高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教師用書第六章不等式推理與證明

第六章不等式、推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a－b＞0?aeq\a\vs4\al(＞)b.(2)a－b＝0?aeq\a\vs4\al(＝)b.(3)a－b＜0?aeq\a\vs4\al(＜)b.2．不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(3)可加性：a>b?a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋c；a>b，c>d?a＋ceq\a\vs4\al(>)b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0?aceq\a\vs4\al(>)bc；a>b>0，c>d>0?aceq\a\vs4\al(>)bd；(5)可乘方性：a>b>0?aneq\a\vs4\al(>)bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方性：a>b>0?eq\r(n,a)eq\a\vs4\al(>)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式 Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)數(shù)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xx≠－\f(b,2a)))R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}?eq\a\vs4\al(?)在不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a<0，則可根據(jù)不等式的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再對照上表求解．1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種．()(2)若eq\f(a,b)>1，則a>b.()(3)一個(gè)不等式的兩邊同時(shí)加上或乘同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變．()(4)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越?。?)(5)同向不等式具有可加性和可乘性．()(6)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，則必有a>0.()(7)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√(7)×2．函數(shù)f(x)＝eq\r(3x－x2)的定義域?yàn)?)A．[0,3] B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：選A要使函數(shù)f(x)＝eq\r(3x－x2)有意義，則3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.3．若a<b<0，則下列不等式不能成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．|a|>|b| D．a(chǎn)2>b2解析：選A取a＝－2，b＝－1，則eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)不成立．4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0,4) B．[0,4)C．(0,4] D．[0,4]解析：選D當(dāng)a＝0時(shí)，滿足條件；當(dāng)a≠0時(shí)，由題意知a>0且Δ＝a2－4a≤0，得0<a≤4，所以0≤a≤5．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，則a＋b的值是________．解析：由題意知－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的兩根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,3)＝－\f(b,a)，,－\f(1,2)×\f(1,3)＝\f(2,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2.))所以a＋b＝－14.答案：－146．若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用)eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)[考什么·怎么考]不等式的性質(zhì)及應(yīng)用是不等式的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，一般涉及函數(shù)、數(shù)列等知識(shí).多以選擇題形式考查，難度較小.考法(一)比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小1．若a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(ln3,3)，則a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知a，b都是正數(shù)，eq\f(b,a)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝log89＞1，所以b＞a.答案：＜2．已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞0，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S3,a3)與eq\f(S5,a5)的大小關(guān)系為________．解析：當(dāng)q＝1時(shí)，eq\f(S3,a3)＝3，eq\f(S5,a5)＝5，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，eq\f(S3,a3)－eq\f(S5,a5)＝eq\f(a11－q3,a1q21－q)－eq\f(a11－q5,a1q41－q)＝eq\f(q21－q3－1－q5,q41－q)＝eq\f(－q－1,q4)＜0，所以eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).綜上可知eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5).答案：eq\f(S3,a3)＜eq\f(S5,a5)[題型技法]比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法考法(二)不等式的性質(zhì)3．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)解析：選B法一：因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以eq\f(1,－d)＞eq\f(1,－c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,－d)＞eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).故選B.法二：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c＜d＜0?cd＞0,c＜d＜0))?eq\f(c,cd)＜eq\f(d,cd)＜0?eq\a\vs4\al(\f(1,d)＜\f(1,c)＜0?,)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－1,d)＞\f(－1,c)＞0,a＞b＞0))?eq\f(－a,d)＞eq\f(－b,c)?eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，則eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，排除選項(xiàng)C、D；又∵－eq\f(3,2)＜－eq\f(2,3)，排除A，故選B.4．設(shè)a，b∈R，則“(a－b)·a2<0”是“a<bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A(a－b)·a2＜0，則必有a－b＜0，即a＜b；而a＜b時(shí)，不能推出(a－b)·a2＜0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”5．下列命題中，正確的是()A．若a>b，c>d，則ac>bdB．若ac>bc，則a>bC．若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，則a<bD．若a>b，c>d，則a－c>b－d解析：選C取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯(cuò)誤；當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc?a<b，故B錯(cuò)誤；∵eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，故C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯(cuò)誤．6．已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．解析：∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.