2019高三數學（人教A版理）一輪課時分層訓練69　二項分布與正態(tài)分布

課時分層訓練(六十九)二項分布與正態(tài)分布(對應學生用書第270頁)A組基礎達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．設隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)等于()A．eq\f(5,16) B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8) D．eq\f(3,8)A[X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，由二項分布可得，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,16).]2．甲、乙兩地都位于長江下游，根據天氣預報的記錄知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，兩市同時下雨占12%.則在甲市為雨天的條件下，乙市也為雨天的概率為()A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66A[將“甲市為雨天”記為事件A，“乙市為雨天”記為事件B，則P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.12,0.2)＝0.6.]3．在如圖10-8-1所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數的估計值為()圖10-8-1附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386 B．2718C．3413 D．4772C[由曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線可知題圖中陰影部分的面積為P(0<X≤1)＝eq\f(1,2)×0.6826＝0.3413，又題圖中正方形面積為1，故它們的比值為0.3413，故落入陰影部分的點的個數的估計值為0.3413×10000＝3413.故選C．]4．兩個實習生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)B[設事件A：甲實習生加工的零件為一等品；事件B：乙實習生加工的零件為一等品，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以這兩個零件中恰有一個一等品的概率為P(Aeq\o(B,\s\up9(－)))＋P(eq\o(A,\s\up9(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up9(－)))＋P(eq\o(A,\s\up9(－)))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).]5．設隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P(Y≥2)的值為()【導學號：97190378】A．eq\f(32,81) B．eq\f(11,27)C．eq\f(65,81) D．eq\f(16,81)B[因為隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝eq\f(11,27).]二、填空題6．(2018·青島質檢)設隨機變量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2，則P(－1<ξ<1)＝________.0.3[由P(ξ<－3)＝P(ξ>1)＝0.2得P(ξ>－1)＝0.5，所以P(－1<ξ<1)＝0.5－0.2＝0.3.]7．投擲一枚圖釘，設釘尖向上的概率為p，連續(xù)擲一枚圖釘3次，若出現2次釘尖向上的概率小于3次釘尖向上的概率，則p的取值范圍為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))[設P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“連續(xù)投擲一枚圖釘，出現k次釘尖向上”的概率，由題意得P(B2)<P(B3)，即Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)<Ceq\o\al(3,3)p3.∴3p2(1－p)<p3.由于0<p<1，∴eq\f(3,4)<p<1.]8．(2017·河北衡水中學質檢)將一個大正方形平均分成9個小正方形，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)，投中最左側3個小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事件記為B，則P(A|B)＝________.eq\f(1,4)[依題意，隨機試驗共有9個不同的基本結果．由于隨機投擲，且小正方形的面積大小相等．所以事件B包含4個基本結果，事件AB包含1個基本結果．所以P(B)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(1,9).所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,9),\f(4,9))＝eq\f(1,4).]三、解答題9．(2017·山西太原二模)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規(guī)則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案a：從裝有2個紅球、3個白球(僅顏色不同)的甲袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金30元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個紅球、2個白球(僅顏色不同)的乙袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金15元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件：顧客購買商品的金額滿100元，可根據方案a抽獎一次；滿150元，可根據方案b抽獎一次(例如某顧客購買商品的金額為260元，則該顧客可以根據方案a抽獎兩次或方案b抽獎一次或方案a、b各抽獎一次)．已知顧客A在該商場購買商品的金額為350元．(1)若顧客A只選擇方案a進行抽獎，求其所獲獎金的期望；(2)要使所獲獎金的期望值最大，顧客A應如何抽獎？【導學號：97190379】[解](1)按方案a抽獎一次，獲得獎金的概率P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).顧客A只選擇方案a進行抽獎，則其可以按方案a抽獎三次．此時中獎次數服從二項分布B～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10))).設所得獎金為w1元，則Ew1＝3×eq\f(1,10)×30＝9.即顧客A所獲獎金的期望為9元．(2)按方案b抽獎一次，獲得獎金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，則由方案a中獎的次數服從二項分布B1～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，由方案b中獎的次數服從二項分布B2～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，設所得獎金為w2元，則Ew2＝2×eq\f(1,10)×30＋1×eq\f(3,10)×15＝10.5.若顧客A按方案b抽獎兩次，則中獎的次數服從二項分布B3～eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10))).設所得獎金為w3元，則Ew3＝2×eq\f(3,10)×15＝9.結合(1)可知，Ew1＝Ew3<Ew2.所以顧客A應該按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，才能使所獲獎金的期望最大．10．(2016·全國卷Ⅱ節(jié)選)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯(lián)如下：上年度出險次數01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設該險種一續(xù)保人一年內出險次數與相應概率如下：一年內出險次數01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率．[解](1)設A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)設B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事件B發(fā)生當且僅當一年內出險次數大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率為eq\f(3,11).B組能力提升(建議用時：15分鐘)11．設隨機變量X服從二項分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，則函數f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)C[∵函數f(x)＝x2＋4x＋X存在零點，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服從X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－eq\f(1,25)＝eq\f(31,32).]12．事件A，B，C相互獨立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，則P(B)＝________，P(eq\x\to(A)B)＝________.【導學號：97190380】eq\f(1,2)eq\f(1,3)[由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA·PB＝\f(1,6)，,P\x\to(B)·PC＝\f(1,8)，,PA·PB·P\x\to(C)＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，∴P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))·P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).]13．(2018·濟南一模)2017年1月25日智能共享單車項目摩拜單車正式登陸濟南，兩種車型采用分段計費的方式，MobikeLite型(Lite版)每30分鐘收費0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算)；Mobike(經典版)每30分鐘收費1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算)．有甲、乙、丙三人相互獨立的到租車點租車騎行(各租一車一次)．設甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，三人租車時間都不會超過60分鐘．甲、乙均租用Lite版單車，丙租用經典版單車．(1)求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；(2)設甲、乙、丙三人所付的費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列．[解](1)由題意得，甲、乙、丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).設甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用為事件A，則P(A)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,24).答：甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率為eq\f(7,24).(2)ξ的所有可能取值有2,2.5,3,3.5,4.P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝2.5)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,24)；P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(