上海市徐匯區(qū)董恒甫高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024~2025學(xué)年董恒甫高級(jí)中學(xué)高二（上）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）1．空間內(nèi)，兩異面直線所成角的取值范圍是_______．2．已知，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用相應(yīng)的符號(hào)表示為_(kāi)______．3．設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為_(kāi)______．4．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是_______．5．己知圓錐的母線長(zhǎng)為4，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角為，則該圓錐的表面積為_(kāi)______．6．將邊長(zhǎng)分別為和的矩形，繞邊長(zhǎng)為的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)______．7．如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，若，則的面積為_(kāi)______．8．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，直線到平面的距離為_(kāi)______．9．如圖，己知平面，則二面角的大小為_(kāi)______．10．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，高為2，則三棱錐的表面積是_______．11．一圓錐側(cè)面展開(kāi)圖為半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為_(kāi)______．12．如圖，圓錐形容器的高為h，圓錐內(nèi)水面的高為，且，若將圓錐倒置，水面高為，則等于_______．二、單選題（本大題共4題，滿分20分）13．當(dāng)我們停放自行車時(shí)，只要將自行車旁的撐腳放下，自行車就穩(wěn)了，這用到了（）A．三點(diǎn)確定一平面 B．不共線三點(diǎn)確定一平面C．兩條相交直線確定一平面 D．兩條平行直線確定一平面14．設(shè)是平面M外的兩條直線，且，那么是的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要15．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：①若，則； ②若，則；③若，則； ④若，則其中正確的是（）A．①② B．③④ C．①④ D．②④16．己知正方體，點(diǎn)P在直線上，Q為線段的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法不正確的是（）A．存在點(diǎn)P，使得 B．存在點(diǎn)P，使得C．直線始終與直線異面 D．直線始終與直線異面三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）17．如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大?。?8．如圖，是正方形，平面．（1）求證：；（2）求二面角的大?。?9．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，O是與的交點(diǎn)，平面是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正切值．20．在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?，?996年故入世界文化遺產(chǎn)名景（如圖1）現(xiàn)測(cè)量一個(gè)屋頂，得到圓錐的底面直徑長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為（如圖2）．C是母線的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)S）．（1）現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個(gè)屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（此處取3.14，結(jié)果精確到個(gè)位）；（2）從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長(zhǎng)度．21．如圖，是圓柱的直徑且是圓柱的母線且，點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn)．（1）求圓柱的側(cè)面積和體積；（2）求三棱錐體積的最大值；（3）若是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，求的最小值．

參考答案1．【答案】【解析】由異面直線所成角的定義知，兩異面直線所成角的取值范圍是．2．【答案】【解析】由，得，而，則，又，所以．3．【答案】或【解析】根據(jù)等角定理：一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．4．【答案】平行或異面【解析】分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是可以平行，可以異面，但不能相交．5．【答案】【解析】母線長(zhǎng)，母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角，∴底面半徑圓錐的表面積．6．【答案】【解析】依題意，圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，所以該圓柱的側(cè)面積為．7．【答案】12【解析】如圖，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，將直觀圖還原后，得到的為直角三角形，且兩條直角邊，所以，的面積為．8．【答案】【解析】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，取的中點(diǎn)E，連接，則，且，又平面平面，所以，而，所以平面，易知平面，則到平面的距離即為直線到平面的距離，所以直線到平面的距離為．9．【答案】【解析】平面平面，則又，且平面，平面，而平面，是二面角的平面角，．．又P二面角為．10．【答案】【解析】如圖，正三棱錐，高，取中點(diǎn)N，連接，則M在線段上，且，由，由勾股定理得：，所以，所以，所以三棱錐的表面積為．11．【答案】【解析】由題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，高為h，因?yàn)閳A錐側(cè)面展開(kāi)圖為半徑為2的半圓，可得且，解得，所以，所以圓錐的體積為．12．【答案】【解析】設(shè)容器底面半徑為r，則水的體積為：，倒置后水的體積，解得．13．【答案】B【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面，此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上，所以可以確定一個(gè)平面，即地面，從而使得自行車穩(wěn)定，故選B項(xiàng)．14．【答案】A【解析】充分性：若，結(jié)合，且b在平面M外，可得，是充分條件；必要性：若，結(jié)合，且是平面M外，則可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．故是的“充分非必要”，故選：A．15．【答案】D【解析】對(duì)于①，若兩平面相交，但不一定垂直，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若，則，故②正確；對(duì)于③，若，當(dāng)，則n與不平行，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，則，故④正確；故選：D16．【答案】C【解答】在正方體中，可得，又由平面，且平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，由點(diǎn)P在直線上，Q為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P和重合時(shí)，可得平面，所以，所以A正確；連接，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，為的中位線，即，所以B正確；因?yàn)槠矫?，?dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，平面，則直線和在同一平面內(nèi)，所以C錯(cuò)誤；由平面平面，且，所以直線始終與直線不相交，且不平行，所以與是異面直線，所以D正確．故選：C．17．【答案】（1）16；（2）【解析】（1）如圖，連接正四棱柱的底面邊長(zhǎng)面是與底面所成的角在，∴正四棱柱的體積為：16．（2）正四棱柱是異面直線與所成的角在中，∴異面直線與所成的角為：．18．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）連接，如圖，因是正方形，則，又平面平面，則，而，且平面，于是得平面，又平面，所以；（2）取線段中點(diǎn)O，連接，由題意易知，，且是正方形，，故，，故為二面角的平面角，由平面，可知，故．故二面角的大小為．19．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）連接，在平行四邊形中，為與的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又M為的中點(diǎn)，，又平面平面平面；（2）取的中點(diǎn)N，連接，為的中點(diǎn)，，且，由平面，得平面，是直線與平面所成的角，，在中，，，從而，在中，，直線與平面所成角的正切值為．20．【答案】（1）20347朵；（2）．【解析】（1）因圓錐的底面直徑長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為，則此圓錐的側(cè)面積為又每平方米大約需要鮮花60朵，于是得（朵），所以裝飾這個(gè)屋頂大約需要20347朵鮮花．（2）將圓錐沿母線剪開(kāi)展在同一平面內(nèi)得如圖所示的扇形，點(diǎn)A到點(diǎn)，連接，則為最小長(zhǎng)度，扇形弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓周長(zhǎng)，于是得扇形圓心角，在中，，由余弦定理