答案：(－4,2)(1,18)[題型技法]不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略不等式成立問題熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件與充分、必要條件相結(jié)合問題用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用與命題真假判斷相結(jié)合問題解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范圍可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得F(x，y)的取值范圍eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二一元二次不等式的解法)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)一元二次不等式及分式不等式的解法，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，常與集合的交、并、補(bǔ)結(jié)合，難度不大.含參數(shù)的一元二次不等式的解法是難點(diǎn)，應(yīng)注意對參數(shù)的討論.[典題領(lǐng)悟]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4；(3)eq\f(2x＋1,x－5)≥－1；(4)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解：(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－2≤x＜－1或2＜x≤3)).(3)將原不等式移項(xiàng)通分得eq\f(3x－4,x－5)≥0，等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4x－5≥0，,x－5≠0，))解得x＞5或x≤eq\f(4,3).所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x>5)))).(4)原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)＜0，因?yàn)閍＞0，所以aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.所以當(dāng)a＞1，即eq\f(1,a)<1時(shí)，解為eq\f(1,a)＜x＜1；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)0＜a＜1，即eq\f(1,a)>1時(shí)，解為1＜x＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).[解題師說]1．解一元二次不等式的4個(gè)步驟一化把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式二判計(jì)算對應(yīng)方程的判別式三求求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實(shí)根四寫利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集2．分式不等式的解法求解分式不等式的關(guān)鍵是對原不等式進(jìn)行恒等變形，轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)求解．(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0，gx≠0.))3．解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．[沖關(guān)演練]1．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，))則不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：選A由題意知f(1)＝3，故原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，x＋6>3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，x2－4x＋6>3，))解得－3<x<1或x>3，所以原不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)，故選A.2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，則不等式x2－bx－a＜0的解集是()A．(2,3)B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：選A由題意知－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的兩根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，b＝5，))不等式x2－bx－a＜0即為x2－5x＋6＜0，解集為(2,3)．3．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化為12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，＋∞)).eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三一元二次不等式恒成立問題)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.對于一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.常見的命題角度有：1形如fx≥0fx≤0x∈R確定參數(shù)的范圍；2形如fx≥0x∈[a，b]確定參數(shù)范圍；3形如fx≥0參數(shù)m∈[a，b]確定x的范圍.[題點(diǎn)全練]角度(一)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍1．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[－2,2]C．(－2,2] D．(－∞，－2)解析：選C當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式為－4<0，對一切x∈R恒成立．當(dāng)a≠2時(shí)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，Δ＝4a－22＋16a－2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，a2<4，))解得－2<a<2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,2]．[題型技法]一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0角度(二)形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數(shù)范圍2．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實(shí)數(shù)x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，即eq\f(a,2)＝1，解得a＝2.又因?yàn)閒(x)的圖象開口向下，所以當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)為增函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，若當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＞0恒成立，則b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[題型技法]一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.角度(三)形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍3．對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故當(dāng)x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)時(shí)，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零．[題型技法]一元二次不等式在參數(shù)某區(qū)間上恒成立確定變量x范圍的方法解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．[沖關(guān)演練]1．若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]解析：選D當(dāng)k＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k≠0時(shí)，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.綜上，滿足不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(－3,0]．2．若不等式x2＋mx－1<0對于任意x∈[m，m＋1]都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：由題意，得函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又拋物線f(x)＝x2＋mx－1開口向上，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m2－1<0，,2m2＋3m<0，))解得－eq\f(\r(2),2)<m<0.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定解析：選BM－N＝a1a2－(a1＋a2＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.2．若角α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<π，則α－β的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(3π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))解析：選B∵－eq\f(π,2)<α<π，－eq\f(π,2)<β<π，∴－π<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<α－β<eq\f(3π,2).又∵α<β，∴α－β<0，從而－eq\f(3π,2)<α－β<0.3．