高中物理選修3-4校本作業(yè)及答案

第一章機械振動

第1講簡諧運動

［目標定位］1.知道什么叫機械振動2理解回復(fù)力、平衡位置的概念.3.了解彈簧振子，掌握簡諧運動的動力

學(xué)特征.

［自主預(yù)習(xí)］

一、什么是機械振動

1.機械振動：物體在附近做—運動，叫做機械振動，簡稱振動.

2.回復(fù)力：總是指向的力.

3.平衡位置：指物體所受回復(fù)力為—的位置.

二、彈簧振子的振動

1.彈簧振子是一種—模型，由一個質(zhì)量可以的彈簧與一個質(zhì)量為機的物體構(gòu)成.

2.簡諧運動：物體所受回復(fù)力的大小與位移大小成—，并且總是指向的運動，或加速度的大小

與位移大小成—，加速度的方向與位移方向相反的運動.

［重難點解析］

一、對簡諧運動的平衡位置、位移、回復(fù)力、加速度的理解

1.對平衡位置的理解

(1)從物體受力特點看：物體在平衡位置所受合力不一定為零，而是沿振動方向的合力為零.

(2)從速度角度看：平衡位置是振動中速度最大的位置.

2.對簡諧運動的位移的理解

簡諧運動的位移是矢量，是從平衡位置指向振動質(zhì)點所在位置的有向線段.

注意：簡諧運動的位移和一般運動的位移有很大區(qū)別，一般運動的位移都是由初位置指向末位置.而簡諧

運動的位移都是由平衡位置指向振動質(zhì)點所在位置.

3.對回復(fù)力的理解

(1)回復(fù)力是指將振動物體拉回到平衡位置的力，它是效果力，而不是一種新的性質(zhì)力.它可以由物體所受

的合外力提供，也可以由某一個力或某一個力的分力提供.

(2)簡諧運動的回復(fù)力：F=-kx

①/是比例系數(shù)，并非彈簧的勁度系數(shù)(水平彈簧振子中力為彈簧的勁度系數(shù))，其值由振動系統(tǒng)決定，與振

動位移大小無關(guān).

②“一”號表示回復(fù)力的方向與質(zhì)點偏離平衡位置的位移的方向相反.

③x是指質(zhì)點對平衡位置的位移，不一定等于彈簧的伸長量或壓縮量.

④回復(fù)力的作用總是把物體拉向平衡位置.

4.對簡諧運動的加速度的理解

據(jù)牛頓第二定律，a=%=—表明彈簧振子做簡諧運動時振子的加速度大小也與位移大小成正比，加速

度方向與位移方向相反.

5.判斷振動是否為簡諧運動的方法

若回復(fù)力/與位移x間的關(guān)系滿足尸=一丘，則物體做簡諧運動，否則就不是簡諧運動.

【例1】如圖所示，彈簧下端懸掛一鋼球，上端固定，它們組成一個振動的系統(tǒng)，用手把鋼球向上托起一段距

離，然后釋放，鋼球便上下振動起來，若以豎直向下為正方向，下列說法正確的是（）

A.鋼球運動所能達到的最低處為平衡位置"第"

B.鋼球原來靜止時的位置為平衡位置I

C.鋼球振動到距原靜止位置下方3cm處時位移為3cm|

D.鋼球振動到距原靜止位置上方2cm處時位移為2cm

解析振子的平衡位置是指振子原來靜止時的位置，故A錯，B對.振子的位移為從平衡位置指向某時刻

振子所在位置的有向線段，有方向，有正負，可判斷C對，D錯.

答案BC

針對訓(xùn)練1如圖所示，彈簧振子在光滑水平桿上的4、8之間做往復(fù)運動，下列說法正確的是（）

A.彈簧振子運動過程中受重力、支持力和彈簧彈力的作用

B.彈簧振子運動過程中受重力、支持力、彈簧彈力和回復(fù)力作用「y建

C.振子由。向/運動過程中，加速度方向向左"AdB

D.振子由。向8運動過程中，回復(fù)力的方向指向平衡位置

解析回復(fù)力是根據(jù)效果命名的力，不是做簡諧運動的物體受到的具體的力，它是由物體受到的具體的力

所提供的，在此情景中彈簧的彈力充當(dāng)回復(fù)力，故A正確，B錯誤；回復(fù)力的方向總是指向平衡位置，加

速度的方向與回復(fù)力方向相同，所以振子由。向/運動過程中，加速度方向向右，由。向8運動過程中，

回復(fù)力方向向左，故C錯誤，D正確.

答案AD

二、簡諧運動中各量的變化情況

如圖所示的彈簧振子

彈力最大減小0增大最大

加速度最大減小0增大最大

速度0增大最大減小0

【例2】彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動，在振子向著平衡位置運動的過程中（）

A.振子所受的回復(fù)力逐漸增大

B.振子離開平衡位置的位移逐漸增大

C.振子的速度逐漸增大

D.振子的加速度逐漸增大

解析在振子向著平衡位置運動的過程中，振子所受的回復(fù)力逐漸減小，振子離開平衡位置的位移逐漸減

小，振子的速度逐漸增大，振子的加速度逐漸減小，選項C正確.

