第08講平面直角坐標(biāo)系

第08講平面直角坐標(biāo)系知識點1：坐標(biāo)確定位置坐標(biāo)：是以點O為原點，作為參考點，來定位平面內(nèi)某一點的具體位置，表示方法為：A（x，y)．知識點2：平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)畫兩條相互垂直，原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系．水平的數(shù)軸稱為橫軸或x軸，取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為縱軸或y軸，取向上為正方向；兩坐標(biāo)軸的交點稱為平面直角坐標(biāo)系的原點．知識點3：象限x軸和y軸將坐標(biāo)平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限．知識點4：坐標(biāo)系內(nèi)點的特征（1）x軸上的點的縱坐標(biāo)為0；y軸上的點的橫坐標(biāo)為0．（2）在任意的兩點中，如果兩點的橫坐標(biāo)相同（兩點的橫坐標(biāo)不為零），則兩點的連線平行于縱軸；如果兩點的縱坐標(biāo)相同（兩點的縱坐標(biāo)不為零），則兩點的連線平行于橫軸．（3）點到軸及原點的距離：點到x軸的距離為|y|；點到y(tǒng)軸的距離為|x|；點到原點的距離為x的平方加y的平方的算術(shù)平方根．（4）一三象限角平分線上的點橫縱坐標(biāo)相等．（5）二四象限角平分線上的點橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．考點剖析考點一：坐標(biāo)確定位置【典例1】小明在教室中的座位為第行第列，記為，小亮在第行第列，記為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題干分析可得：小明在教室中的座位為第行第列，記為，小亮在第行第列，記為．故選：．【變式11】如圖，這是小麗關(guān)于詩歌《望洞庭》的書法展示，若“湖”的位置用有序數(shù)對表示，則“山”的位置可以表示為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】“山”的位置可以表示為，故選：D．【變式12】第19屆亞運會于2023年9月在浙江省杭州市舉行．以下能夠準(zhǔn)確表示杭州市地理位置的是（

）A．距離北京市1250公里 B．在浙江省C．在義烏市的北方 D．東經(jīng)，北緯【答案】D【解析】由題意可知，東經(jīng)，北緯能夠準(zhǔn)確表示杭州市地理位置，故選：D．【變式13】數(shù)經(jīng)歷了從自然數(shù)到有理數(shù)，到實數(shù)，再到復(fù)數(shù)的發(fā)展過程．?dāng)?shù)學(xué)中把形如（a，b為實數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，用表示．任何一個復(fù)數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中都可以用有序數(shù)對表示，如：表示為，那么可表示為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得，可表示為．故選：B．考點二：象限內(nèi)點的特征【典例2】如圖所示，象棋盤上，若“帥”位于點，“象”位于點，則“炮”位于點（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，“炮”所在點的坐標(biāo)為．

故選：B．【變式21】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，被手擋住的點的坐標(biāo)可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)被手擋住的點在第三象限，則橫坐標(biāo)為負數(shù)，縱坐標(biāo)為負數(shù)，∴選項的點符合題意，故選：．【變式22】下列點的坐標(biāo)在軸上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．點在第一象限，故此選項不符合題意；B．點在軸上，故此選項不符合題意；C．點在第一象限，故此選項不符合題意；D．點在軸上，故此選項符合題意．故選：D．【變式23】如圖，卡通形象“大白”深受大家喜愛，將“大白”放在平面直角坐標(biāo)系中，如果右眼的坐標(biāo)是，那么這只“大白”的左眼的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的坐標(biāo)是，左移1個單位得到點的坐標(biāo)，，故選：C．考點三：判斷點所在的象限【典例3】如圖，小明用手蓋住的點的坐標(biāo)可能為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵小明用手蓋住的是第二象限，第二象限的坐標(biāo)符號特征為，∴符合題意，故選：B．【變式31】在平面直角坐標(biāo)系中，若點A的坐標(biāo)是，則點A所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴，∴點在第四象限，故選：D．【變式32】已知點，若，，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵，∴，∵，∴異號，∴，即，∴點所在的象限是第四象限，故選：．【變式33】已知點在軸上，則點在第（