已知不等式x2－2x－3<0的解集為A，不等式x2＋x－6<0的解集為B，不等式x2＋ax＋b<0的解集為A∩B，則a＋b等于()A．－3 B．1C．－1 D．3解析：選A由題意得，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<3))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－3<x<2))，所以A ∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x<2))，由根與系數(shù)的關(guān)系可知a＝－1，b＝－2，則a＋b＝－3.4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：選D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)，可知D正確．法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．5．(2018·廣東清遠(yuǎn)一中一模)若關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選C關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化為(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．6．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④lna2>lnb2.其中正確的不等式的序號(hào)是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④解析：選C法一：因?yàn)閑q\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘na2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.法二：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.①中，因?yàn)閍＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故①正確；②中，因?yàn)閎<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯(cuò)誤；③中，因?yàn)閎<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故③正確；④中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2>lna2，故④錯(cuò)誤．由以上分析，知①③正確。7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0<x<2，故不等式的解集為{x|0<x<2}．答案：{x|0<x<2}8．若0<a<1，則不等式(a－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集是________．解析：原不等式為(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0，由0<a<1，得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<\f(1,a)))))9．已知a＋b＞0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是______．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)10．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)B級——中檔題目練通抓牢1．如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)<0解析：選C由題意知c<0，a>0，則A、B、D一定正確；當(dāng)b＝0時(shí)，C不正確．2．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集為{x|－2<x<1}，則函數(shù)y＝f(－x)的圖象為()解析：選B由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\f(1,a)＝－2＋1，－eq\f(c,a)＝－2，解得a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其圖象開口向下，頂點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(9,4)))，結(jié)合圖象知選B.3．某商場若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤．已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價(jià)每件應(yīng)定為()A．12元 B．16元C．12元到16元之間 D．10元到14元之間解析：選C設(shè)銷售價(jià)定為每件x元，利潤為y，則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依題意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件銷售價(jià)應(yīng)為12元到16元之間．4．a(chǎn)，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是________．解析：若ab＜0，由a＜b兩邊同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b5．若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________．解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))6．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a∴原不等式可化為a2－6a解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴原不等式的解集為{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)f(x)>b的解集為(－1,3)等價(jià)于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))7．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，試求函數(shù)y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)依題意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因?yàn)閤>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以y≥－2.所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(fx,x)的最小值為－2.(2)因?yàn)閒(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1，則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≤0，,g2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f(3,4).則實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).C級——重難題目自主選做1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：選B原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<a≤3.綜上可得－4≤a≤3.2．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)對于任意的x，y∈R恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．解析：因?yàn)閤2＋8y2≥λy(x＋y)對于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0對于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y(tǒng)2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案：[－8,4](二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)A級——保分題目巧做快做1．已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與NA．M<N B．M>NC．M＝N D．不確定解析：選BM－N＝a1a2－(a1＋a2＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M>N.2.不等式eq\f(x,2x－1)>1的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B．(－∞，1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))解析：選A原不等式等價(jià)于eq\f(x,2x－1)－1>0，即eq\f(x－2x－1,2x－1)>0，整理得eq\f(x－1,2x－1)<0，不等式等價(jià)于(2x－1)(x－1)<0，解得eq\f(1,2)<x<1.3.(2018·廣東清遠(yuǎn)一中一模)若關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選C關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化為(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．4．某商場若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來增加利潤．