答案C

針對訓(xùn)練2一彈簧振子振動過程中的某段時間內(nèi)其加速度數(shù)值越來越大，則在這段時間內(nèi)（）

A.振子的速度逐漸增大

B.振子的位移逐漸增大

C.振子正在向平衡位置運動

D.振子的速度方向與加速度方向一致

解析振子由平衡位置向最大位移處運動過程中，振子的位移越來越大，加速度增大，速度方向與加速度

方向相反，振子做減速運動，速度越來越小，故A、D錯誤，B正確；振子向平衡位置運動的過程中，位

移減小，回復(fù)力變小，加速度變小，故C錯誤.

答案B

［課時作業(yè)］

題組一對振動的理解

1.使物體產(chǎn)生振動的必要條件是（）

A.物體所受到的各個力的合力必須指向平衡位置

B.物體受到的阻力等于零

C.物體離開平衡位置后受到的回復(fù)力的作用，物體所受的阻力足夠小

D.物體離開平衡位置后受到回復(fù)力廠的作用，且了=一日。為對平衡位置的位移）

題組二對簡諧運動中基本概念的理解

2.下列說法正確的是（）

A.彈簧振子的運動是簡諧運動

B.簡諧運動是機械運動中最簡單、最基本的運動

C.簡諧運動中位移的方向總是指向平衡位置

D.簡諧運動中位移的方向總與速度的方向相反

3.如圖所示的彈簧振子，O點為它的平衡位置，當(dāng)振子團離開。點，再從4點運動到C點時，振子離開

平衡位置的位移是（）

A.大小為OC,方向向左

B.大小為OC,方向向右

C.大小為/C,方向向左

OCA

D.大小為NC,方向向右

4.如圖所示，彈簧振子8上放一個物塊出在4與8一起做簡諧運動的過程中，下列關(guān)于月受力的說法

中正確的是（）

A.物塊工受重力、支持力及彈簧對它的恒定的彈力

B.物塊4受重力、支持力及彈簧對它的大小和方向都隨時間變化的彈力

C.物塊/受重力、支持力及8對它的恒定的摩擦力

D.物塊工受重力、支持力及8對它的大小和方向都隨時間變化的摩擦力

5.對于彈簧振子，其回復(fù)力和位移的關(guān)系，下列圖中正確的是（）

6.彈簧振子的質(zhì)量是2kg,當(dāng)它運動到平衡位置左側(cè)2cm時，受到的回復(fù)力是4N,當(dāng)它運動到平衡位

置右側(cè)4cm時，它的加速度是（）

A.2m/s2,向右B.2m/s2,向左

C.4m/s2,向右D.4m/s2,向左

題組三簡諧運動中各量的變化情況

7.圖中所示為一彈簧振子，。為平衡位置，以向右為正方向，則振子在2、C之間振動時（）

A.8fo位移為負、速度為正

B.O-C位移為正、速度為負耳。

C.C-O位移為負、速度為正

D.。-8位移為正、速度為負

8.一彈簧振子做簡諧運動，下列說法正確的是（）

A.若位移為負值，則速度一定為正值，加速度也一定為正值

B.振子通過平衡位置時，速度為零，加速度最大

C.振子每次通過平衡位置時，加速度相同，速度也一定相同

D.振子每次通過同一位置時，其速度不一定相同，但加速度一定相同

9.關(guān)于簡諧運動的位移、加速度和速度的關(guān)系，下列說法中正確的是（）

A.位移減小時，加速度減小，速度也減小

B.位移方向總是跟加速度方向相反，跟速度方向相同

C.物體的運動方向指向平衡位置時，速度方向跟位移方向相反；背離平衡位置時，速度方向跟位移方向

相同

D,物體向負方向運動時，加速度方向跟速度方向相同；向正方向運動時，加速度方向跟速度方向相反

10.以彈簧振子為例，振子做簡諧運動的過程中，有兩點4、A'關(guān)于平衡位置對稱，則振子()

A.在N點和4'點的位移相同

B.在1點和H點的位移大小相同

C.在兩點處的速度可能相同

D.在兩點處的加速度可能相同

11.一質(zhì)量為機的小球，通過一根輕質(zhì)彈簧懸掛在天花板上，如圖所示.

(1)小球在振動過程中的回復(fù)力實際上是.

(2)在振子向平衡位置運動的過程中()

A.振子所受的回復(fù)力逐漸增大

B.振子的位移逐漸增大|

C.振子的速度逐漸減小

D.振子的加速度逐漸減小

答案(1)彈簧的彈力與重力的合力(2)D

12.如圖所示，小球被套在光滑的水平桿上，與彈簧相連組成彈簧振子.小球在平衡位置。附近的小B

間往復(fù)運動，以。為位移起點，向右為位移x的正方向，則

(1)速度由正變成負的位置在.

(2)位移為負向最大值的位置在.

