上海市徐匯區(qū)董恒甫高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024~2025學(xué)年董恒甫高級中學(xué)高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．空間內(nèi)，兩異面直線所成角的取值范圍是_______．2．已知，則點P與直線l的位置關(guān)系用相應(yīng)的符號表示為_______．3．設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為_______．4．分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是_______．5．己知圓錐的母線長為4，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角為，則該圓錐的表面積為_______．6．將邊長分別為和的矩形，繞邊長為的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱，則該圓柱的側(cè)面積為_______．7．如圖，是水平放置的的斜二測直觀圖，若，則的面積為_______．8．在棱長為2的正方體中，直線到平面的距離為_______．9．如圖，己知平面，則二面角的大小為_______．10．已知正三棱錐的底面邊長為4，高為2，則三棱錐的表面積是_______．11．一圓錐側(cè)面展開圖為半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為_______．12．如圖，圓錐形容器的高為h，圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐倒置，水面高為，則等于_______．二、單選題（本大題共4題，滿分20分）13．當(dāng)我們停放自行車時，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了（）A．三點確定一平面 B．不共線三點確定一平面C．兩條相交直線確定一平面 D．兩條平行直線確定一平面14．設(shè)是平面M外的兩條直線，且，那么是的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要15．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出四個命題：①若，則； ②若，則；③若，則； ④若，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④16．己知正方體，點P在直線上，Q為線段的中點．則下列說法不正確的是（）A．存在點P，使得 B．存在點P，使得C．直線始終與直線異面 D．直線始終與直線異面三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．如圖，正四棱柱的底面邊長，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大小．18．如圖，是正方形，平面．（1）求證：；（2）求二面角的大?。?9．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，O是與的交點，平面是的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．20．在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?，?996年故入世界文化遺產(chǎn)名景（如圖1）現(xiàn)測量一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖2）．C是母線的一個三等分點（靠近點S）．（1）現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（此處取3.14，結(jié)果精確到個位）；（2）從點A到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度．21．如圖，是圓柱的直徑且是圓柱的母線且，點C是圓柱底面圓周上的點．（1）求圓柱的側(cè)面積和體積；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）若是的中點，點E在線段上，求的最小值．

參考答案1．【答案】【解析】由異面直線所成角的定義知，兩異面直線所成角的取值范圍是．2．【答案】【解析】由，得，而，則，又，所以．3．【答案】或【解析】根據(jù)等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補．4．【答案】平行或異面【解析】分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是可以平行，可以異面，但不能相交．5．【答案】【解析】母線長，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角，∴底面半徑圓錐的表面積．6．【答案】【解析】依題意，圓柱的底面半徑為1，母線長為2，所以該圓柱的側(cè)面積為．7．【答案】12【解析】如圖，根據(jù)斜二測畫法，將直觀圖還原后，得到的為直角三角形，且兩條直角邊，所以，的面積為．8．【答案】【解析】如圖，在棱長為2的正方體中，取的中點E，連接，則，且，又平面平面，所以，而，所以平面，易知平面，則到平面的距離即為直線到平面的距離，所以直線到平面的距離為．9．【答案】【解析】平面平面，則又，且平面，平面，而平面，是二面角的平面角，．．又P二面角為．10．【答案】【解析】如圖，正三棱錐，高，取中點N，連接，則M在線段上，且，由，由勾股定理得：，所以，所以，所以三棱錐的表面積為．11．【答案】【解析】由題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為h，因為圓錐側(cè)面展開圖為半徑為2的半圓，可得且，解得，所以，所以圓錐的體積為．12．【答案】【解析】設(shè)容器底面半徑為r，則水的體積為：，倒置后水的體積，解得．13．【答案】B【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時三個接觸點不在同一條線上，所以可以確定一個平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定，故選B項．14．【答案】A【解析】充分性：若，結(jié)合，且b在平面M外，可得，是充分條件；必要性：若，結(jié)合，且是平面M外，則可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．故是的“充分非必要”，故選：A．15．【答案】D【解析】對于①，若兩平面相交，但不一定垂直，故①錯誤；對于②，若，則，故②正確；對于③，若，當(dāng)，則n與不平行，故③錯誤；對于④，若，則，故④正確；故選：D16．【答案】C【解答】在正方體中，可得，又由平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，由點P在直線上，Q為線段的中點，當(dāng)點P和重合時，可得平面，所以，所以A正確；連接，如圖所示，當(dāng)點P為線段的中點時，為的中位線，即，所以B正確；因為平面，當(dāng)點P和點A重合時，平面，則直線和在同一平面內(nèi)，所以C錯誤；由平面平面，且，所以直線始終與直線不相交，且不平行，所以與是異面直線，所以D正確．故選：C．17．【答案】（1）16；（2）【解析】（1）如圖，連接正四棱柱的底面邊長面是與底面所成的角在，∴正四棱柱的體積為：16．（2）正四棱柱是異面直線與所成的角在中，∴異面直線與所成的角為：．18．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）連接，如圖，因是正方形，則，又平面平面，則，而，且平面，于是得平面，又平面，所以；（2）取線段中點O，連接，由題意易知，，且是正方形，，故，，故為二面角的平面角，由平面，可知，故．故二面角的大小為．19．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1）連接，在平行四邊形中，為與的交點，為的中點，又M為的中點，，又平面平面平面；（2）取的中點N，連接，為的中點，，且，由平面，得平面，是直線與平面所成的角，，在中，，，從而，在中，，直線與平面所成角的正切值為．20．【答案】（1）20347朵；（2）．【解析】（1）因圓錐的底面直徑長為，母線長為，則此圓錐的側(cè)面積為又每平方米大約需要鮮花60朵，于是得（朵），所以裝飾這個屋頂大約需要20347朵鮮花．（2）將圓錐沿母線剪開展在同一平面內(nèi)得如圖所示的扇形，點A到點，連接，則為最小長度，扇形弧長等于圓錐底面圓周長，于是得扇形圓心角，在中，，由余弦定理