）象限A．四 B．三 C．二 D．一【答案】C【解析】∵點在軸上，∴，∴，∴點在第二象限，故選：C．考點四：已知點所在的象限求參數(shù)【典例4】若點在第四象限，且，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，，∵點在第四象限，∴，，∴，，∴．故選：B．【變式41】點在第二象限，它到x軸的距離是4，到y(tǒng)軸距離是3，則為（）A． B．1 C．7 D．【答案】B【解析】∵在第二象限，∴點的橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0．又∵點到軸的距離是4，即點的縱坐標(biāo)為4；點到軸的距離為3，即點的橫坐標(biāo)為，∴點的坐標(biāo)是，則，故選：B．【變式42】點在直角坐標(biāo)系的x軸上，則點P的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵點P在直角坐標(biāo)系的x軸上，∴，∴，故點P的橫坐標(biāo)為：，即點P的坐標(biāo)為，故選：B．考點五：求點到坐標(biāo)軸的距離【典例5】已知點與點在同一條平行于x軸的直線上，且N到y(tǒng)軸的距離等于4，則點N的坐標(biāo)是（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【解析】∵點與點在同一條平行于x軸的直線上，∴，∵N到y(tǒng)軸的距離等于4，∴，∴點N的坐標(biāo)為或．故選：D．【變式51】第三象限的點P到x軸距離為3，到y(tǒng)軸距離為2，則P點坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵點P在第三象限，到x軸距離為3，到y(tǒng)軸距離為2，∴點P的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是3，∴點P的坐標(biāo)為．故選：A．【變式52】點坐標(biāo)為，且點到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點的坐標(biāo)是()A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】∵點到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴，∴或，解得或，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，．∴點P的坐標(biāo)為或．故選：D．【變式53】在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，則點A到x軸的距離為（

）A． B．5 C． D．2【答案】B【解析】∵在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，∴點A到x軸的距離為，故選B．考點六：坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)【典例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，且與互為相反數(shù)．

(1)求實數(shù)與的值；(2)在軸的正半軸上存在一點，使，請通過計算求出點的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)軸的其他位置是否存在點，使仍然成立？若存在，請直接寫出符合題意的點的坐標(biāo)．【解析】（1）∵與互為相反數(shù)．∴，∴，，解得：，；（2）當(dāng)M在x軸正半軸上時，設(shè)，，∵，，，，∴，解得：，∴；（3）①當(dāng)M在y軸正半軸上時，設(shè)，∵，，，，∴，解得：，∴；②當(dāng)M在y軸負半軸上時，設(shè)，∵，，，，∴，解得：，∴；③當(dāng)M在x軸負半軸上時，設(shè)，∵，，，，∴，解得：，∴．綜上所述：或或．【變式61】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，其中a，b滿足．(1)填空：，；(2)已知，連接，P為y軸上一點，且，請求出點P的坐標(biāo)．【解析】（1）∵，∴，∴．故答案為：，3；（2）由（1）知，，∵，∴，設(shè)，則：，∴，∴點P的坐標(biāo)是或．【變式62】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸上，點、在軸上，，，，點的坐標(biāo)是．

(1)求△的頂點的坐標(biāo)；(2)連接、，并用含字母的式子表示的面積；(3)在（2）問的條件下，是否存在點，使的面積等于△的面積？如果存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1），，，解得，，，，，；（2）當(dāng)點在第二象限，直線的上方，即，作軸于，如圖，

；當(dāng)點在直線下方，即，作軸于，如圖，

；∴的面積為；（3）∵，當(dāng)，解得．此時點坐標(biāo)為；當(dāng)，解得．此時點坐標(biāo)為．綜上所述，點的坐標(biāo)為，或，．考點七：坐標(biāo)系中描點【典例7】如圖，已知、、．(1)在坐標(biāo)系中描出各點，畫出△；(2)求△的面積；(3)點在軸上，當(dāng)?shù)拿娣e為6時，請直接寫出點的坐標(biāo)．【解析】（1）如圖所示，為所求，（2）∵、、，∴，點到邊的距離為：，∴的面積為：，（3）設(shè)點，∴，∴，∴或，∴點的坐標(biāo)為或．【變式71】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，．

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△．(2)求△的面積．【解析】（1）如圖，即為所求：

（2）．【變式72】已知△的三個頂點坐標(biāo)分別是：，，．(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出△；(2)將△先向右平移4個單位，再向上平移3個單位得到，畫出．【解析】（1）如圖所示，（2）如圖所示，考點八：點在坐標(biāo)系內(nèi)的移動規(guī)律【典例8】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，所有正方形的中心均在坐標(biāo)原點，且各邊與軸或軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長依次為，，，，…，頂點依次用，，，，…，表示，則頂點的坐標(biāo)為（