(3)加速度由正變負的位置在.?:::

B~~O~~A~~x

(4)加速度達到正向最大值的位置在

題組四綜合應(yīng)用

13.如圖所示，將一勁度系數(shù)為％,原長為Lo的輕彈簧的一端固定在傾角為。的光滑斜面的頂端，另一端

連接一質(zhì)量為〃［的小球.將小球沿斜面拉下一段距離后松手.證明：小球的運動是簡諧運動.

M

第2講振動的描述

［目標定位］1.知道振幅、周期和頻率的概念，知道全振動的含義2知道簡諧運動的圖象是一條正弦(或余

弦)曲線3會根據(jù)簡諧運動的圖象找出物體振動的周期和振幅，并能分析有關(guān)問題.4.理解簡諧運動公式，能

從中獲取振幅、周期(頻率)等相關(guān)信息.

［自主預(yù)習(xí)］

一、振動特征的描述

1.振幅

(1)定義：振動物體離開平衡位置的-用A表示.

(2)物理意義：表示振動的幅度大小或_______一

2.周期和頻率

(1)全振動(如圖所示)做簡諧運動的物體由B點經(jīng)過。點到達C點，再由C點經(jīng)過0點返回B點，我們說

物體完成了一次，重新回到原來的狀態(tài).

(2)周期

①定義：完成一次經(jīng)歷的時間.用T表示.

②物理意義：表示振動的-：--A——-A―

COB

(3)頻率

①定義：振動物體在1s內(nèi)完成的次數(shù).用/表示.

②物理意義：表示振動的____一

③單位：Hz

(4)周期和頻率的關(guān)系：.六處T=j

(5)固有周期(頻率)

物體在—狀態(tài)下的振動周期(或頻率)，叫做固有周期

(或固有頻率).固有周期(或固有頻率)是物體本身的屬性，與物體是否振動―—

想一想振幅就是振動物體離開平衡位置的最大位移嗎？為什么？

答

二、簡諧運動的圖象描述

簡諧運動的圖象是一條曲線，這一圖線直觀地表示了做簡諧運動物體的位移隨時間按

規(guī)律變化.

想一想簡諧運動的圖象描述的是小球的運動軌跡嗎？

答

三、簡諧運動的公式表達

1.物體位移X與時間t之間的關(guān)系

x=/sin等t或x=Nsincot

其中x代表振動物體的位移，t代表時間，。代表簡諧運動的圓頻率.

2.圓頻率3與周期之間的關(guān)系7="

(O

［重難點解析］

一、對振動特征描述的理解

1.對全振動的理解

正確理解全振動的概念，應(yīng)注意把握全振動的五種特征.

(1)振動特征：一個完整的振動過程.

(2)物理量特征：位移(x)、速度(。)等各個物理量第一次同時與初始狀態(tài)相同，即物體從同一方向回到出發(fā)

點.

(3)時間特征：歷時一個周期.

⑷路程特征：振幅的4倍.

(5)相位特征：增加2兀

2.振幅與路程的關(guān)系

振動物體在一個周期內(nèi)的路程為四個振幅.

振動物體在半個周期內(nèi)的路程為兩個振幅.

振動物體在一個周期內(nèi)的路程可能等于、小于或大于一個振幅.

3.周期(Q和頻率(/)

(1)周期是振動物體完成一次全振動所需的時間.頻率是單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù).所以周期(7)與頻率

(/)的關(guān)系：T=j.

(2)物體振動的固有周期和固有頻率，由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與物體是否振動無關(guān).

【例1】如圖所示，一彈簧振子在8、C兩點間做簡諧運動，B、C間距為12cm,O是平衡位置，振子從C

點第一次運動到8點的時間為0.5s,則下列說法中正確的是()

A.該彈簧振子的周期為1s

B.該彈簧振子的頻率為2Hz新嗎隼-----1

C.該彈簧振子的振幅為12cmCOB

D.振子從O點出發(fā)第一次回到。點的過程就是一次全振動

解析振子從C到8只完成了半個全振動，即彳=0.5s,則周期7=1s,A正確；頻率/=*=1Hz,B錯

C~B

誤；振幅力==6cm,C錯誤；從。點出發(fā)第一次回到。點的過程為半個全振動，D錯誤.

2

答案A

二、對簡諧運動的圖象的理解

1.形狀：正(余)弦曲線

2.物理意義

表示振動質(zhì)點在不同時刻偏離平衡位置的位移，是位移隨時間的變化規(guī)律.

3.獲取信息

(1)簡諧運動的振幅A和周期T,再根據(jù)尸浮出頻率.

(2)任意時刻質(zhì)點的位移的大小和方向.如圖所示，質(zhì)點在小乃時刻的位移分別

為X|和一X2.

(3)任意時刻質(zhì)點的振動方向：看下一時刻質(zhì)點的位置，如圖中。點，下一時刻|X

離平衡位置更遠，故a此刻質(zhì)點向x軸正方向振動.居右弋.

