答案】300

【分析】

直接利用向量的夾角公式求解即可

【詳解】

設(shè)直線/與平面a所成的角為則由題意得

MH利瑞也二+(后廿

因?yàn)?。46490°,

所以6=30。，

所以直線/與平面a所成的角為30。，

故答案為：30。

(2).(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，在三棱柱A8C-A/C中，平面ABC,

AA,=AC=BC=4,ZACB=90°,E是CC；的中點(diǎn).則直線A8與平面A8E所成角的正弦

值為.

A

【答案】正

3

【分析】

結(jié)合已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4BE的法向量，然后利用線面夾角的向量公

式求解即可.

【詳解】

由題意，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系c-孫Z,

則A（4,0,0）,8（0,4,0）,E（0,0,2）,A（4,0,4）,

所以（-4,4,0），E\=（4,0,2）＞誦=（0,4,-2），

設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z)，

E4,n=04x+2z=0

則

EBn=04y—2z=0

令x=l,則y=-i,z=-2,

從而［(1,-1,-2)為平面的一個(gè)法向量,

不妨設(shè)直線AB與平面ABE所成角為

\ABn\y13

從而si"

HH=T

故直線A8與平面ABE所成角的正弦值為日.

故答案為：立.

3

【變式訓(xùn)練3?1】、(2021?河北?高二期中)在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉嚅是指

四個(gè)面都是直角三角形的四面體.如圖，在直角中，A。為斜邊BC上的高，AB=6,

AC=R,現(xiàn)將△粒。沿翻折到VAST)的位置，使得四面體ABCO為鱉肺，若G為

7ARC的重心，則直線DG與平面AB'C所成角的正弦值為

B'

【答案】逅

3

【分析】

根據(jù)題意可//OF,ZADC,ZDB'C,為直角，求出四面體的棱長(zhǎng)，然后在長(zhǎng)方體

中作出四面體9C,如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

求出平面的法向量，利用向量法即可求出答案.

【詳解】

在直角AABC中，為斜邊8c上的高，AB=6,AC=>/6,

則3c=3,AD=0，BD=1,CD=2,即在四面體AB'CO中，

AD=-Ji，B'D=l,8=2，AB'=6AC=^，則B'O<C￡).

要使四面體為鱉嚅，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，可知需要B'C，平面A￡>8',

此時(shí)/AD?，ZADC.ZDffC,NAB'C為直角，滿足四面體A3'C。為鱉膈，

22

則B'C=Jc。-aD=咫>■

如圖，在長(zhǎng)、寬、高分別為G，1,正的長(zhǎng)方體中作出四面體AB'CO,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則￡>(0,0,0),A(0,0,血)，C(l,6,0),夕(1,0,0),

G孝］,A*=(l,0,-血)，CB'=(0,-\/3,0),DG=三

一in-AB'=x-y/2z=0

設(shè)m=(x,y,z)為平面AB'C的一個(gè)法向量，貝！..,

/CB'=73ry=0

令z=l,則x=&,y=0,所以而=（點(diǎn),0,1）.

乂cos〈而礪=占黑=普；=手，所以直線DG與平面Age所成角的正弦值為四.

網(wǎng)DG,3x133

故答案為：旦

3

【變式訓(xùn)練3-2】、（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖，E,F分別是正方體48CQ-4BCQ中

棱C。上的兩點(diǎn)，且AB=2,EF=1,則下列命題中不正確的為（）

A.異面直線8a與所所成的角的大小為45°

B.異面直線B閩與所所成的角的大小為30°

C.直線BQ與平面所成的角的大小為45。

D.直線4R與平面BgF所成的角的大小為60。

【答案】BCD

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算萬百，EF，然后使用空間向量的夾角公式計(jì)算可知A、B

正誤；同時(shí)計(jì)算平面4片8的法向量，最后cos（印;，刀，簡(jiǎn)單判斷即可.

【詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,OC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

〃（0,0,2）,4（2,2,2）,A（2,0,2）,D（0,0,0）

易知函=（2,2,0）,￡F=（0,1,0）,

麗?麗2五

所以cos（何，甫）=

忸同同「2夜xl一2

所以異面直線8a與EF所成的角的大小為45°,故A正確，B錯(cuò)誤;

由題意可知平面B、EF即為平面A4CD,

設(shè)平面ABC。的法向量為n=（x,y,z）,則/隔=/函=0.