已知這種商品每件銷售價(jià)提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價(jià)每件應(yīng)定為()A．12元 B．16元C．12元到16元之間 D．10元到14元之間解析：選C設(shè)銷售價(jià)定為每件x元，利潤為y，則y＝(x－8)[100－10(x－10)]，依題意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0，解得12＜x＜16，所以每件銷售價(jià)應(yīng)為12元到16元之間．5.在R上定義運(yùn)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc，若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：選D由定義知，不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(x－1),\s\do5(a＋1))\o(\s\up7(a－2),\s\do5(x))))≥1等價(jià)于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a對任意實(shí)數(shù)x恒成立．∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴a2－a≤eq\f(3,4)，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，則實(shí)數(shù)a的最大值為eq\f(3,2).6．a(chǎn)，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是________．解析：若ab＜0，由a＜b兩邊同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b7．若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是________．解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一負(fù)根．于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))8.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋ax，x≥0，,bx2－3x，x＜0))為奇函數(shù)，則不等式f(x)＜4的解集為________．解析：若x>0，則－x<0，則f(－x)＝bx2＋3x.因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－3x，x≥0，,－x2－3x，x＜0.))當(dāng)x≥0時(shí)，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；當(dāng)x＜0時(shí)，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集為(－∞，4)．答案：(－∞，4)9.設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：①b＋c＝6－4a＋3a②c－b＝4－4a＋a2試確定a，b，c的大小關(guān)系．解：因?yàn)閏－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2所以b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以b>a，從而c≥b>a.10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a∴原不等式可化為a2－6a解得3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3).∴原不等式的解集為{a|3－2eq\r(3)<a<3＋2eq\r(3)}．(2)f(x)>b的解集為(－1,3)等價(jià)于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－4,1] B．[－4,3]C．[1,3] D．[－1,3]解析：選B原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<a≤3.綜上可得－4≤a≤3.2.(2018·云南統(tǒng)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≥1，,21－x－2，x<1，))則不等式f(x－1)≤0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0≤x≤2)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0≤x≤3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x≤2)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x≤3))解析：選D由題意，得f(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－2－2，x≥2，,22－x－2，x<2.))當(dāng)x≥2時(shí)，由2x－2－2≤0，解得2≤x≤3；當(dāng)x<2時(shí)，由22－x－2≤0，解得1≤x<2.綜上所述，不等式f(x－1)≤0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1≤x≤3)).3．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)對于任意的x，y∈R恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．解析：因?yàn)閤2＋8y2≥λy(x＋y)對于任意的x，y∈R恒成立，所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0對于任意的x，y∈R恒成立，即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性質(zhì)可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y(tǒng)2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.答案：[－8,4]4.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b∈R))的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為________．解析：由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋b－eq\f(a2,4).因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即b＝eq\f(a2,4).所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2.又f(x)<c，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2<c，即－eq\f(a,2)－eq\r(c)<x<－eq\f(a,2)＋eq\r(c).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m，①,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6.②))②－①，得2eq\r(c)＝6，所以c＝9.答案：95．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)若a＝2，試求函數(shù)y＝eq\f(fx,x)(x>0)的最小值；(2)對于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)依題意得y＝eq\f(fx,x)＝eq\f(x2－4x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)－4.因?yàn)閤>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)時(shí)，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．所以y≥－2.所以當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(fx,x)的最小值為－2.(2)因?yàn)閒(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使“?x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨設(shè)g(x)＝x2－2ax－1，則只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g0≤0，,g2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－0－1≤0，,4－4a－1≤0，))解得a≥eq\f(3,4).則實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).6.已知函數(shù)g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在區(qū)間[2,3]上有最大值4和最小值1，設(shè)f(x)＝eq\f(gx,x).(1)求a，b的值；(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，因?yàn)閍>0，所以g(x)在區(qū)間[2,3]上是增函數(shù)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g2＝1，,g3＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))(2)由已知及(1)可得f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2，f(2x)－k·2x≥0可化為2x＋eq\f(1,2x)－2≥k·2x，化簡得1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))2－2·eq\f(1,2x)≥k，令t＝eq\f(1,2x)，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).