(4)任意時刻質(zhì)點的速度、加速度、位移的變化情況及大小比較：看下一時刻質(zhì)一向米=/

點的位置，判斷是遠離還是靠近平衡位置，若遠離平衡位置，則速度越來越小，加速度、位移越來越大;

若靠近平衡位置，則速度越來越大，加速度、位移越來越小，如圖中b,從正位移向著平衡位置運動，則

速度為負且增大，加速度、位移正在減小，c從負位移遠離平衡位置運動，則速度為負且減小，加速度、

位移正在增大.

注意：振動圖象描述的是振動質(zhì)點的位移隨時間的變化關(guān)系，而非質(zhì)點運動的軌跡.比如彈簧振子沿一直

線做往復(fù)運動，其軌跡為往復(fù)運動的線段，而它的振動圖象卻是正弦(或余弦)曲線.

【例2】一質(zhì)點做簡諧運動的圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.質(zhì)點振動的頻率是4Hz|”cm

-----

B.在10s內(nèi)質(zhì)點經(jīng)過的路程是20cmJ\I\1\,;

02\4\6/810h,,ls

C.第4s末質(zhì)點的速度是零…

D.在f=ls和f=3s兩時刻，質(zhì)點位移大小相等、方向相同

解析根據(jù)振動圖象可知，該簡諧運動周期7=4s,所以頻率尸3=025Hz,A錯；10s內(nèi)質(zhì)點通過路程

5=^X4/!=10^=10X2cm=20cm,B正確；第4s末質(zhì)點經(jīng)過平衡位置，速度最大，C錯；在f=ls和

f=3s兩時刻，質(zhì)點位移大小相等、方向相反，D錯.

答案B

借題發(fā)揮簡諧運動的圖象的應(yīng)用

(1)從圖象中直接讀出某時刻質(zhì)點的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、質(zhì)點的最大位移；

(2)比較不同時刻質(zhì)點位移的大小、速度的大小、加速度的大小；

(3)預(yù)測一段時間后質(zhì)點位于平衡位置的正向或負向，質(zhì)點位移的大小與方向，速度、加速度的方向和大小

的變化趨勢.

針對訓(xùn)練如圖所示為某物體做簡諧運動的圖象，下列說法中正確的是()

由Pf0,位移在增大

由「一。，速度在增大x/cm

&

由A/fN,位移先減小后增大

r

D.由M-*N,加速度先增大后減小4

解析由P-Q,位置坐標越來越大，質(zhì)點遠離平衡位置運動，位移在增大而速度在減小，選項A正確，

選項B錯誤；由MfN,質(zhì)點先向平衡位置運動，經(jīng)平衡位置后又遠離平衡位置，因而位移先減小后增大，

FICY

選項正確，由〃=—=——知，加速度先減小后增大，選項錯誤.

CmmD

答案AC

三、簡諧運動公式

做簡諧運動的物體位移x隨時間t變化公式：

x=/sin(tu/+0)

1.由簡諧運動公式我們可以直接讀出振幅/、圓頻率3和初相位。.據(jù)60=竽或0=27^可求周期T或頻率

f,可以求某一時刻質(zhì)點的位移X.

2.關(guān)于兩個相同頻率的簡諧運動的相位差\<P=<P2-<P\的理解

⑴取值范圍：一兀WApWic.

Q)X(p=Q,表明兩振動步調(diào)完全相同，稱為同相.

△9=兀，表明兩振動步調(diào)完全相反，稱為反相.

(3)Ap>0,表示振動2比振動1超前.

△甲<0,表示振動2比振動1滯后.

【例3】一彈簧振子/的位移y隨時間t變化的關(guān)系式為y=0.1sin2.5n，m,位移y的單位為m,時間t的單

位為s.M()

A.彈簧振子的振幅為0.2m

B.彈簧振子的周期為1.25s

C.在f=0.2s時，振子的運動速度為零

D.若另一彈簧振子8的位移y隨時間f變化的關(guān)系式為y=0.2sin(2.5w+；)m,則振動4滯后若

27r27r

解析由振動方程y=0.1sin2.5mm,可讀出振幅4=0.1m,圓頻率口=2.5兀rad/s,故周期7=-s

=0.8s,故A、B錯誤；在Z=0.2s時，振子的位移最大，故速度最小，為零，C正確；兩振動的相位差A(yù)Q

JIJiT^.

=92—91=2.5加+4一2.5兀/=不即8超前或說/滯后％,選項D正確.

答案CD

借題發(fā)揮應(yīng)用簡諧運動的表達式解決相關(guān)問題，首先應(yīng)明確振幅Z、周期「頻率/的對應(yīng)關(guān)系，其中7

d，/奇，然后把確定的物理量與所要解決的問題相對應(yīng)，找到關(guān)系?

