42一元二次不等式及其解法（5知識點5題型鞏固訓練）（原卷版）

4.2一元二次不等式及其解法課程標準學習目標1.正確理解一元二次方程、二次函數(shù)與一元二次不等式的關系，掌握一二次不等式的解法;2.通過看圖象找解集，培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力和從“特殊到一般”的歸納能力;1.一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念.2.一元二次方程、一元二次函數(shù)與一元二次不等式的內(nèi)在聯(lián)系:3.運用函數(shù)、方程以及一元二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式的解集4.理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關系知識點01一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)【即學即練1】（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）下列不等式是一元二次不等式的是（

）A．x2>0 BC．mx2-【即學即練2】（2425高一上·全國·課堂例題）下列不等式是否是一元二次不等式？(1)-4(2)ax(3)x2(4)2x知識點02一元二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．【即學即練3】（2324高一上·江蘇南京·階段練習）設m為實數(shù)，若二次函數(shù)y=x2-x+m【即學即練4】（2324高一·上海·課堂例題）已知關于x的一元二次方程2x2+知識點03二次函數(shù)與與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【即學即練5】（2021高一·上?！ｎ}練習）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則y>0的解集為（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}【即學即練6】（2425高一上·全國·課前預習）作出二次函數(shù)y=x2-12x+20的圖象，其圖象與x知識點04一元二次不等式的解法1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．2.求出相應的一元二次方程的根．3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集．方程的根→函數(shù)草圖→觀察得解，對于的情況可以化為的情況解決注：對于二次型一元二次不等式應首先考慮二次項系數(shù)的情況，當二次項系數(shù)為0時，按照一次不等式來解決，對于二次項系數(shù)為負數(shù)的情況一般將二次項系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。注：對于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進行分類討論，同時注意判別式韋達定理的應用。注意：三個“二次”之間的關系1.三個“二次”間的關系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關系如下：注意：由于忽視二次項系數(shù)的符號和不等號的開口易寫錯不等式的解集形式．【即學即練7】（2017高二·安徽·學業(yè)考試）不等式(x-1)(A．{x|x<-2或x>1} B．{x|-2<x【即學即練8】（多選）（2425高一上·浙江溫州·開學考試）已知函數(shù)y=axA．關于x的不等式ax2B．關于x的不等式ax2C．函數(shù)y=axD．“關于x的方程ax2+bx-3=0知識點05含參一元二次不等式的步驟【即學即練9】（2324高一下·全國·課堂例題）若(2m-1)x2+x-【即學即練10】（2425高一上·全國·隨堂練習）若0<m<1，則不等式x-mx難點：分類討論思想的運用示例1：（2324高一上·江蘇徐州·階段練習）解關于x的不等式：ax【題型1：一元二次不等式的概念及辨析】例1．（多選）（2526高一上·全國·課后作業(yè)）下列是一元二次不等式的是（