即k≤t2－2t＋1，記h(t)＝t2－2t＋1，因?yàn)閠∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，故h(t)max＝1，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，1]．第二節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題1．一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax＋By＋C＞0直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax＋By＋C≥0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2．確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法步驟以上簡稱為“直線定界，特殊點(diǎn)定域”.3．簡單的線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由變量x，y組成的一次不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的．()(3)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上．()(4)在目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是()解析：選Cx－3y＋6<0表示直線x－3y＋6＝0左上方部分，x－y＋2≥0表示直線x－y＋2＝0及其右下方部分．故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)C所示陰影部分．3．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)解析：選C平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4))可得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).4．(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))則z＝2x＋y的最小值是()A．－15 B．－9C．1 D．9解析：選A法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點(diǎn)A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當(dāng)直線z＝2x＋y過點(diǎn)B(－6，－3)時(shí)，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域頂點(diǎn)A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出對應(yīng)的z的值依次為1，－15,9，故最小值為－15.5．若點(diǎn)(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是________．解析：∵點(diǎn)(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，∴2m＋3－5>0，即m答案：(1，＋∞)6．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－6≤0，))則x－2y的最大值為________．解析：畫出可行域如圖中陰影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在點(diǎn)A(1,1)處取得最大值－1.答案：－1考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域問題，高考主要考查：1求平面區(qū)域的面積；2已知平面區(qū)域求參數(shù)的取值或范圍，一般以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度不大.(一)直接考——求平面區(qū)域的面積1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域的面積為()A．4 B．1C．5 D．無窮大解析：選B不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6≤0，,x＋y－3≥0，,y≤2))表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，△ABC的面積即所求．求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，則△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)×(2－1)×2＝1.2．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥2，,0≤x≤2))所表示的平面區(qū)域的面積為________．解析：如圖，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?，易得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所以AD＝3，AB＝2，BC＝5.故所求區(qū)域的面積為S＝eq\f(1,2)×(3＋5)×2＝8.答案：8[題型技法]解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補(bǔ)法求解．(二)遷移考——根據(jù)平面區(qū)域滿足的條件求參數(shù)3．已知約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的值為()A．1 B．－1C．0 D．－2解析：選A作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，要使陰影部分為直角三角形，當(dāng)k＝0時(shí)，此三角形的面積為eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)≠1，所以不成立，所以k>0，則必有BC⊥AB，因?yàn)閤＋y－4＝0的斜率為－1，所以直線kx－y＝0的斜率為1，即k＝1，故選A.4．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))解析：選D不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,2x＋y＝2，))得Aeq\f(2,3)，eq\f(2,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,2x＋y＝2，))得B(1,0)．若原不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線x＋y＝a中a的取值范圍是0<a≤1或a≥eq\f(4,3).[題型技法]根據(jù)平面區(qū)域確定參數(shù)的方法在含有參數(shù)的二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域問題中，首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好，然后用數(shù)形結(jié)合的方法根據(jù)參數(shù)的不同取值情況畫圖觀察區(qū)域的形狀，根據(jù)求解要求確定問題的答案．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值)eq\a\vs4\al(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)簡單的線性規(guī)劃問題是高考的重點(diǎn)，而簡單的線性規(guī)劃問題具有代數(shù)和幾何的雙重形式，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列、三角、概率、解析幾何等問題交叉滲透.,常見的命題角度有：1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值及范圍；2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值；3線性規(guī)劃中的參數(shù)問題.[題點(diǎn)全練]角度(一)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值及范圍1．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－6≤0，,x≥0，,y≥0，))則z＝x－y的取值范圍是()A．[－3,0] B．[－3,2]C．[0,2] D．[0,3]解析：選B作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值2，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)B(0,3)時(shí)，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]．2．(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0，))則z＝3x－2y的最小值為________．解析：畫出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤1，,2x＋y≥－1，,x－y≤0))所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線y＝eq\f(3,2)x－eq\f(z,2)過點(diǎn)A時(shí)，在y軸上的截距最大，此時(shí)z最小，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝1，,2x＋y＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1.))即A(－1,1)．所以zmin＝－5.答案：－5[題型技法]求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟角度(二)求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值3．