［課時作業(yè)］

題組一振動特征的描述

1.振動周期指的是振動物體（）

A.從任意一個位置出發(fā)又回到這個位置所用的時間

B.從一側(cè)最大位移處，運動到另一側(cè)最大位移處所用的時間

C.從某一位置出發(fā)又沿同一運動方向回到這個位置所用的最短時間

D.經(jīng)歷了四個振幅的時間

2.周期為2s的簡諧運動，在半分鐘內(nèi)通過的路程是60cm,則在此時間內(nèi)振子經(jīng)過平衡位置的次數(shù)和振

子的振幅分別為（）

A.15次，2cm

B.30次，1cm

C.15次，1cm

D.60次，2cm

3.如圖所示，在光滑水平面上振動的彈簧振子的平衡位置為O,把振子拉到/點，O=lcm,然后釋放

振子，經(jīng)過0.2s振子第1次到達。點，如果把振子拉到/'點，OA'=2cm,則釋放振子后，振子第1

次到達O點所需的時間為（）

A.0.2s

B.0.4s

、〃〃〃〃〃〃〃方力方力,〃.,力〃〃為,,

OAAr

C.0.1s

D.0.3s

4.彈簧振子在AB間做簡諧運動，O為平衡位置，AB間距離是20cm,A到B運動時間是2s,如圖2所示，

則（）

A.從O-^B-O振子做了一次全振動

B.振動周期為2s,振幅是10cm軻副典?&Q-Y

C.從8開始經(jīng)過6s,振子通過的路程是60cmBOA

D.從。開始經(jīng)過3s,振子處在平衡位置

5.在心電圖儀、地震儀等儀器工作過程中，要進行振動記錄，如圖甲所示是一種常用的記錄方法，在彈

簧振子的小球上安裝一支記錄用筆P,在下面放一條白紙帶.當(dāng)小球振動時，勻速拉動紙帶（紙帶速度與振

子振動方向垂直），尸就會在紙帶上畫出一條曲線.如圖乙所示為某次記錄的一條曲線，若勻速拉動紙帶的

速度為0.5m/s,則由圖中數(shù)據(jù)可得該彈簧振子的振動周期為s；若將小球的振幅減小為4cm,其

它條件不變，則其振動周期將（選填“變大”、“不變”或“變小”）.

題組二簡諧運動的圖象

6.關(guān)于簡諧運動的圖象，下列說法中正確的是（）

A.表示質(zhì)點振動的軌跡是正弦或余弦曲線

B.由圖象可判斷任一時刻質(zhì)點相對平衡位置的位移大小與方向

C.表示質(zhì)點的位移隨時間變化的規(guī)律

D.由圖象可判斷任一時刻質(zhì)點的速度方向

7.如圖表示某質(zhì)點簡諧運動的圖象，以下說法正確的是（）

A.八、七時刻的速度相同x

B.從八到f2這段時間內(nèi)，速度與位移同向,

c.從到△這段時間內(nèi)，速度變大，位移變小。一7

D.小白時刻的速度相同

8.如圖所示為某質(zhì)點在。?4s內(nèi)的振動圖象，貝IJ（）

A.質(zhì)點在3s末的位移為2m

B.質(zhì)點在4s末的位移為8m

C.質(zhì)點在4s內(nèi)的路程為8m

D.質(zhì)點在4s內(nèi)的路程為零

9.如圖所示是一做簡諧運動的物體的振動圖象，下列說法正確的是（

A.振動周期是2X10—2$

B.第2個102s內(nèi)物體的位移是一]0cm

C.物體的振動頻率為25Hz

D.物體的振幅是10cm

10.一個彈簧振子在4、8間做簡諧運動，O為平衡位置，如圖所示，以

某一時刻作計時起點。為0）,經(jīng);周期，振子具有正方向最大的加速度，

，〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/力力〃〃〃〃〃〃〃〃〃/.

那么在下圖所示的兒個振動圖象中，正確反映振子振動情況（以向右為正方AOB

向）的是（）

11.一彈簧振子沿X軸振動，離開平衡位置的最大距離為4cm,振子的平衡位置位于x軸上的。點，如圖

所示，〃、6、c、4為4個不同的振動狀態(tài)，黑點表示振子的位置，黑點上箭頭表示運動的方向；圖9中給

出的①、②、③、④四條振動圖象，可用于表示振子的振動圖象的是()

A.若規(guī)定狀態(tài)a時f=0,則圖象為①

B.若規(guī)定狀態(tài)6時/=0,則圖象為②

C.若規(guī)定狀態(tài)c時/=0,則圖象為③

D.若規(guī)定狀態(tài)4時f=0,則圖象為④

題組三簡諧運動的表達式

12.某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x=/sin，，則質(zhì)點()

A.第1s末與第3s末的位移相同x

B.第1s末與第3s末的速度相同

C.第3s末與第5s末的位移方向相同oi23；ls

D.第3s末與第5s末的速度方向相同

13.如圖所示，一彈簧振子在M、N間沿光滑水平桿做簡諧運動，坐標原點。為」卜

平衡位置，MN=8cm.從小球經(jīng)過圖中N點時開始計時，到第一次經(jīng)過O點的時^MONM

間為0.2s,則小球的振動周期為s,振動方程為x=<

14.彈簧振子以。點為平衡位置，在8、C兩點間做簡諧運動，在t=0時刻，振子從。、2間的尸點以速

度。向8點運動；在f=0.2s時，振子速度第一次變?yōu)橐?。；?=0.5s時，振子速度第二次變?yōu)橐籵.