）

A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖形可知：，，，，，，，，，，，，…，由各點坐標(biāo)可知，每個點一循環(huán)，橫縱坐標(biāo)絕對值相同，坐標(biāo)的絕對值等于循環(huán)的次數(shù)，坐標(biāo)正負按照，，，依次循環(huán)，，，故選：．【變式81】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對△進行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點坐標(biāo)是，則經(jīng)過第2023次變換后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】點C第一次關(guān)于軸對稱后在第二象限，點C第二次關(guān)于軸對稱后在第三象限，點C第三次關(guān)于軸對稱后在第四象限，點C第四次關(guān)于軸對稱后在第一象限，即點C回到原始位置，所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，，經(jīng)過第2023次變換后所得的C點與第三次變換的位置相同，在第四象限，坐標(biāo)為．故選：B．【變式82】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一個點從原點出發(fā)，按向右向上向右向下的順序依次不斷移動，每次移動個單位，其移動路線如圖所示，第一次移到點，第二次移到點，第三次移到點，，第次移到點，則點的坐標(biāo)是．【答案】【解析】觀察圖象可知，點A的縱坐標(biāo)每4個點循環(huán)一次，∵，∴點的縱坐標(biāo)與點的縱坐標(biāo)相同，∵，，……，∴（n為正整數(shù)），∴當(dāng)時，，∴，∴點的坐標(biāo)是．故答案為：．【變式83】已知點，，，在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，一只瓢蟲從點A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿循環(huán)爬行，第2025秒瓢蟲所在點的坐標(biāo)為.

【答案】【解析】∵點，，，，∴，根據(jù)題意，運動第一秒時，向下移動2個單位，到達的位置是；運動第二秒時，向下移動1個單位，向右移動1個單位，到達的位置是；運動第三秒時，向右移動2個單位，到達的位置是；運動第四秒時，向右移動1個單位，向上移動1個單位，到達的位置是；運動第五秒時，向上移動2個單位，到達的位置是；運動第六秒時，向左移動2個單位，到達的位置是；運動第七秒時，向左移動2個單位，到達的位置是；點的規(guī)律是每7秒循環(huán)，當(dāng)運動2025秒時，，與的位置相同，故答案為：.過關(guān)檢測一、選擇題1．下列數(shù)據(jù)不能確定物體位置的是（

）A．電影票4排4號 B．東經(jīng)，北緯C．廣場北路28號 D．北偏東【答案】D【解析】A、電影票4排4號，物體的位置明確，故本選項不符合題意；B、東經(jīng)，北緯，物體的位置明確，故本選項不符合題意；C、廣場北路28號，物體的位置明確，故本選項不符合題意；D、北偏東，無法確定物體的具體位置，故本選項符合題意．故選：D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點在（

）A．第一象限 B．第四象限 C．x軸上 D．y軸上【答案】C【解析】點在x軸上，故選C．3．點在第二象限內(nèi)，且到軸的距離是4，到軸的距離是3，那么點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵到軸的距離是4，到軸的距離是3，∴，，∴，，又點在第二象限內(nèi)，∴，，∴．故選：C．4．在平面直角坐標(biāo)系中，若，且直線軸，則的值是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】直線軸，，．故選：A．5．已知點在x軸的上方，且，，則點P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，，，，又點在x軸的上方，，，點P的坐標(biāo)為或，故選D．6．已知，則到軸的距離為（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】∵點的縱坐標(biāo)為8，∴點A到x軸的距離是8，故選：B．7．如圖是丁丁畫的一張臉的示意圖，如果用和表示眼睛，那么嘴的位置可以表示成（）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如下圖，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，

嘴的位置可以表示為．故選：A．8．已知點的坐標(biāo)為，且點到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則點的具體坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】點的坐標(biāo)為，且到兩坐標(biāo)軸的距離相等，,解得或,即點的坐標(biāo)為或．故選：D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑均為1個單位長度的半圓，半圓，半圓，半圓，…，組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，則第秒時，點的坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】半徑為個單位長度的半圓的周長為，∵點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒個單位長度，∴當(dāng)點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為秒時，點的坐標(biāo)為，當(dāng)點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為秒時，點的坐標(biāo)為，當(dāng)點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為秒時，點的坐標(biāo)為，當(dāng)點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為秒時，點的坐標(biāo)為，當(dāng)點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為秒時，點的坐標(biāo)為，當(dāng)點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右運動，運動時間為秒時，點的坐標(biāo)為，…，∵，∴的坐標(biāo)是，故選：A．二、填空題10．若，則點在第象限．【答案】二【解析】由，得出：，，故，，∴，故P點在第二象限，故答案為：二．11．在平面直角坐標(biāo)系中，點在y軸上，則m的值為．【答案】2【解析】∵點在y軸上，∴，解得：，故答案為：2．12．在平面直角坐標(biāo)系中，線段，與x軸平行，點A的坐標(biāo)為，則B點坐標(biāo)是．【答