(2018·太原模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＋3≥0，,2x－y＋2≤0，,x＋2y－4≤0，))則z＝x2＋y2的取值范圍為()A．[1,13] B．[1,4]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，13)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，4))解析：選C不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點(diǎn)O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，zmin＝eq\f(4,5)，最大值為點(diǎn)O與點(diǎn)A(－2,3)的距離的平方，zmax＝|OA|2＝13.[題型技法]常見的2種非線性目標(biāo)函數(shù)及其意義(1)點(diǎn)到點(diǎn)的距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)的距離的平方；(2)斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a)，表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)連線的斜率．角度(三)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題4．當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由1≤ax＋y≤4恒成立，結(jié)合圖可知，a≥0且在A(1,0)處取得最小值，在B(2,1)處取得最大值，所以a≥1，且2a＋1≤4，故a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))[題型技法]求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法(1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍．(2)先分離含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)．[題“根”探求]1．學(xué)會(huì)“3轉(zhuǎn)化”(1)線性約束條件eq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化),\s\do5())可行域．(2)線性目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋Byeq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化),\s\do5())一組平行線y＝－eq\f(A,B)x＋eq\f(z,B).(3)最值eq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化),\s\do5())平行線組的最大(小)縱截距eq\f(z,B).2．活用“2結(jié)論”(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得．(2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——與y軸上的截距相關(guān)的數(shù)．[沖關(guān)演練]1．(2017·浙江高考)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))則z＝x＋2y的取值范圍是()A．[0,6] B．[0,4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)解析：選D作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由z＝x＋2y，得y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)，∴eq\f(z,2)是直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當(dāng)直線y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)過A點(diǎn)時(shí)，eq\f(z,2)取得最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝0，,x＋y－3＝0，))得x＝2，y＝1，即A(2,1)，此時(shí)，z＝4，∴z＝x＋2y的取值范圍是[4，＋∞)．2．(2018·成都一診)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4≤0，,x－2y－2≤0，,x－1≥0，))則eq\f(y－1,x)的最小值為________．解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)閑q\f(y－1,x)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(0,1)連線的斜率．由圖知，點(diǎn)P與點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)))連線的斜率最小，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－1,x)))min＝kPA＝eq\f(－\f(1,2)－1,1－0)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)3．(2018·鄭州質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2，,x＋y≤4，,2x－y－m≤0.))若目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________．解析：畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3x＋y＝0，平移l，從而可知經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)z取到最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝10，,x＋y＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴2×3－1－m＝0，m＝5.由圖知，平移l經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，z最小，∴當(dāng)x＝2，y＝2×2－5＝－1時(shí)，z最小，zmin＝3×2－1＝5.答案：5eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用)eq\a\vs4\al(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)——師生共研)利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題是高考主要考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，試題通常是解決實(shí)際問題的最值問題，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.[典題領(lǐng)悟](2016·全國卷Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元．解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤300，,10x＋3y≤900，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為z＝2100x＋900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．作直線2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，z取得最大值，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋3y＝900，,5x＋3y＝600，))解得M(60,100)．則zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216000[解題師說]1．解線性規(guī)劃應(yīng)用題3步驟轉(zhuǎn)化設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題作答將數(shù)學(xué)問題的答案還原為實(shí)際問題的答案2．求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號(hào)．(2)注意結(jié)合實(shí)際問題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負(fù)數(shù)等．(3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式．[沖關(guān)演練]某旅行社租用A，B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元解析：選C設(shè)旅行社租用A型客車x輛，B型客車y輛，租金為z，則線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為z＝1600x＋2400y.畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)N時(shí)，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x＝7，,36x＋60y＝900，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝12，))故N(5,12)，故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．(一)普通高中適用作業(yè)A級——基礎(chǔ)小題練熟練快1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，,2x＋y<6))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選C由不等式2x＋