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2024~2025學(xué)年董恒甫高級中學(xué)高二(上)期中考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題(第1-6題每題4分,第7-12題每題5分,滿分54分)1.空間內(nèi),兩異面直線所成角的取值范圍是_______.2.已知,則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用相應(yīng)的符號表示為_______.3.設(shè)和的兩邊分別平行,若,則的大小為_______.4.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是_______.5.己知圓錐的母線長為4,母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角為,則該圓錐的表面積為_______.6.將邊長分別為和的矩形,繞邊長為的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到一圓柱,則該圓柱的側(cè)面積為_______.7.如圖,是水平放置的的斜二測直觀圖,若,則的面積為_______.8.在棱長為2的正方體中,直線到平面的距離為_______.9.如圖,己知平面,則二面角的大小為_______.10.已知正三棱錐的底面邊長為4,高為2,則三棱錐的表面積是_______.11.一圓錐側(cè)面展開圖為半徑為2的半圓,則此圓錐的體積為_______.12.如圖,圓錐形容器的高為h,圓錐內(nèi)水面的高為,且,若將圓錐倒置,水面高為,則等于_______.二、單選題(本大題共4題,滿分20分)13.當(dāng)我們停放自行車時(shí),只要將自行車旁的撐腳放下,自行車就穩(wěn)了,這用到了()A.三點(diǎn)確定一平面 B.不共線三點(diǎn)確定一平面C.兩條相交直線確定一平面 D.兩條平行直線確定一平面14.設(shè)是平面M外的兩條直線,且,那么是的()條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要15.已知是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題:①若,則; ②若,則;③若,則; ④若,則其中正確的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④16.己知正方體,點(diǎn)P在直線上,Q為線段的中點(diǎn).則下列說法不正確的是()A.存在點(diǎn)P,使得 B.存在點(diǎn)P,使得C.直線始終與直線異面 D.直線始終與直線異面三、解答題(本大題共有5題,滿分76分)17.如圖,正四棱柱的底面邊長,若與底面所成的角的正切值為.(1)求正四棱柱的體積;(2)求異面直線與所成的角的大?。?8.如圖,是正方形,平面.(1)求證:;(2)求二面角的大?。?9.如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,O是與的交點(diǎn),平面是的中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求直線與平面所成角的正切值.20.在意大利,有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛,這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?,?996年故入世界文化遺產(chǎn)名景(如圖1)現(xiàn)測量一個(gè)屋頂,得到圓錐的底面直徑長為,母線長為(如圖2).C是母線的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)S).(1)現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂,如果每平方米大約需要鮮花60朵,那么裝飾這個(gè)屋頂(不含底面)大約需要多少朵鮮花(此處取3.14,結(jié)果精確到個(gè)位);(2)從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶,求燈光帶的最小長度.21.如圖,是圓柱的直徑且是圓柱的母線且,點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn).(1)求圓柱的側(cè)面積和體積;(2)求三棱錐體積的最大值;(3)若是的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段上,求的最小值.
參考答案1.【答案】【解析】由異面直線所成角的定義知,兩異面直線所成角的取值范圍是.2.【答案】【解析】由,得,而,則,又,所以.3.【答案】或【解析】根據(jù)等角定理:一個(gè)角的兩邊平行于另外一個(gè)角的兩邊,則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.【答案】平行或異面【解析】分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是可以平行,可以異面,但不能相交.5.【答案】【解析】母線長,母線與旋轉(zhuǎn)軸的夾角,∴底面半徑圓錐的表面積.6.【答案】【解析】依題意,圓柱的底面半徑為1,母線長為2,所以該圓柱的側(cè)面積為.7.【答案】12【解析】如圖,根據(jù)斜二測畫法,將直觀圖還原后,得到的為直角三角形,且兩條直角邊,所以,的面積為.8.【答案】【解析】如圖,在棱長為2的正方體中,取的中點(diǎn)E,連接,則,且,又平面平面,所以,而,所以平面,易知平面,則到平面的距離即為直線到平面的距離,所以直線到平面的距離為.9.【答案】【解析】平面平面,則又,且平面,平面,而平面,是二面角的平面角,..又P二面角為.10.【答案】【解析】如圖,正三棱錐,高,取中點(diǎn)N,連接,則M在線段上,且,由,由勾股定理得:,所以,所以,所以三棱錐的表面積為.11.【答案】【解析】由題意,設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,高為h,因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖為半徑為2的半圓,可得且,解得,所以,所以圓錐的體積為.12.【答案】【解析】設(shè)容器底面半徑為r,則水的體積為:,倒置后水的體積,解得.13.【答案】B【解析】自行車前后輪與撐腳分別接觸地面,此時(shí)三個(gè)接觸點(diǎn)不在同一條線上,所以可以確定一個(gè)平面,即地面,從而使得自行車穩(wěn)定,故選B項(xiàng).14.【答案】A【解析】充分性:若,結(jié)合,且b在平面M外,可得,是充分條件;必要性:若,結(jié)合,且是平面M外,則可以平行,也可以相交或者異面,所以不是必要條件.故是的“充分非必要”,故選:A.15.【答案】D【解析】對于①,若兩平面相交,但不一定垂直,故①錯(cuò)誤;對于②,若,則,故②正確;對于③,若,當(dāng),則n與不平行,故③錯(cuò)誤;對于④,若,則,故④正確;故選:D16.【答案】C【解答】在正方體中,可得,又由平面,且平面,所以,因?yàn)椋移矫?,所以平面,由點(diǎn)P在直線上,Q為線段的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P和重合時(shí),可得平面,所以,所以A正確;連接,如圖所示,當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí),為的中位線,即,所以B正確;因?yàn)槠矫?,?dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí),平面,則直線和在同一平面內(nèi),所以C錯(cuò)誤;由平面平面,且,所以直線始終與直線不相交,且不平行,所以與是異面直線,所以D正確.故選:C.17.【答案】(1)16;(2)【解析】(1)如圖,連接正四棱柱的底面邊長面是與底面所成的角在,∴正四棱柱的體積為:16.(2)正四棱柱是異面直線與所成的角在中,∴異面直線與所成的角為:.18.【答案】(1)見解析;(2).【解析】(1)連接,如圖,因是正方形,則,又平面平面,則,而,且平面,于是得平面,又平面,所以;(2)取線段中點(diǎn)O,連接,由題意易知,,且是正方形,,故,,故為二面角的平面角,由平面,可知,故.故二面角的大小為.19.【答案】(1)見解析;(2).【解析】(1)連接,在平行四邊形中,為與的交點(diǎn),為的中點(diǎn),又M為的中點(diǎn),,又平面平面平面;(2)取的中點(diǎn)N,連接,為的中點(diǎn),,且,由平面,得平面,是直線與平面所成的角,,在中,,,從而,在中,,直線與平面所成角的正切值為.20.【答案】(1)20347朵;(2).【解析】(1)因圓錐的底面直徑長為,母線長為,則此圓錐的側(cè)面積為又每平方米大約需要鮮花60朵,于是得(朵),所以裝飾這個(gè)屋頂大約需要20347朵鮮花.(2)將圓錐沿母線剪開展在同一平面內(nèi)得如圖所示的扇形,點(diǎn)A到點(diǎn),連接,則為最小長度,扇形弧長等于圓錐底面圓周長,于是得扇形圓心角,在中,,由余弦定理
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