又病=（0,2,0）,函=（2,0,2）,

[2y=0-,、

所以c°八，令x=l，得〃=（l,0,T，

[2x+2z=0

所以8s（麗/”/正二；，

所以直線8巴與平面4月。力所成的角為30。，

即直線與0與平面鳥稗所成的角的大小為30。，故C,D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

知識(shí)點(diǎn)四求平面與平面形成的角

1.求二面角的大小

(1)如圖①，AB,CO是二面角。一/一/？的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=

_〈屈，⑦.

(2)如圖②③，m，"2分別是二面角a—/一/?的兩個(gè)半平面a,夕的法向量，則二面角的大小

。滿足|cos4=|cos<m，〃2〉I，二面角的平面角大小是向量與〃2的夾角(或其補(bǔ)角).

【特別提醒】

1.線面角6的正弦值等于直線的方向向量4與平面的法向量〃所成角的余弦值的絕對(duì)值，即

sin0=|cos(a,n)|,不要誤記為cos)=|cos(a,n)|.

2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面a,夕的

法向量也，〃2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，來確定二面角與向量〃”

“2的夾角是相等，還是互補(bǔ).

例4.(1)、(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))在正方體ABC。-ABCQ中，二面角A-2"-C的

余弦值為.

【答案】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。口所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體A3CO—AgCQ棱長(zhǎng)為],則4（1,0,0）,5（1,1,0）,C（0,l,0）,D,（0,0,1）,

通=（0,1,0）,^*=（-1,0,1）,麗=（1,0,0）,CD；=（0,-1,1）.

設(shè)平面ABD1和平面的法向量分別為功=（內(nèi),％zj和稔=（冷%，Z2），

AB?4=x=0

則〈取石=1,得〃?=(1,0,1),

ADy?%=—玉+4=0

CB-n=x=0

22取了2=1，得〃2

CD}?n2=-y2+z2=0

/一-\n\n21

則叫〃],吁尸訐^二5，

網(wǎng)網(wǎng)2

顯然二面角A-BR-C是鈍二面角，所以其余弦值為

故答案為：

（2）.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）在棱長(zhǎng)為。的正方體ABCD-AB'CZ）'中，E,

尸分別是BC,的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.四邊形8ZD尸是菱形

B.直線與直線的距離是巫a

5

C.直線A￡＞與平面B'ED尸所成角的正弦值是立

3

D.平面夕￡8?與平面ABC。所成角的正弦值是叵

6

【答案】AD

【分析】

以卜反而，麗?｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-^z,然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得

ffE=FD，結(jié)合￡史=0尸可判斷A,然后利用向量對(duì)B、C、D中的問題逐一求解判斷即可.

【詳解】

如圖，以｛?反A方,麗;｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A（0,0,0）,0（0,a,0）,B\a,G,a）,后［，去。］，

所以曜=（0,*-a）,而=（0,呈-aj,所以屣=而，所以夕E//FD,西=|而J,

所以四邊形￡￡力產(chǎn)是平行四邊形，易知DE=O尸，因此四邊形血F是菱形，A正確;

由上可知B'F與DE平行，則直線與直線DE的距離等于點(diǎn)F到直線DE的距離，

因?yàn)槎??,詼=°,一例，所以cos（麗碼=苣贏=-"，

sin（而，詼）=半，

所以點(diǎn)尸到直線OE的距離d=|麗卜in（麗，詼）=粵。,B錯(cuò)誤：

a八

—y-az=0

n-B'E=O2,

設(shè)平面B'EDF的法向量為，;=(x,y,z),由，____，得

n-DE=Oax--y=0

2

取y=2,則x=l,z=l,即3=(1,2,1)是平面9￡ZW的一個(gè)法向量，

而二(040),。鞏而?箭=品邛，

所以直線AO與平面夕廠所成角的正弦值是好，C錯(cuò)誤；

3

一,、/---\mn1V6

平面A3CD的一個(gè)法向量是/n=(0,0,1),COS^,M)=?=-^=—,所以平面?團(tuán)尸與

平面A6C7)所成角的余弦值為底，其正弦值為叵，D正確，

66

故選：AD.

【變式訓(xùn)練4-1】、(2021?浙江臺(tái)州?高二期中)(多選題)在正方體AB8-ABCR中，點(diǎn)P

在線段BC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有()

A.直線平面AC。

B.三棱錐尸-AQB體積為定值

7T71

C.異面直線AP與A。所成角的取值范圍是

o2

D.直線GP與平面AC。所成角的正弦值的最大值為邁

3

【答案】ABD

【分析】

在正方體中，本題涉及線面垂直的證明，三棱錐體積的求解，異面直線所成角的范圍及線面

角正弦值的范圍.需逐個(gè)分析、計(jì)算、證明各選項(xiàng).