(1)求彈簧振子振動周期T;

(2)若8、C之間的距離為25cm,求振子在4.0s內(nèi)通過的路程；

(3)若8、C之間的距離為25cm.從平衡位置計時，寫出彈簧振子的位移表達式，并畫出彈簧振子的振動圖

象.

CPB

O

第3講單擺

［目標定位］1.知道什么是單擺2理解偏角很小時單擺的振動是簡諧運動.3.知道單擺的周期跟什么因素有

關(guān)，了解單擺的周期公式并能用它進行計算4會用單擺測定重力加速度.

［自主預(yù)習(xí)］

一、單擺的運動

1.單擺：把一根細線上端固定，下端拴一個小球，線的質(zhì)量和球的大小可以,這種裝置叫做單

擺.單擺是一種—模型.

2.單擺的回復(fù)力：在擺角很小的情況下，單擺所受回復(fù)力的大小與擺球位移的大小成—，方向與擺球

位移的方向___-因此，在擺角很小的條件下，單擺的振動可近似看成一運動.

想一想單擺的回復(fù)力是否就是單擺所受的合外力？

答

二、單擺的周期

1.單擺周期公式：T=

即單擺的振動周期7與擺長I的算術(shù)平方根成―，與重力加速度g的算術(shù)平方根成

單擺周期公式是荷蘭物理學(xué)家首先提出的.

2.單擺的振動周期由單擺振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)(和當(dāng)?shù)氐?決定，與擺球的及單擺的

無關(guān).

三、利用單擺測定重力加速度

原理：由單擺的振動周期公式可得g=精確地測出單擺的—和振動一，就可以計算出當(dāng)?shù)氐闹?/p>

力

［重難點解析］

一、單擺及單擺的回復(fù)力

1.單擺

(1)單擺是實際擺的理想化模型

(2)實際擺看作單擺的條件

①擺線的形變量與擺線長度相比小得多

②懸線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比小得多

③擺球的直徑與擺線長度相比小得多

2.單擺的回復(fù)力

(1)單擺的回復(fù)力是由重力沿圓弧切向的分力F=mgsin。提供的.

(2)如圖所示，在最大偏角很小的條件下，sin6^,其中x為擺球?qū)ζ胶馕恢?。點的位移.

單擺的回復(fù)力F=-mgsing譚x,令k=詈,則尸=一去.由此可見，單擺在偏角很小的條件下的振動

為簡諧運動.

注意：(1)單擺經(jīng)過平衡位置時，回復(fù)力為零，但合外力不為零.

(2)單擺的回復(fù)力為小球受到的重力沿切線方向的分力，而不是小球受到的合外力.

【例11對于單擺的振動，以下說法中正確的是()

A.單擺振動時，擺球受到的向心力大小處處相等

B.單擺運動的回復(fù)力就是擺球受到的合力

C.擺球經(jīng)過平衡位置時所受回復(fù)力為零

D.擺球經(jīng)過平衡位置時所受合外力為零

解析單擺振動過程中受到重力和細線拉力的作用，把重力沿切向和徑向分解，其切向分力提供回復(fù)力，

2

細線拉力與重力的徑向分力的合力提供向心力，向心力大小為華一,可見最大偏角處向心力為零，平衡位

置處向心力最大，而回復(fù)力在最大偏角處最大，平衡位置處為零.故應(yīng)選C.

答案C

借題發(fā)揮單擺振動的回復(fù)力是重力在切線方向的分力，或者說是擺球所受合外力在切線方向的分力.擺

球所受的合外力在擺線方向的分力作為擺球做圓周運動的向心力，所以并不是合外力完全用來提供回復(fù)

力.因此擺球經(jīng)過平衡位置時，只是回復(fù)力為零，而不是合外力為零(此時合外力提供擺球做圓周運動的向

心力).

二、單擺的周期

1.伽利略發(fā)現(xiàn)了單擺運動的等時性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發(fā)明了擺鐘.

2.單擺的周期公式：

3.對周期公式的理解

(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立(8W5。).

(2)公式中/是擺長，即懸點到擺球球心的距離/=/我+r琮

(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定.

(4)周期7只與/和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量〃，及振幅無關(guān).所以單擺的周期也叫固有周期.

【例2】若單擺的擺長不變，擺球的質(zhì)量由20g增加為40g,擺球離開平衡位置的最大角度由4。減為2。，

則單擺振動的()

A.頻率不變，振幅不變B.頻率不變，振幅改變

C.頻率改變，振幅不變D.頻率改變，振幅改變

解析單擺的擺長不變時，單擺振動的周期不變，頻率不變；擺長不變時，擺角越小，振

幅越小，選項B正確.

