13空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（七大題型）（講義）

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 5題型一：空間向量的坐標(biāo)表示 5題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 7題型三：空間向量的共線與共面 10題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示 12題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示 15題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示 17題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示 20

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系1、空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).知識點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.2、空間直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是.知識點(diǎn)三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）空間兩點(diǎn)的距離公式若，則①即:一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。②，或.知識點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算若，則即：空間兩個向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計算公式若，則(1).(2).知識點(diǎn)詮釋：①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：，其中的范圍是②.③用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。（6）空間向量平行和垂直的條件若，則①②規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直作用：證明線線平行、線線垂直.【典型例題】題型一：空間向量的坐標(biāo)表示【典例11】（2024·高二·江蘇南京·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.【典例12】（2024·高二·廣東揭陽·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，，設(shè)，故，故，解得，故.故選：B【方法技巧與總結(jié)】解決這類給定直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的空間坐標(biāo)時，關(guān)鍵是確定這些點(diǎn)在坐標(biāo)軸的三個不同方向上的分解向量的模．同一幾何圖形中，由于空間直角坐標(biāo)系建立的不同，從而各點(diǎn)的坐標(biāo)在不同的坐標(biāo)系中也不一定相同，但其實質(zhì)是一樣的．建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形的特征，盡量先找到三條互相垂直且交于一點(diǎn)的線段，如若找不到，就要想辦法構(gòu)造．【變式11】（2024·高二·湖北武漢·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，而點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，.故選：A【變式12】（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為 B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為【答案】C【解析】由圖可得，則點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，故A正確；由于，所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，故B正確；點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C不正確；由于點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，故D正確.故選：C.【變式13】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，解得：，，．所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：D【變式14】（2024·高二·廣東·期末）如圖，正方體的棱長為2，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，所以，所以.故選：D題型二：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算【典例21】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在三棱錐中，，平面，，分別是的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則向量的坐標(biāo)為．

【答案】【解析】如圖可知，，則，又分別是的中點(diǎn)，則是的中位線，故，且，于是.故答案為：【典例22】（2024·高二·新疆昌吉·期中）已知空間向量，則.【答案】【解析】因為，所以．故答案為：【方法技巧與總結(jié)】空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和?！咀兪?1】（2024·高二·海南·期中）如圖，在長方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，滿足，若，則．【答案】/.【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因為，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，又因為，所以，所以，又因為，，所以，所以，解得，所以，故答案為：【變式22】（2024·高二·廣東茂名·期中）已知，，點(diǎn)P在線段AB上，且，則向量的坐標(biāo)為.【答案】【解析】因為點(diǎn)P在線段AB上，且，所以，所以，得，因為，，所以，所以，故答案為：題型三：空間向量的共線與共面【典例31】（2024·高二·江西南昌·期中）的三個頂點(diǎn)分別是，，，則邊上的高長為．【答案】5【解析】分析：設(shè)，則的坐標(biāo)，利用，求得，即可得到，即可求解的長度.詳設(shè)，則，所以，因為，所以，解得，所以，所以.【典例32】（2024·高三·上海寶山·期末）已知空間向量.若四點(diǎn)共面，則.【答案】【解析】因為四點(diǎn)共面，所以共面，所以存在唯一實數(shù)對，使得，即，所以，所以，所以.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，可利用向量的共線定理，通過列方程組求解.要證三向量共面，即證存在，使得.（2）在空間直角坐標(biāo)系下，兩向量的共線，三向量的共面問題，均可靈活應(yīng)用共線，共面的基本定理，利用向量坐標(biāo)通過方程求解?！咀兪?1】（2024·高二·福建漳州·階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，共線，則．【答案】【解析】由已知得：.因為三點(diǎn)共線,所以.所以，解得：.所以.故答案為:.【變式32】（2024·高二·黑龍江·開學(xué)考試）已知空間向量，若共面，則.【答案】0【解析】因為共面，所以，即，則.故答案為：0.【變式33】（2024·高二·廣東深圳·階段練習(xí)）已知向量，，若三向量共面，則實數(shù).【答案】4【解析】由空間向量共面定理不妨設(shè)，.故答案為：4.【變式34】（2024·高二·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知空間四點(diǎn)，，，共面，則【答案】6【解析】依題意，，由空間四點(diǎn)，得共面，則存在，使得，因此，解得，所以.故答案為：6題型四：空間向量模長坐標(biāo)表示【典例41】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）若，，則的取值范圍是（

）A．0,2 B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得,則,,所以，所以.故選:A.【典例42】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，且，，∴，，又，∴，即．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：B【方法技巧與總結(jié)】若，則.【變式41】（2024·高二·北京·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，其中，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．4【答案】D【解析】因為，，則，且，其中點(diǎn)可以看作球心在原點(diǎn)，半徑為的球上的點(diǎn)所以表示球上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，最大值為球心到點(diǎn)的距離再加球的半徑，即.故選：D【變式42】（2024·高二·貴州·期中）已知空間三點(diǎn)、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，則，，，即，所以以、為鄰邊的平行四邊形的面積為．故選：D.【變式43】（2024·高二·浙江杭州·期中）如圖，在邊長為3的正方體中，，點(diǎn)在底面正方形上移動（包含邊界），且滿足，則線段的長度的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，即，所以，而，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時，，則.故選：B【變式44】（2024·高二·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，分別為直線上的動點(diǎn)，則線段的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】三棱錐中，過作平面，由，知，以為原點(diǎn)，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由平面，得，則，令，則，設(shè)，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以線段的最小值為.故選：B題型五：空間向量平行坐標(biāo)表示【典例51】（2024·高一·天津紅橋·期末）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】向量，且，所以，解得，故選：B.【典例52】（2024·高二·湖北孝感·期末）已知空間向量，若，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，由，設(shè)，即解得：，則有，由此得．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】若，則【變式51】（2024·高二·河北邢臺·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，若，則x的值為（

）A．4 B． C．4或 D．5【答案】A【解析】由題設(shè)，且，則，可得.故選：A【變式52】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）已知向量，且，則x的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)可得存在實數(shù)滿足，即，即可得，解得.故選：D【變式53】（2024·高二·江蘇連云港·期中）已知，，且，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由，得，解得，所以，故選：A.【變式54】（2024·高二·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知向量，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，且，所以存在實數(shù)m，使得，即，所以，解得.故選：B題型六：空間向量垂直坐標(biāo)表示【典例61】（2024·高二·河北滄州·期末）已知，，若與垂直，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】，∴，解得，故選：A．【典例62】（2024·高二·安徽阜陽·階段練習(xí)）已知，，若，則實數(shù)λ的值為（

）A． B．C． D．2【答案】D【解析】由已知可得，.又，所以，即，解得.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】若，則【變式61】（2024·高二·江蘇常州·期中）已知，，且，則的值為（）A．6 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】因為，所以，解得，故選：C.【變式62】（2024·高二·福建福州·期中）已知長方體中，，若棱上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，,則，，，所以，，因為，所以，所以，即，當(dāng)時，，所以的取值范圍是，故選：C.【變式63】（2024·高二·吉林長春·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的最小值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時，則.故選：C.題型七：空間向量夾角坐標(biāo)表示【典例71】（2024·高二·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，則無解，故B錯誤；對于C，，，所以，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.【典例72】（2024·高二·河南開封·期中）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】向量在向量上的投影向量.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】若，則(1).(2).【變式71】（2024·高二·山東德州·階段練習(xí)）已知空間向量，且，則與的夾角的余