【詳解】

AB

對(duì)于選項(xiàng)A,連接BQ、AG,由正方體可得AG，耳口,旦5用_L平面AAGR,則_LAG,

乂BRcBBi=B,，且BR,陷u平面BDtBt，所以AG,平面皿百，故4G,8n.

同理可證AtDlBDX，又AGcA。=A，且AG，A。u平面\CXD，所以Bq1平面AtCtD,

故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,在正方體中，易知BCIIA。,而8C(Z平面4Qu平面所以B0||

平面AO8,且因?yàn)辄c(diǎn)P在線段8。上運(yùn)動(dòng)，則產(chǎn)到平面的距離為定值，△AO8面積

為定值，所以三棱錐P-A38體積為定值，故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)槎鶦〃4。，則異面直線AP與A。所成角等于直線8c與AP所成角，

易知，當(dāng)點(diǎn)P與線段BC的端點(diǎn)重合時(shí)，直線瑪C與AP所成角取得最小值為?，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則

3(1,1,0),。((),(),1),￡((),1,1)，設(shè)尸(a,1,a),則04a41,c>=(a,0,a-l)

由B選項(xiàng)證明可知，平面AG。,所以80是平面AG。的一個(gè)法向量，設(shè)直線GP與平

面4G。所成角為a,則

-a+a-1

sina=|cosBDt,C,P|=

|西H羽yfixyja2+(a-l)2y/3x5/2/—2d+1

取得最大值且，故D正確

,當(dāng)〃=2時(shí)，即P為8。中點(diǎn)時(shí)，sina=

A/3XA/2?2-2a+\3

故選：ABD.

【變式訓(xùn)練4-2】、(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如圖所示，已知點(diǎn)尸為菱形ABC。外一點(diǎn)，

且Q4_L平面ABC。，PA=AT>=AC,點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角C-BF-。的正切值為

kD

B

【答案】空

3

【分析】

分析空間幾何體的特征，建立合適的空間宜角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦值，再求

正切值.

【詳解】

如圖所示，連接8。，ACr\BD=O,連接OF,

以。為原點(diǎn)，OB,OC,。尸所在直線分別為x軸、），軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

,0,0,小0』，C（O,g,O）,D、d0”?

所以B

22

結(jié)合圖形可知，OC=fo,iok且歷為平面BOF的法向量,

WO

由前=,0弓,

22

可求得平面8CF的一個(gè)法向量為萬=（1,6,61

所以cos（爪OC）=,sinG，OC）=,

所以tan（元,OC）=二^3.

故答案為：巫

3

例5.（2021?云南省玉溪第一中學(xué)高二期中（文））在如圖所示的幾何體中，四邊形A8C。為

矩形，平面WFJ■平面ABC。，EF//AB,NBA尸=90"，4）=4,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)

P在線段上.

（1）若戶是。尸的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

（2）若用=；力，求平面AOF與平面APC的夾角的余弦值..

【答案】

（1）還

15

⑵近

3

【分析】

（1）由面面垂直可以得到線面垂直，進(jìn)而得到A8,AD,4尸兩兩垂直，從而建立空間直角

坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線的夾角余弦值；（2）設(shè)出P（O,y,z）,利用=求出

尸點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求解平面的與平面APC的夾角的

余弦值，注意兩平面的夾角與二面角的區(qū)別.

（1）

因?yàn)镹BAF=90。,所以AFVAB,因?yàn)槠矫嫫矫鍭8CZ）,且平面ABEFC1平面ABCD=

AB,Aku平面48EF,所以A￡J_平面A8CO,因?yàn)樗倪呅?8CZ）為矩形，所以以A為坐

標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AF分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系4一個(gè)已

所以8(2,0,0),E(l,0,2),尸(0,2,1),C(2,4,0),尸(0,0,2)

—"—‘■r-

所以而=(-2,0,2)BE=(-1,0,2),行=(-2,-2,l),所以cos＜麗，而＞=----=*,

\BE\-\CP\15

即異面直線BE與CP所成角的余弦值為拽；

15

(2)

因?yàn)锳8_L平面ADF,所以平面ADF的法向量為成=(1,0,0),

設(shè)尸(0,y,z),FP=(0,y,z-2),因?yàn)椤辏?0,4,0),所以麗=(0,4,-2),因?yàn)辂?g麗,

??.y,，z-2=-2,.?.y=z=:,「(4吟4在平面”C中，"=(0,若44)，AC=(2,4,0),

333333

--------44

馬?4P=-y+-z=0

設(shè)平面APC的法向量%=(x,y,z),則，~33,令y=l,則z=-l,x=-2,

n2-AC=2x+4y=0

-------II々?2I2_76

得平面4PC的法向量為后=(-2,1,-1),