答案B

三、用單擺測定重力加速度

1.實驗原理

單擺在偏角很小(W5。)時的運動，可看成簡諧運動，其固有周期7=2、%可得g=^.據(jù)此，通過實驗

測出擺長/和周期T,即可計算得到當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎?

2.實驗器材

鐵架臺及鐵夾、金屬小球(上面有一個通過球心的小孔)、秒表、細線(長1m左右)、刻度尺(最小刻度為1mm)、

游標卡尺.

3.實驗步驟

(1)用游標卡尺測小球的直徑乩在不同的位置測三次，取平均值.

(2)讓細線穿過球上的小孔，在細線的一端打一個比孔稍大一些的線結(jié)，制成一個單擺.

(3)把單擺上端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂.

(4)用刻度尺測量單擺的擺線的長度〃擺球靜止時從懸點到球的上端面間的距離)則擺長l=L+^.

(5)把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角小于等于5。，再釋放小球.當(dāng)擺球擺動穩(wěn)定以后，過最

低點位置時，用秒表開始計時，測量單擺全振動30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺

的振動周期.

(6)改變擺長，反復(fù)測量幾次，將數(shù)據(jù)填入表格.

4.數(shù)據(jù)處理

(1)公式法：每改變一次擺長，將相應(yīng)的/和7,代入公式g=爺中求出g值，最后求出g的平均值.

得爐=手/作出爐/圖象，即以P為縱軸，以/為橫軸.如圖

(2)圖象法：由7=2;

Ybo

所示.其斜率左=半，由圖象的斜率即可求出重力加速度g.

O

注意：(1)選擇材料時應(yīng)選擇細而不易伸長的線，長度一般為1m左右.小球應(yīng)選用質(zhì)量大、體積小的金屬

球.

(2)擺動時控制擺線偏離豎直方向的角度應(yīng)很小(8W5。).

(3)擺球擺動時，要使之保持在同一個豎直平面內(nèi)，不要形成圓錐擺.

(4)計算單擺的振動次數(shù)時，應(yīng)以擺球通過最低點位置時開始計時，以擺球從同一方向通過最低點時計數(shù),

要多測幾次(如30次或50次)全振動的時間，并用取平均值的辦法求周期.

【例3】甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組分別利用單擺測量重力加速度.

(1)甲組同學(xué)采用如圖甲所示的實驗裝置.

y/(cm-s-,)

0.51.01.52.02.53.0t/s

甲乙

①為比較準確地測量出當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊臄?shù)值，除秒表外，在下列器材中，還應(yīng)該選用;（用器材

前的字母表示）

a.長度接近1m的細繩

b.長度為30cm左右的細繩

c.直徑為1.8cm的塑料球

d.直徑為1.8cm的鐵球

e.最小刻度為1cm的米尺

f.最小刻度為1mm的米尺

②該組同學(xué)先測出懸點到小球球心的距離L,然后用秒表測出單擺完成n次全振動所用的時間人請寫出重

力加速度的表達式g=.（用所測物理量表示）

③在測量擺長后，測量周期時，擺球振動過程中懸點。處擺線的固定出現(xiàn)松動，擺長略微變長，這將會導(dǎo)

致所測重力加速度的數(shù)值.（選填“偏大”、“偏小”或“不變”）

（2）乙組同學(xué)在圖甲所示裝置的基礎(chǔ)上再增加一個速度傳感器，如圖乙所示.將擺球拉開一小角度使其做簡

諧運動，速度傳感器記錄了擺球振動過程中速度隨時間變化的關(guān)系，如圖丙所示的“圖線.

①由圖丙可知，該單擺的周期7=s；

②更換擺線長度后，多次測量，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，利用計算機作出/乙（周期平方擺長）圖線，并根據(jù)圖線擬合

得到方程公=4.04乙由此可以得出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=m/s2.（取兀2=》86,結(jié)果保留3位有效數(shù)

字）

174JE2￡

解析（1）①根據(jù)7=221得8=%，知需要測量擺長，即擺線長和小球的直徑，擺線應(yīng)選1m左右的

不可伸長的線，小球應(yīng)選用質(zhì)量大、體積小的金屬球，測量擺線長的米尺的最小刻度應(yīng)為1mm,故選adf.

②因為r=-,則g=乃=―3—

③擺長略微變長，則擺長的測量值偏小，則導(dǎo)致測得的重力加速度偏小.

（2）①由“圖線可知，單擺的周期r=2.0s

'Le4爐

②由7=2;7-得公

OO

4兀2

即圖線的斜率左=—=4,04

g

解得g29.76m/s2

答案（1）①adf②4%1③偏小

(2)?2.0②9.76

［課時作業(yè)］

題組一單擺及其回復(fù)力

1.單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是（）

A.擺線質(zhì)量不計

B.擺線長度不可伸縮

C.擺球的直徑比擺線長度短得多

D.只要是單擺的運動就是一種簡諧運動

2.關(guān)于單擺，下列說法中正確的是（）

A.擺球運動的回復(fù)力是它受到的合力

B.擺球在運動過程中經(jīng)過軌跡上的同一點，加速度是不變的

C.擺球在運動過程中加速度的方向始終指向平衡位置

D.擺球經(jīng)過平衡位置時，加速度為零

3.關(guān)于單擺的運動有下列說法，正確的是（）

①單擺的回復(fù)力是擺線的拉力與重力的合力

②單擺的回復(fù)力是重力沿擺球運動軌跡切向的分力

③單擺的周期與擺球質(zhì)量無關(guān)，與振幅無關(guān)，與擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)