）A．x2+2C．x2+3變式1．（多選）（2021高一上·全國·課后作業(yè)）下面所給關于x的不等式，其中一定為一元二次不等式的是（

）A．3x+4<0 B．x2+mx1>0C．a(chǎn)x2+4x7>0 D．x2<0變式2．（2023高一·全國·專題練習）給出下列不等式(a,b,c∈R)：①2x+3y>0；②ax2>2；③x3-3x+4≤0；變式3．（2021高一·全國·課后作業(yè)）寫出一個解集為-2,3的一元二次不等式：變式4．（2425高一上·全國·課前預習）觀察下面幾個式子或不等式，它們有什么區(qū)別？①y=x2-2x；②2x變式5．（2122高一上·全國·課后作業(yè)）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m為常數(shù)）(1)x(2)-(3)a(4)x(5)m(6)a【題型2：不含參一元二次不等式】例2．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）“-2<x<4”是“x2A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2324高一上·浙江臺州·開學考試）使不等式2x+1xA．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈-變式2．（2024高二下·云南·學業(yè)考試）不等式xx-6A．{x∣x<0} B．{x∣x>6}變式3．（2024高三·全國·專題練習）在R上定義運算“⊙”：a⊙b=ab+2a+A．(0,2) B．(-2,1) C．(-∞,-2)∪(1,+∞) D．(-1,2)變式4．（2024高一上·浙江寧波·專題練習）已知-x2-2x變式5．（2425高一上·全國·課后作業(yè)）不等式x2-4x變式6．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）不等式3x2+5x變式7．（2324高一下·全國·課堂例題）解下列不等式：(1)x-(2)xx(3)1-x(4)x【方法技巧與總結】解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；③由圖象得出不等式的解集．【題型3：含參一元二次不等式】例3．（2324高二下·福建福州·期末）設a為實數(shù)，則關于x的不等式ax-1xA．-∞,-2 B．C．1a,-2 D變式1．（多選）（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知實數(shù)a∈R，則不等式x+aA．x-a<C．{x|x>1a或變式2．（2324高一下·全國·課堂例題）解關于x的不等式：x2+ax變式3．（2324高一下·全國·課后作業(yè)）已知p:x-1<1，q:x變式4．（1516高一下·天津·期中）解關于變量x的不等式：ax變式5．（2024高一·全國·專題練習）求不等式12x變式6．（2324高一·上?！ふn堂例題）設a∈R，解下列關于x(1)x-(2)x-(3)xx變式7．（2425高一·上海·課堂例題）已知關于x的不等式2x2+(1)若M=-7,3(2)若M中的一個元素是0，求實數(shù)a的取值范圍．【方法技巧與總結】含參一元二次不等式的解法有以下幾種：1、當△=b24ac≥0時，二次三項式,ax2+bx+c=0有兩個實根，那么ax2+bx+c=0，總可分解為a(xx1)(xx2)的形式。這樣，解—元二次不等式就可歸結為解兩個一元一次不等式組。一元二次不等式的解集，就是這兩個—元一次不等式組的解集的交集。2、用配方法解—元二次不等式。3、通過一元二次函數(shù)圖象進行求解，二次函數(shù)圖象與X軸的兩個交點，然后根據(jù)題目所需求的"<0"或">0"而推出答案?！绢}型4：由一元二次不等式的解確定參數(shù)】例4．（多選）（2324高一上·山西朔州·階段練習）已知不等式ax2+2x+A．a(chǎn)=-12 B．C．c=2 D．變式1．（2526高一上·上海·單元測試）若不等式ax2+bx+1>0的解集是-12A．a(chǎn)=2，b=-1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)=-2，b=-1 D．a(chǎn)變式2.（2122高一上·廣東湛江·階段練習）若不等式x2+px+q<0的解集為A．-3,2 B．-2,3 C．-1變式3．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{A．x-1≤xC．(-∞,-34]∪[1,+∞)變式4．（2425高一上·河北石家莊·開學考試）已知不等式x2+bx+c<0的解集為{x|-2<x變式5．（2324高二下·陜西寶雞·期末）若關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(1,2)變式6．（2425高一上·江蘇淮安·開學考試）已知不等式ax2+bx+(1)用字母a表示出b，c；(2)求不等式bx變式7．（2425高一上·全國·課堂例題）已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為【題型5：一元二次方程根的分布】例5．（2425高一上·全國·課堂例題）已知二次函數(shù)y=k-3x2+2x+1的A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D變式1．（2425高一上·河南南陽·開學考試）“一元二次方程x-ax-a-變式2．（2324高一上·重慶·期末）關于x的一元二次方程x2+a2-1x+a變式3．（2425高一上·全國·課堂例題）已知函數(shù)y=k-3x2+2x變式4．（2324高一·上?！ふn堂例題）已知一元二次方程2x2-變式5．（2425高一上·上海·課堂例題）已知方程x2(1)若關于m的方程總有實數(shù)解，求x的取值范圍；(2)求證：無論m取何實數(shù)，關于x的方程x2變式6．（2425高一上·上海·假期作業(yè)）已知關于x的方程k-1x2變式7．（2324高一下·遼寧·期末）已知函數(shù)y(1)解關于x的不等式y(tǒng)<0(2)若方程2x2-a+2x一、單選題一、單選題1．（2023高二·安徽·學業(yè)考試）不等式x-35-A．x3<x<5 B．C．x-5<x<-3 D2．（2324高二下·山東威?！て谀┤簟皒2-x-12>0”是“x<A．-4 B．-3 C．3 D3．（2324高一下·廣西南寧·期末）“a>3”是“a2-3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2324高一上·吉林延邊·階段練習）已知不等式ax2+bx+cA．a(chǎn)B．2C．a(chǎn)D．cx2-5．（2324高一上·吉林延邊·階段練習）不等式9-12x≤-4xA．R B．? C．x|x=6．（2324高一上·云南昭通·期末）不等式ax2+bx-3<0的解集是A．-3 B．3 C．-5 D7．（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習）若0<a<1，則不等式(xA．{x|aC．{x|18．（2324高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式ax2-bx+cA．-∞，-1C．-∞，12二、多選題9．（2324高一上·湖北十堰·期末）已知關于x的不等式.ax2+bx+c>0的解集為A．a(chǎn)B．不等式bx+cC．a(chǎn)D．不等式bx+a<0的解集為10．（2324高一上·廣東茂名·期中）下面命題正確的是（

）A．“a>1”是“1aB．命題“?x∈R，使x2+C．不等式2x>1D．設a∈R+，則11．（2324高一下·廣東潮州·開學考試）對于給定的實數(shù)a，關于實數(shù)x的一元二次不等式(?x-aA．(-∞?,2?)∪(?a?,+∞?)C．a(chǎn),2 D．三、填空題12．（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知關于x的一元二次方程x2-6x+4m+1=0的兩個實數(shù)根為x13．（2324高一上·山東濰坊·階段練習）若集合A=x|x+2x-3≤0，B=x∣3-m≤x14．（2324高一下·北京石景山·期中）不等式x2-2x四、解答題15．（2324高一上·貴州·階段練習）已知命題p：x2-3x(1)若m=2，那么p是q(2)若?p是?q的充分條件，求實數(shù)16．（2425高一上·云南·階段練習