④單擺做簡諧運動的條件是擺角很小，如小于5。

⑤在山腳下走時準確的擺鐘移到高山上走時將變快

A.①③④B.②③④C.③④⑤D.①④⑤

題組二單擺的周期公式

4.發(fā)生下列哪一種情況時，單擺周期會增大（）

A.增大擺球質(zhì)量B.縮短擺長

C.減小單擺振幅D.將單擺由山下移至山頂

5.甲、乙兩個單擺的擺長相等，將兩單擺的擺球由平衡位置拉起，使擺角8甲＜6乙＜5。，由靜止開始同時釋

放，貝義）

A.甲先擺到平衡位置

B.乙先擺到平衡位置

C.甲、乙兩擺同時到達平衡位置

D.無法判斷

6.已知在單擺“完成10次全振動的時間內(nèi)，單擺b完成6次全振動，兩單擺擺長之差為1.6m,則兩單

擺擺長心與及分別為（）

A.La=2.5m,Lb=0.9m

B.La=0.9m,4=2.5m

C.￡“=2.4m,￡/)=4.0m

D.￡.=4.0m,￡%=2.4m

7.如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖象，下列說法中正確的是()'W"

A.甲、乙兩單擺的擺長相等］代

B.甲單擺的振幅比乙的大°Z/S

C.甲單擺的機械能比乙的大

D.在r=0.5s時有正向最大加速度的是乙單擺

8.圖甲是一個單擺振動的情形，。是它的平衡位置，8、C是擺球所能到達的最遠位置，設(shè)擺球向右運動

為正方向，圖乙是這個單擺的振動圖象，根據(jù)圖象回答：

(1)單擺振動的頻率是多大？

(2)開始時刻擺球在何位置？

(3)若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2,試求這個擺的擺長是多少？“cm

A4--------

(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)小/\

任20.4V).60.8/1.0f/s

oc

甲

題組三用單擺測定重力加速度

9.在用單擺測定重力加速度時，某同學(xué)用同一套實驗裝置，用同樣的步驟進行實驗，但所測得的重力加

速度總是偏大，其原因可能是()

A.測定周期時，振動次數(shù)少數(shù)了一次

B.測定周期時，振動次數(shù)多數(shù)了一次

C.擺球的質(zhì)量過大

D.計算擺長時，只考慮懸線的長度，沒有加上小球的半徑

10.某同學(xué)利用單擺測定當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋l(fā)現(xiàn)單擺靜止時擺球重心在球心的正下方，，，

他仍將從懸點到球心的距離當(dāng)作擺長/,通過改變擺線的長度，測得6組/和對應(yīng)的周/廠一一，

期T,畫出/門圖線，然后在圖線上選取力、8兩個點，坐標如圖所示.他采用恰當(dāng)?shù)?/p>

數(shù)據(jù)處理方法，則計算重力加速度的表達式應(yīng)為g=.請你判斷該同學(xué)得到的乙-/：

實驗結(jié)果與擺球重心就在球心處的情況相比，將.(填“偏大”“偏小”或。叮療7%

“相同”)

11.根據(jù)單擺周期公式可以通過實驗測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣?如圖甲所示，將細線的上端固

定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺.

(1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，讀數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為mm.

(2)以下是實驗過程中的一些做法，其中正確的有.

a.擺線要選擇細些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些

b.擺球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的

c.為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度

d.拉開擺球，使擺線偏離平衡位置大于5。，在釋放擺球的同時開始計時，當(dāng)擺球回到開始位置時停止計

時，此時間間隔M即為單擺周期T

e.拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5。，釋放擺球，當(dāng)擺球振動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計時，記

下擺球做50次全振動所用的時間加，則單擺周期T4

12.在探究單擺的振動周期7和擺長乙的關(guān)系實驗中，某同學(xué)在細線的一端扎上一個勻質(zhì)圓柱體制成一個

單擺.

(1)如左圖所示，該同學(xué)把單擺掛在力傳感器的掛購上，使小球偏離平衡位置一小段距離后釋放，電腦中記

錄拉力隨時間變化的圖象如右圖所示.在圖中讀出N個峰值之間的時間間隔為f,則重物的周期為.

(2)該同學(xué)改變擺長，多次測量，完成操作后得到了如表中所列實驗數(shù)據(jù).請在圖坐標系中畫出相應(yīng)圖線.

擺長￡/cm總時間t/s全振動次數(shù)〃周期77s

99.4060.0302.00

63.6148.0301.60

48.7042.0301.40

24.8530.0301.00

15.9024.0300.80

8.9518.0300.60

3.9812.0300.40

77s

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